2018年高中数学 数列2.2等差数列第2课时等差数列的性质学案新人教A版.docx

第2课时等差数列的性质学习目标：1.掌握等差数列的有关性质(重点、易错点).2.能灵活运用等差数列的性质解决问题(难点)自 主 预 习探 新 知1等差数列的图象等差数列的通项公式ana1(n1)d，当d0时，an是一固定常数；当d0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点思考：由上式可得d，d，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？提示等差数列的通项公式可以变形为annd(a1d)，是关于n的一次函数，d为斜率，故两点(1，a1)，(n，an)直线的斜率d，当两点为(n，an)，(m，am)时有d.2等差数列的性质(1)an是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足mnpq，则amanapaq.特别地，当mn2k(m，n，kN*)时，aman2ak.对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1ana2an1akank1.(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列(3)若an是公差为d的等差数列，则can(c为任一常数)是公差为d的等差数列；can(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；anank(k为常数，kN*)是公差为2d的等差数列(4)若an，bn分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列panqbn(p，q是常数)是公差为pd1qd2的等差数列(5)an的公差为d，则d0an为递增数列；d0an为递减数列；d0an为常数列思考：若an为等差数列，且mnp(m，n，pN*)，则amanap一定成立吗？提示不一定如常数列an,123，而a1a22a3.基础自测1思考辨析(1)若an是等差数列，则|an|也是等差数列()(2)若|an|是等差数列，则an也是等差数列()(3)若an是等差数列，则对任意nN*都有2an1anan2.()(4)数列an的通项公式为an3n5，则数列an的公差与函数y3x5的图象的斜率相等()答案(1)(2)(3)(4)提示：(1)错误，如2，1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列(2)错误，如数列1,2，3,4，5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列(3)正确，根据等差数列的通项可判定对任意nN*都有2an1anan2成立(4)正确因为an3n5的公差d3，而直线y3x5的斜率也是3.2在等差数列an中，若a56，a815，则a14_.33由题意得d3.a14a86d151833.3在等差数列 an中，已知a3a4a5a6a7450，则a2a8_.【导学号：91432150】180因为a3a4a5a6a75a5450，所以a590，a2a82a5290180.4已知等差数列an中，a7a916，a41，则a12_.15由等差数列的性质得a7a9a4a1216，又a41a1215.合 作 探 究攻 重 难灵活的设元解等差数列已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数.【导学号：91432151】解法一：(设四个变量)设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得解得或这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得化简，得解得或这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法三：(灵活设元)设这四个数分别为a3d，ad，ad，a3d，根据题意，得化简，得解得这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.规律方法1当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列2当已知数列有2n项时，可设为a(2n1)d，a3d，ad，ad，a3d，a(2n1)d，此时公差为2d.3当已知数列有2n1项时，可设为and，a(n1)d，ad，a，ad，a(n1)d，and，此时公差为d.跟踪训练1已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数解设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a2d，ad，a，ad，a2d.由已知有整理得解得a1，d.当d时，这5个分数分别是，1，；当d时，这5个数分别是，1，.综上，这5个数分别是，1，或，1，.等差数列的实际应用甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图221.甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个 甲乙图221请你根据提供的信息回答问题(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由.【导学号：91432152】思路探究：解决本题关键是构造两个数列：一个是每年的养鸡只数的平均值构成的数列，一个是每年的养鸡场的个数构成的数列解由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为an，公差为d1，且a11，a62；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为bn，公差为d2，且b130，b610；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列cn，则cnanbn.(1)由a11，a62，得得a21.2；由b130，b610，得得b226.c2a2b21.22631.2，即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只(2)c6a6b6210200；当n9时an0.又a83，a91.故绝对值最小的项为a91.4一架飞机在起飞时，第一秒滑行了2 m，以后每秒都比前一秒多滑行4 m，又知离地前一秒滑行了58 m，则这架飞机起飞所用的时间为_秒15飞机每秒滑行的距离组成等差数列，记为an，其中a12，d4，an58，代入等差数列的通项公式ana1(n1)d，得24(n1)58，所以n15(秒)5已知三个数成等差数列并且