高三物理二轮复习第一篇专题攻略专题三动量与能量第7讲机械能守恒定律功能关系课件

第7讲 机械能守恒定律 功能关系,【主干回顾】,【核心速填】 (1)机械能守恒定律的表达式。 守恒的观点:Ek1+Ep1=Ek2+Ep2。 转化的观点:_。 转移的观点:_。,Ek=-Ep,EA增=EB减,(2)常见的功能关系。 合外力做功与动能的关系:W合=Ek。 重力做功与重力势能的关系:_。 弹力做功与弹性势能的关系:_。 除重力以外其他力做功与机械能的关系:W其他= E机。,WG=-Ep,W弹=-Ep,滑动摩擦力做功与内能的关系:_。 电场力做功与电势能的关系:_。 克服安培力做功与电能的关系:_。,Ffl相对=E内,W电=-Ep,W克安=E电,热点考向1 机械能守恒定律的应用 【典例1】(多选)(2015全国卷)如图, 滑块a、b的质量均为m,a套在固定竖直杆 上,与光滑水平地面相距h,b放在地面上, a、b通过铰链用刚性轻杆连接,由静止开 始运动。不计摩擦,a、b可视为质点,重力加速度大小为g,则 ( ),A.a落地前,轻杆对b一直做正功 B.a落地时速度大小为 C.a下落过程中,其加速度大小始终不大于g D.a落地前,当a的机械能最小时,b对地面的压力大小 为mg,【思考】 (1)滑块a落地前,滑块b的速度如何变化? 提示:滑块b的初速度为零,滑块a落地时,滑块b的速度为零,而滑块a下落过程中滑块b的速度不为零,故滑块b的速度先增大后减小。,(2)滑块a下落过程中,滑块a、b组成的系统机械能是否守恒? 提示:滑块a、b组成的系统只有重力和系统内弹力做功,系统机械能守恒。,(3)当滑块a的机械能最小时,滑块b的速度和加速度如何? 提示:当滑块a的机械能最小时,滑块b的机械能最大,即滑块b的速度最大,加速度为零。,【解析】选B、D。选b滑块为研究对象,b滑块的初速度 为零,当a滑块落地时,a滑块没有在水平方向上的分速 度,所以b滑块的末速度也为零,由此可得b滑块速度是 先增大再减小,当b滑块速度减小时,轻杆对b一直做负 功,A项错误;当a滑块落地时,b滑块的速度为零,由机械 能守恒定律,可得a落地时速度大小为 B项正确; 当b滑块速度减小时,轻杆对a、b都表现为拉力,拉力在,竖直方向上有分力与a的重力合成,其加速度大小大于g,C项错误;a的机械能先减小再增大,当a的机械能最小时,轻杆对a、b的作用力均为零,故此时b对地面的压力大小为mg,D项正确。,【迁移训练】,迁移1:轻杆绕固定转轴转动 (多选)如图所示,长为3L的轻杆可绕 水平轴O自由转动,Oa=2Ob,杆的上端 固定一质量为m的小球(可视为质点), 质量为M的正方体静止在水平面上,不 计一切摩擦力。开始时,竖直轻细杆右侧紧靠着正方体 物块,由于轻微的扰动,杆逆时针转动,带动物块向右运,动,当杆转过60时杆与物块恰好分离。重力加速度为g。当杆与物块分离时,下列说法正确的是( ) A.小球的速度大小为 B.小球的速度大小为 C.物块的速度大小为 D.物块的速度大小为,【解析】选B、D。设小球、b端、物块的速度分别为 va、vb、vM,对系统由系统的机械能守恒得mg2L(1- cos60)= a球与b端的角速度相等,由 v=r得va=2vb,b端的线速度沿水平方向的分速度等于 物块的速度,即有vbcos60=vM,解得vb=2vM,所以va= 4vM,联立以上各式解得 故选项B、D正确。,迁移2:物体通过轻绳连接跨过定滑轮 (多选)如图所示,质量均为m的两个物体 A和B,其中物体A置于光滑水平台上,物 体B穿在光滑竖直杆上,杆与平台有一定 的距离,A、B两物体通过不可伸长的细轻绳连接跨过台 面边缘的光滑小定滑轮,细线保持与台面平行。现由静 止释放两物体,当物体B下落h时,B物体的速度为2v,A物 体速度为v。关于此过程,下列说法正确的是 ( ),A.该过程中B物体的机械能损失了 mgh B.该过程中绳对物体A做功为 mv2 C.物体A在水平面上滑动的距离为h D.该过程中绳对系统做功 mv2,【解析】选A、B。在图中的虚线对 应的位置,将物体B的速度沿着平行 绳子和垂直绳子方向正交分解,如图 所示:物体A、B沿着绳子的分速度相等,故sin= 解得=30,该过程中A、B系统机械能守恒, 则mgh= m(2v)2+ mv2,物体B的机械能减小量为 EB=mgh- m(2v)2,解得EB= mgh,故选项A正确;,根据动能定理,该过程中绳对物体A做功为WT= mv2-0 = mv2,故选项B正确;结合几何关系,物体A滑动的距 离x= =(2- )h,故C错误;由于绳子不 可伸长,故不能储存弹性势能,绳子对两个物体做功的 代数和等于弹性势能的变化量,该过程中绳对系统做功 为零,故选项D错误。,迁移3:小球通过轻杆连接绕光滑圆环转动 (多选)如图所示,半径为R的光滑圆环固定在竖直平面内,C是圆环最低点。两个质量均为m的小球A、B套在圆环上,用长为R的轻杆相连,轻杆从竖直位置静止释放,重力加速度为g,则 ( ),A.当轻杆水平时,A、B两球的总动能最大 B.A球或B球在运动过程中机械能守恒 C.A、B两球组成的系统机械能守恒 D.B球到达C点时的速度大小为,【解析】选A、C。A、B组成的系统只有重力和系统内 弹力做功,系统机械能守恒,在杆从竖直状态到水平状 态的过程中,系统重力势能减少最大,A、B两球的总动 能最大,故A、C正确;A球或B球从开始时的位置运动的 过程中,除重力对其做功外,杆的作用力对它们都做 功,A球或B球的机械能不守恒,故选项B错误;因为A与B 一起沿圆周运动,它们的相对位置保持不变,所以A与B,具有相等的线速度;由于杆的长度也是R,所以当B运动 到C点时,A球恰好运动到B点。如图所示,A球下降的高 度是R,B球下降的高度h=Rcos60=0.5R,根据机械能 守恒得mgR+0.5mgR= 2mv2,解得v= 故选项D 错误。,【规律总结】应用机械能守恒定律解题的步骤 (1)选对象:单个物体、多个物体组成的系统或含弹簧系统。 (2)两分析:对研究对象进行受力和做功情况的分析。 (3)判守恒:根据机械能守恒的条件判断研究对象机械能是否守恒。 (4)选公式:灵活选取Ek1+Ep1=Ek2+Ep2、Ek=-Ep或EA增=EB减列方程求解。,【加固训练】 1.(2015天津高考)如图所示,固定的竖直 光滑长杆上套有质量为m的小圆环,圆环与水 平状态的轻质弹簧一端连接,弹簧的另一端 连接在墙上,且处于原长状态,现让圆环由静 止开始下滑,已知弹簧原长为L,圆环下滑到最大距离时 弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度),则在圆环下滑到 最大距离的过程中 ( ),A.圆环的机械能守恒 B.弹簧弹性势能变化了 mgL C.圆环下滑到最大距离时,所受合力为零 D.圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变,【解析】选B。圆环下滑过程中,圆环动能、重力势能 与弹簧弹性势能之和保持不变,故选项A、D错误;圆环 从最高点(动能为零)到最低点(动能为零),重力势能减 少了 根据机械能守恒,弹簧弹性 势能增加了 mgL,故选项B正确;圆环由静止开始下滑 到最大距离过程中,先加速后减速,下滑到最大距离时, 所受合力不为零,故选项C错误。,2.(多选)如图所示,在倾角为30的光滑固定斜面上,放有两个质量分别为1kg和2 kg的可视为质点的小球A和B,两球之间用一根长L=0.2m的轻杆相连,小球B距水平面的高度h=0.1m。斜面底端与水平面之间由一光滑短圆弧相连,两球从静止开始下滑到光滑水平面上,g取10m/s2。则下列说法中正确的是 ( ),A.下滑的整个过程中A球机械能守恒 B.下滑的整个过程中两球组成的系统机械能守恒 C.两球在光滑水平面上运动时的速度大小为2 m/s D.系统下滑的整个过程中B球机械能的增加量为,【解析】选B、D。A、B下滑的整个过程中,杆的弹力对 A球做负功,A球机械能减少,选项A错误;A、B两球组成 的系统只有重力和系统内弹力做功,机械能守恒,选项B 正确;对A、B两球组成的系统由机械能守恒定律得 mAg(h+Lsin30)+mBgh= (mA+mB)v2,解得v= m/s, 选项C错误;B球机械能的增加量为Ep= mBv2-mBgh= 选项D正确。,热点考向2 功能关系的应用 【典例2】(2015全国卷)如图,一 半径为R,粗糙程度处处相同的半圆形 轨道竖直固定放置,直径POQ水平。一 质量为m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落,恰 好从P点进入轨道。质点滑到轨道最低点N时,对轨道的 压力为4mg,g为重力加速度的大小。用W表示质点从P点 运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功。则 ( ),A.W= mgR,质点恰好可以到达Q点 B.W mgR,质点不能到达Q点 C.W= mgR,质点到达Q点后,继续上升一段距离 D.W mgR,质点到达Q点后,继续上升一段距离,【解析】选C。在N点由牛顿第二定律得4mg-mg=m ; 从最高点到N点,由动能定理得2mgR-W= ,联立解 得W= mgR。由于克服阻力做功,机械能减小,所以质点 从N点到Q点克服阻力做的功要小于从P点到N点克服阻 力做的功,即质点从N点到Q点克服阻力做的功WW= mgR,质点从N点到Q点由动能定理得-mgR-W=,解得 0,所以质点能够到达Q点, 并且还能继续上升一段距离,故选项C正确。,真题变式1.(多选)在【典例2】中,若使质点带上+q的 电荷量(带电质点可视为点电荷),如图所示,在POQ下方 加上垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度B= 质点由静止释放运动至最低点N时,对轨道的压力恰好 为零,则 ( ),A.质点经过N点时的速度大小为 B.质点由P点至N点的过程中洛伦兹力做负功 C.质点由静止下落至P点的过程机械能守恒 D.质点由静止下落至N点的过程机械能减少,【解析】选C、D。质点经过N点时由牛顿第二定律得 qvB-mg= 解得v= 选项A错误;质点在磁场运 动过程中,洛伦兹力始终与质点的运动方向垂直,洛伦 兹力不做功,选项B错误;质点由静止下落至P点的过程, 只有重力做功,质点机械能守恒,选项C正确;质点由静 止运动至N点的过程由动能定理得2mgR-Wf= mv2,解得,Wf= mgR,由功能关系得质点的机械能减少 mgR, 选项D正确。,真题变式2.在【典例2】中,若轨道光滑,使质点带上+q的电荷量(带电质点可视为点电荷),如图所示,在竖直方向加上向下的匀强电场,场强为E,质点由静止释放运动至最低点N的过程中,下列说法正确的是 ( ),A.质点的机械能守恒 B.质点的重力势能减少,电势能增加 C.质点的动能增加2mgR D.质点的机械能增加2qER,【解析】选D。质点下落过程,除重力做功以外,还有电场力做正功,机械能增加,由功能关系得机械能的增量E=2qER,故选项A错误,D正确;重力做正功,重力势能减少,电场力做正功,电势能减少,选项B错误;合外力做功等于动能的增量,则Ek=2(qE+mg)R,选项C错误。,真题变式3.(多选)在【典例2】中,若将半圆形轨道更 换为 圆弧轨道,如图所示,并将质点自P点上方高度 2R处由静止开始下落,质点沿轨道到达最高点Q时对轨 道压力为 则质点从静止运动到Q点的过程中( ),A.重力势能减少2mgR B.合外力做功 mgR C.克服摩擦力做功 mgR D.机械能减少 mgR,【解析】选B、C。质点能通过Q点,则在Q点由牛顿第二 定律得 解得v= 从静止运动到Q 点的过程,重力做功等于重力势能减小量,为mgR,选项A 错误;合外力做功等于动能增加量,即W合=Ek= mv2 = mgR,选项B正确;机械能减少量为E=mgR- mgR= mgR,选项D错误;由功能关系得克服摩擦力做功等于 机械能减少量为 mgR,选项C正确。,【加固训练】 (多选)如图所示,竖直平行金属导轨MN、 PQ上端接有电阻R,金属杆质量为m,跨在 平行导轨上,垂直导轨平面的水平匀强磁 场磁感应强度为B,不计ab与导轨电阻,不 计摩擦,且ab与导轨接触良好。若ab杆在竖直向上的外 力F作用下匀速上升,则以下说法正确的是 ( ),A.拉力F所做的功等于电阻R上产生的热量 B.杆ab克服安培力做的功等于电阻R上产生的热量 C.电流所做的功等于重力势能的增加量 D.拉力F与重力做功的代数和等于电阻R上产生的热量,【解析】选B、D。根据能量守恒定律知,拉力F做的功等于重力势能的增加量和电阻R上产生的热量之和,故A错误;根据功能关系知,杆ab克服安培力做功等于电阻R上产生的热量,故B正确;安培力的大小与重力的大小不相等,则电流做的功与克服重力做功大小不相等,即电流做功不等于重力势能的增加量,故C错误;根据动能定理知,拉力和重力做功等于克服安培力做功的大小,克服安培力做的功等于电阻R上产生的热量,故D正确。,热点考向3 能量观点结合动力学方法解决多过程问题 【典例3】(2016全国卷)如图,一 轻弹簧原长为2R,其一端固定在倾角为 37的固定直轨道AC的底端A处,另一 端位于直轨道上B处,弹簧处于自然状 态,直轨道与一半径为 的光滑圆弧轨道相切于C点, AC=7R,A、B、C、D均在同一竖直平面内。质量为m的小,物块P自C点由静止开始下滑,最低到达E点(未画出)。 随后P沿轨道被弹回,最高到达F点,AF=4R。已知P与直 轨道间的动摩擦因数= 重力加速度大小为g。(取 sin37= cos37= ),(1)求P第一次运动到B点时速度的大小。 (2)求P运动到E点时弹簧的弹性势能。 (3)改变物块P的质量,将P推至E点,从静止开始释放。 已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后,恰好通过G 点。G点在C点左下方,与C点水平相距 竖直相距R, 求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量。,【思维流程】 第一步:审题干提取信息 (1)光滑圆弧轨道 小物块在圆弧轨道上运动不受 摩擦力作用。 (2)由静止开始下滑 小物块初速度为零。 (3)P与直轨道间的动摩擦因数= 小物块在直 轨道上运动受摩擦力作用。,第二步:突破难点确定小物块的受力情况和做功情况以及运动情况 (1)求P第一次运动到B点时速度的大小。 小物块下滑过程只有重力和滑动摩擦力做功,由动能定理列方程求解到B点时的速度。,(2)求P运动到E点时弹簧的弹性势能。 小物块由B点运动到E点的过程中以及由E点运动到F点的过程,只有重力、摩擦力和弹簧弹力做功,且两个过程弹簧弹力做功大小相等,并等于弹簧在E点时的弹性势能,两个过程可分别由动能定理列方程求解弹性势能。,(3)求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量。 由几何关系确定小物块由D点到G点的水平和竖直距离,列平抛运动位移方程求解小物块在D点的速度;小物块由C运动到D的过程只有重力做功,由机械能守恒求小物块在C点的速度;小物块由E点运动到C点的过程中,只有重力、摩擦力和弹簧弹力做功,可列动能定理方程求解小物块的质量。,【解析】(1)根据题意知,B、C之间的距离 l=7R-2R 设P到达B点时的速度为vB,由动能定理得 mglsin-mglcos= 式中=37,联立式并由题给条件得 vB= ,(2)设BE=x。P到达E点时速度为零,设此时弹簧的弹性 势能为Ep。P由B点运动到E点的过程中,由动能定理有 mgxsin-mgxcos-Ep=0- E、F之间的距离 l1=4R-2R+x P到达E点后反弹,从E点运动到F点的过程中,由动能定 理有,Ep-mgl1sin-mgl1cos=0 联立式并由题给条件得 x=R Ep=2.4mgR ,(3)由几何知识得过C点的圆轨道半径与竖直方向夹角 为。 设改变后P的质量为m1。D点与G点的水平距离x1和竖直 距离y1分别为 x1= y1= ,设P在D点的速度为vD,由D点运动到G点的时间为t。 由平抛运动公式有 y1= gt2 x1=vDt ,联立式得 vD= 设P在C点速度的大小为vC。在P由C运动到D的过程中 机械能守恒,有 ,P由E点运动到C点的过程中,由动能定理有 Ep-m1g(x+5R)sin-m1g(x+5R)cos= 联立式得 m1= 答案:(1) (2)2.4mgR (3),【题组过关】 1.(2016全国卷)轻质弹簧原 长为2l,将弹簧竖直放置在地面上, 在其顶端将一质量为5m的物体由 静止释放,当弹簧被压缩到最短时,弹簧长度为l。现将 该弹簧水平放置,一端固定在A点,另一端与物块P接触 但不连接。AB是长度为5l的水平轨道,B端与半径为l的 光滑半圆轨道BCD相切,半圆的直径BD竖直,如图所示。,物块P与AB间的动摩擦因数=0.5。用外力推动物块P,将弹簧压缩至长度l,然后放开,P开始沿轨道运动。重力加速度大小为g。,(1)若P的质量为m,求P到达B点时速度的大小,以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点间的距离。 (2)若P能滑上圆轨道,且仍能沿圆轨道滑下,求P的质量的取值范围。,【解析】(1)依题意,当弹簧竖直放置,长度被压缩至l 时,质量为5m的物体的动能为零,其重力势能转化为弹 簧的弹性势能。由机械能守恒定律可知,弹簧长度为l 时的弹性势能为 Ep=5mgl 设P到达B点时的速度大小为vB,由能量守恒定律得 Ep= ,联立式,取M=m并代入题给数据得vB= 若P能沿圆轨道运动到D点,其到达D点时的向心力不 能小于重力,即P此时的速度大小v应满足 -mg0 设P滑到D点时的速度为vD。由机械能守恒定律得 联立式得vD= ,vD满足式要求,故P能运动到D点,并从D点以速度vD水 平射出。设P落回到轨道AB所需的时间为t,由运动学 公式得2l= gt2 P落回到AB上的位置与B点之间的距离为s=vDt 联立式得s= l ,(2)为使P能滑上圆轨道,它到达B点时的速度不能小于 零。由式可知 5mglMg4l 要使P仍能沿圆轨道滑回,P在圆轨道上的上升高度不能 超过半圆轨道的中点C。由机械能守恒定律有 ,联立式得 答案:,2.(2016佛山一模)如图,一个倾角 =30的光滑直角三角形斜劈固定 在水平地面上,顶端连有一轻质光滑 定滑轮。质量为m的A物体置于地面,上端与劲度系数为 k的竖直轻弹簧相连。一条轻质绳跨过定滑轮,一端与 斜面上质量为m的B物体相连,另一端与弹簧上端连接。 调整细线和A、B物体的位置,使弹簧处于原长状态,且,细绳自然伸直并与三角形斜劈的两个面平行。现将B物 体由静止释放,已知B物体恰好能使A物体刚要离开地面但不继续上升。求:,(1)B物体在斜面上下滑的最大距离x。 (2)B物体下滑到最低点时的加速度大小和方向。 (3)若将B物体换成质量为2m的C物体,C物体由上述初始位置静止释放,当A物体刚要离开地面时,C物体的速度大小v。,【解析】(1)当A物体刚要离开地面但不上升时,A物体 处于平衡状态,设B物体沿斜面下滑x,则弹簧伸长量为 x。 对A物体有: kx-mg=0 解得:x=,(2)当A物体刚要离开地面时,A与地面间作用力为0。 对A物体:由平衡条件得: FT-mg=0 设B物体的加速度大小为a,对B物体,由牛顿第二定律得: FT-mgsin=ma 解得:a= B物体加速度的方向沿斜面向上,(3)A物体刚要离开地面时,弹簧的弹性势能增加E, 对B物体下滑的过程,由能量守恒定律得: E=mgxsin 对C物体下滑的过程,由能量守恒定律得: E+ 2mv2=2mgxsin 解得:v=,答案:(1) (2) 方向沿斜面向上 (3),【加固训练】 1. 如图所示,在竖直方向上A、B两 物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相 连,A放在水平地面上;B、C两物体通 过细绳绕过轻质定滑轮相连,C放在固定的光滑斜面 上。用手拿住C,使细线刚刚拉直但无拉力作用,并保 证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行。已知A、,B的质量均为m,斜面倾角为=37,重力加速度为g,滑轮的质量和摩擦不计,开始时整个系统处于静止状态。C释放后沿斜面下滑,当A刚要离开地面时,B的速度最大(sin37=0.6,cos37=0.8)。求:,(1)从开始到物体A刚要离开地面的过程中,物体C沿斜面下滑的距离。 (2)C的质量。 (3)A刚离开地面时,C的动能。,【解析】(1)设开始时弹簧压缩的长度为xB,由题意有: kxB=mg 设当物体A刚刚离开地面时,弹簧的伸长量为xA,有 kxA=mg 当物体A刚离开地面时,物体B上升的距离及物体C沿斜 面下滑的距离为: h=xA+xB=,(2)物体A刚离开地面时,以B为研究对象,物体B受到重 力mg、弹簧的弹力kxA、细线的拉力FT三个力的作用, 设物体B的加速度为a,根据牛顿第二定律,对B有: FT-mg-kxA=ma 对C有:mCgsin-FT=mCa 当B获得最大速度时,有:a=0 解得:mC=,(3)根据动能定理得: 对C:mCghsin-WT=EkC-0 对B:WT-mgh+W弹=EkB-0 其中弹簧弹力先做正功后做负功,总功为零,W弹=0,B、C的速度大小相等,故其动能大小之比为其质量大小 之比,即: 解得:EkC= 答案:,2.如图所示,半径R=0.2m的光滑四 分之一圆轨道MN竖直固定放置,末 端N与一长L=0.8m的水平传送带相 切,水平衔接部分摩擦不计,传动轮 (轮半径很小)做顺时针转动,带动传送带以恒定的速度 v0运动。传送带离地面的高度h=1.25m,其右侧地面上 有一直径D=0.5m的圆形洞,洞口最左端的A点离传送带,右端的水平距离s=1m,B点在洞口的最右端。现使质量为m=0.5kg的小物块从M点由静止开始释放,经过传送带后做平抛运动,最终落入洞中,传送带与小物块之间的动摩擦因数=0.5,g取10m/s2。求: (1)小物块到达圆轨道末端N时对轨道的压力。 (2)若v0=3m/s,求物块在传送带上运动的时间。 (3)若要使小物块能落入洞中,求v0应满足的条件。,【解析】(1)设物块滑到圆轨道末端速度为v1,根据机 械能守恒定律得:mgR= 设物块在轨道末端所受支持力的大小为F,根据牛顿第 二定律得:F-mg= 联立以上两式代入数据得:v1=2m/s,F=15N 根据牛顿第三定律,物块对轨道压力大小为15N,方向 竖直向下。,(2)物块在传送带上加速运动时,由mg=ma得: a=g=5m/s2 加速到与传送带相同速度所需要的时间: t1= =0.2s 位移:s1= =0.5m 匀速运动的时间:t2= =0.1s 故T=t1+t2=0.3