[中考]全国各地2012年中考数学分类解析159套专题49直线与圆的位置关系.doc

文理教研网 文理教研您的好帮手2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题49：直线与圆的位置关系一、选择题1. （2012山西省2分）如图，AB是O的直径，CD是O上一点，CDB=20，过点C作O的切线交AB的延长线于点E，则E等于【 】A40B50C60D70【答案】B。【考点】切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理。【分析】如图所示，连接OC。BOC与CDB是弧所对的圆心角与圆周角，BOC=2CDB。又CDB=20，BOC=40，又CE为圆O的切线，OCCE，即OCE=90。则E=9040=50。故选B。2. （2012宁夏区3分）如图，AB为O的直径，PD切O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则ACP=【 】 A B C D【答案】D。【考点】切线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质。【分析】PD切O于点C，OCPD。又OC=CD，COD=45。AO=CO，ACO=22.5。PCA=9022.5=67.5。故选D。3. （2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，AB是O的弦，BC与O相切于点B，连接OA、OB若ABC=70，则A等于【 】A15B20C30D70【答案】B。【考点】切线的性质，等腰三角形的性质。【分析】BC与O相切于点B，OBBC。OBC=90。ABC=70，OBA=OBCABC=9070=20。OA=OB，A=OBA=20。故选B。4. （2012江苏无锡3分）已知O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与O的位置关系是【 】A相切B相离C相离或相切D相切或相交【答案】D。【考点】直线与圆的位置关系。【分析】根据直线与圆的位置关系来判定：相交：dr；相切：d=r；相离：dr（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）。因此，分OP垂直于直线l，OP不垂直直线l两种情况讨论： 当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，O与l相切；当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2r，O与直线l相交。故直线l与O的位置关系是相切或相交。故选D。5. （2012福建三明4分）如图，AB是O的切线，切点为A，OA=1，AOB=600，则图中阴影部分的面积是【 】A B C D【答案】C。 【考点】切线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积。【分析】AB是O的切线，切点为A，OAAB，即OAB=900。 在RtAOB中，OA=1，AOB=600，AB= OAtanAOB=。 。故选C。6. （2012福建泉州3分）如图，点O是ABC的内心，过点O作EFAB，与AC、BC分别交于点E、F，则【 】A .EFAE+BF B. EFAE+BF C.EF=AE+BF D.EFAE+BF 【答案】C。【考点】三角形内心的性质，切线的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】如图，连接圆心O和三个切点D、G、H，分别过点E、F作AB的垂线交AB于点I、J。 EFAB，HEO=IAE，EI=OD。 又OD=OH，EI=OH。 又EHO=AIE=900，EHOAIE（AAS）。EO=AE。 同理，FO=BF。AE+BF= EO+FO= EF。故选C。7. （2012湖北黄石3分）如图所示，直线CD与线段AB为直径的圆相切于点D，并交BA的延长线于点C，且AB=2，AD=1，P点在切线CD上移动.当APB的度数最大时，则ABP的度数为【 】A. B. C. D. 【答案】B。【考点】切线的性质，三角形的外角性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】连接BD，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D，ADB=90。当APB的度数最大时，点P和D重合，APB=90。AB=2，AD=1，。ABP=30。当APB的度数最大时，ABP的度数为30。故选B。8. （2012湖北宜昌3分）已知O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与O的位置关系的图形是【 】A B C D【答案】B。【考点】直线与圆的位置关系。1419956【分析】根据直线与圆的位置关系来判定：直线l和O相交dr；直线l和O相切d=r；直线l和O相离dr（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）。因此，O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，53，即：dr，直线L与O的位置关系是相交。故选B。9. （2012湖南衡阳3分）已知O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与O的交点个数为【 】A0 B1 C2 D无法确定【答案】C。【考点】直线与圆的位置关系。【分析】首先求得该圆的半径，再根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析判断若dr，则直线与圆相交，直线与圆相交有两个交点；若d=r，则直线于圆相切，直线与圆相交有一个交点；若dr，则直线与圆相离，直线与圆相交没有交点：根据题意，得该圆的半径是6cm，即大于圆心到直线的距离5cm，则直线和圆相交，故直线l与O的交点个数为2。故选C。10. （2012四川凉山4分）如图，在平面直角坐标系中，O的半径为1，则直线与O的位置关系是【 】A相离 B相切 C相交 D以上三种情况都有可能【答案】B。【考点】坐标与图形性质，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】如图，在中，令x=0，则y= ；令y=0，则x= ，A（0，），B（，0）。OA=OB= 2 。AOB是等腰直角三角形。AB=2，过点O作ODAB，则OD=BD=AB=2=1。又O的半径为1，圆心到直线的距离等于半径。直线y=x- 2 与O相切。故选B。11. （2012山东泰安3分）如图，AB与O相切于点B，AO的延长线交O于点C，连接BC，若ABC=120，OC=3，则的长为【 】AB2C3D5【答案】B。【考点】切线的性质，弧长的计算。【分析】连接OB，AB与O相切于点B，ABO=90。ABC=120，OBC=30。OB=OC，OCB=30。BOC=120。的长为。故选B。12. （2012广西贵港3分）如图，PA、PB是O的切线，A、B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，若P40，则ACB的度数是【】A80 B110 C120 D140【答案】B。【考点】切线的性质，多边形内角和定理，圆周角定理。【分析】如图,连接OA，OB，在优弧AB上任取一点D（不与A、B重合），连接BD，AD。PA、PB是O的切线，OAAP，OBBP。OAPOBP=90，又P40，AOB360(OAPOBPP)140。圆周角ADB与圆心角AOB都对弧AB，ADBAOB70。又四边形ACBD为圆内接四边形，ADBACB180。ACB110。故选B。13. （2012广西南宁3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则O的半径为【 】A8B6 C5 D4 【答案】D。【考点】切线的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】连接OA，OD，AB，AC都与O相切，BAO=CAO，ODAB。在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8，AOBC，B=BAO=45。在RtOBA中，OB=ABcosB=8。在RtOBD中，OD=OBsinB=。故选D。14. （2012广西玉林、防城港3分）如图，RtABC的内切圆O与两直角边AB，BC分别相切与点D、E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若O的半径为r，则RtMBN的周长为【 】A. r B. r C.2r D. r【答案】C。【考点】三角形的内切圆与内心；正方形的判定，切线长定理【分析】连接OD、OE，O是RtABC的内切圆，ODAB，OEBC。ABC=90，ODB=DBE=OEB=90。四边形ODBE是矩形。OD=OE，矩形ODBE是正方形。BD=BE=OD=OE=r。O切AB于D，切BC于E，切MN于P，MP=DM，NP=NE。RtMBN的周长为：MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=r+r=2r。故选C。15. （2012河南省3分）如图，已知AB为O的直径，AD切O于点A, ，则下列结论不一定正确的是【 】 ABADA BOCAE CCOE=2CAE DODAC 【答案】D。【考点】切线的性质，圆周角定理，平行的判定，垂径定理。 【分析】由为直径，AD为切线，根据切线的性质可知：BADA。故A正确。 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得。 。OCAE。故B正确。由“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”可以判断C正确。根据垂径定理，只有在点E是的中点时，ODAC才成立。故D不正确。故选D。二、填空题1. （2012海南省3分）如图，APB=300，圆心在边PB上的O半径为1cm，OP=3cm，若O沿BP方向移动，当O与PA相切时，圆心O移动的距离为 cm.【答案】1或5。【考点】直线与圆相切的性质，含300角直角三角形的性质。【分析】如图，设O移动到O1，O2位置时与PA相切。 当O移动到O1时，O1DP=900。 APB=300，O1D=1，PO1=2。 OP=3，OO1=1。当O移动到O2时，O2EP=900。 APB=300，O2D=1，O2PE=300，PO2=2。 OP=3，OO1=5。 综上所述，当O与PA相切时，圆心O移动的距离为1cm或5 cm。2. （2012江苏连云港3分）如图，圆周角BAC55，分别过B，C两点作O的切线，两切线相交与点P，则BPC【答案】70。【考点】切线的性质，圆周角定理。【分析】连接OB，OC，PB，PC是O的切线，OBPB，OCPC。PBOPCO90，BOC2BAC255110，BPC360PBOBOCPCO360901109070。3. （2012江苏扬州3分）如图，PA、PB是O的切线，切点分别为A、B两点，点C在O上，如果ACB70，那么P的度数是【答案】40。【考点】切线的性质，圆周角定理，多边形内角与外角。【分析】如图，连接OA，OB，PA、PB是O的切线，OAAP，OBBP。OAPOBP90，又AOB和ACB都对弧所对的圆心角和圆周角，且ACB70，AOB2ACB140。P360(9090140)40。4. （2012福建漳州4分）如图，O的半径为3cm，当圆心O到直线AB的距离为 cm时，直线AB与O相切【答案】3。【考点】直线与圆的位置关系，切线的性质。【分析】O的半径为3cm，当圆心O到直线AB的距离等于半径时，直线AB与O相切，当圆心O到直线AB的距离为3cm时，直线AB与O相切。5. （2012湖北荆州3分）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BCOA，P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F已知A（2，0），B（1，2），则tanFDE= 【答案】。【考点】切线的性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理。 【分析】连接PB、PEP分别与OA、BC相切于点E、B，PBBC，PEOA。BCOA，B、P、E在一条直线上。A（2，0），B（1，2），AE=1，BE=2。EDF=ABE，tanFDE=。6. （2012湖北孝感3分）把如图所示的长方体材料切割成一个体积最大的圆柱，则这个圆柱的体积是 (结果不取近似值)【答案】3000。【考点】圆柱的计算。【分析】底面是边长为20cm的正方形，其内切圆的半径为10cm。这个圆柱底面积为100cm2。这个圆柱体积为10030=3000（cm3）。7. （2012湖南怀化3分）如图，点P是O外一点，PA是O的切线，切点为A，O的半径，,则PO= .【答案】4。【考点】切线的性质，含30度角的直角三角形的性质。【分析】PA是O的切线，PAOA。PAO=90。又P=30（已知），PO=2OA（30角所对的直角边是斜边的一半）。OA=2cm（已知），PO=4cm。8. （2012湖南衡阳3分）如图，O的半径为6cm，直线AB是O的切线，切点为点B，弦BCAO，若A=30，则劣弧的长为 cm【答案】。【考点】切线的性质，直角三角形两锐角的关系，平行的性质，等边三角形的判定和性质，弧长的计算。【分析】根据切线的性质可得出OBAB，从而求出BOA的度数，利用弦BCAO，及OB=OC可得出BOC的度数，代入弧长公式即可得出答案：直线AB是O的切线，OBAB（切线的性质）。又A=30，BOA=60（直角三角形两锐角互余）。弦BCAO，CBO=BOA=60（两直线平行，内错角相等）。又OB=OC，OBC是等边三角形（等边三角形的判定）。BOC=60（等边三角形的每个内角等于60）。又O的半径为6cm，劣弧的长=（cm）。9. （2012四川乐山3分）如图，O是四边形ABCD的内切圆，E、F、G、H是切点，点P是优弧上异于E、H的点若A=50，则EPH= 【答案】65。【考点】切线的性质，圆周角定理。【分析】如图，连接OE，OH，O是四边形ABCD的内切圆，E、F、G、H是切点，OEA=OHA=90。又A=50，EOH=360OEAOHAA=360909050=130。又EPH和EOH分别是所对的圆周角和圆心角，EPH=EOH=130=65。10. （2012山东菏泽4分）如图，PA，PB是O是切线，A，B为切点，AC是O的直径，若P=46，则BAC= 度【答案】23。【考点】切线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】PA，PB是O是切线，PA=PB。又P=46，PAB=PBA=。又PA是O是切线，AO为半径，OAAP。OAP=90。BAC=OAPPAB=9067=23。11. （2012山东济南3分）如图，在RtABC中，B=90，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，则矩形EFGH的周长是 【答案】48。【考点】切线的性质，勾股定理，矩形的性质。【分析】取AC的中点O，过点O作MNEF，PQEH，四边形EFGH是矩形，EHPQFG，EFMNGH，E=H=90。PQEF，PQGH，MNEH，MNFG。ABEF，BCFG，ABMNGH，BCPQFG。AL=BL，BK=CK。OL=BC=8=4，OK=AB=6=3，矩形EFGH的各边分别与半圆相切，PL=AB=6=3，KN=BC=8=4。在RtABC中，OM=OQ=AC=5。EH=FG=PQ=PL+OL+OQ=3+4+5=12，EF=GH=MN=OM+OK+NK=5+3+4=12，矩形EFGH的周长是：EF+FG+GH+EH=12+12+12+12=48。12. （2012山东枣庄4分）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB的长为8cm，则图中阴影部分的面积为cm2【答案】16。【考点】切线的性质，垂径定理，勾股定理。【分析】设AB于小圆切于点C，连接OC，OB。AB于小圆切于点C，OCAB。BC=AC=AB=8=4。RtOBC中，OB2=OC2+BC2，即OB2OC2= BC2=16，圆环（阴影）的面积=OB2OC2=（OB2OC2）=16（cm2）。13. （2012江西省3分）如图，AC 经过O的圆心O，AB与O相切与点B，若A=50，则C= 度【答案】20。【考点】切线的性质，三角形内角和定理，圆周角定理。【分析】如图，连接OB。 AB与O相切与点B，OBAB，即ABO=90。 又A=50，AOB=40。 又AOB和C是同弧所对的圆心角和圆周角，C=20。14. （2012甘肃兰州4分）如图，已知O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，AOB45，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与O有公共点，设P(x，0)，则x的取值范围是 【答案】x。【考点】直线与圆的位置关系，坐标与图形性质，勾股定理。【分析】由题意得x有两个极值点，过点P与O相切时，x取得极值，作出切线，利用切线的性质求解即可：如图，连接OD，由题意得，OD1，DOP45，ODP90，OP，即x的极大值为。同理当点P在y轴左边时也有一个极值点，此时x取得极小值，x。综上可得x的范围为：x。三、解答题1. （2012天津市8分）已知O中，AC为直径，MA、MB分别切O于点A、B（）如图，若BAC=250，求AMB的大小；（）如图，过点B作BDAC于点E，交O于点D，若BD=MA，求AMB的大小【答案】解：（）MA切O于点A，MAC=90。又BAC=25，MAB=MACBAC=65。MA、MB分别切O于点A、B，MA=MB。MAB=MBA。MAB=180（MAB+MBA）=50。（）如图，连接AD、AB，MAAC，又BDAC，BDMA。又BD=MA，四边形MADB是平行四边形。又MA=MB，四边形MADB是菱形。AD=BD。又AC为直径，ACBD， AB = AD 。AB=AD=BD。ABD是等边三角形。D=60。在菱形MADB中，AMB=D=60。【考点】切线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，菱形的判定与性质，等边三角形的判定和性质。【分析】（）由AM与圆O相切，根据切线的性质得到AM垂直于AC，可得出MAC为直角，再由BAC的度数，用MACBAC求出MAB的度数，又MA，MB为圆O的切线，根据切线长定理得到MA=MB，利用等边对等角可得出MAB=MBA，由底角的度数，利用三角形的内角和定理即可求出AMB的度数。（）连接AB，AD，由直径AC垂直于弦BD，根据垂径定理得到A为优弧BAD 的中点，根据等弧对等弦可得出AB=AD，由AM为圆O的切线，得到AM垂直于AC，又BD垂直于AC，根据垂直于同一条直线的两直线平行可得出BD平行于AM，又BD=AM，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ADBM为平行四边形，再由邻边MA=MB，得到ADBM为菱形，根据菱形的邻边相等可得出BD=AD，进而得到AB=AD=BD，即ABD为等边三角形，根据等边三角形的性质得到D为60，再利用菱形的对角相等可得出AMB=D=60。2. （2012陕西省8分）如图，PA、PB分别与O相切于点A、B，点M在PB上，且OMAP，MNAP，垂足为N（1）求证：OM=AN；（2）若O的半径R=3，PA=9，求OM的长 【答案】解：（1）证明：如图，连接OA，则OAAP MNAP， MNOA OMAP， 四边形ANMO是矩形。 OM=AN。 （2）连接OB，则OBBP。 OA=MN，OA=OB，OMAP， OB=MN，OMB=NPM。 RtOBMRtMNP（AAS）。OM=MP。 设OM=x，则NP=9x。 在RtMNP中，有，解得x=5，即OM=5。【考点】切线的性质，平行的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）连接OA，由切线的性质可知OAAP，再由MNAP可知四边形ANMO是矩形，故可得出结论。（2）连接OB，则OBBP由OA=MN，OA=OB，OMAP可知OB=MN，OMB=NPM故可得出RtOBMMNP，OM=MP设OM=x，则NP=9-x，在RtMNP利用勾股定理即可求出x的值，从而得出结论。3. （2012广东佛山8分）如图，直尺、三角尺都和圆O相切，AB=8cm 求圆O的直径【答案】解：设三角尺和O相切于点E，连接OE、OA、OB，AC、AB都是O的切线，切点分别是E、B，OBA=90，OAE=OAB=BAC。CAD=60，BAC=120。OAB=120=60。BOA=30。OA=2AB=16。由勾股定理得： ，即O的半径是cm。O的直径是cm。【考点】切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线长定理。【分析】连接OE、OA、OB，根据切线长定理和切线性质求出OBA=90，OAE=OAB=BAC，求出BAC，求出OAB和BOA，求出OA，根据勾股定理求出OB即可。 4. （2012广东湛江10分）如图，已知点E在直角ABC的斜边AB上，以AE为直径的O与直角边BC相切于点D（1）求证：AD平分BAC；（2）若BE=2，BD=4，求O的半径【答案】（1）证明：连接OD，BC是O的切线，ODBC。又ACBC，ODAC。2=3。OA=OD，1=3。1=2。AD平分BAC。（2）解：BC与圆相切于点D，BD2=BEBA。BE=2，BD=4，BA=8。AE=ABBE=6。O的半径为3。【考点】切线的性质，平行的性质，切割线定理。【分析】（1）先连接OD，杂而ODBC和ACBC，再由其平行从而得证；（2）利用切割线定理可先求出AB，进而求出圆的直径，半径则可求出。【没有学习切割线定理的可连接DE，证ABDDBE，得AB：BD=BD：BE求得AB=8，】5. （2012浙江丽水、金华8分）如图，AB为O的直径，EF切O于点D，过点B作BHEF于点H，交O于点C，连接BD(1)求证：BD平分ABH；(2)如果AB12，BC8，求圆心O到BC的距离6. （2012浙江宁波8分）如图，在ABC中，BE是它的角平分线，C=90，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F（1）求证：AC是O的切线；（2）已知sinA=，O的半径为4，求图中阴影部分的面积【答案】解：（1）连接OE。OB=OE，OBE=OEB。BE是ABC的角平分线，OBE=EBC。OEB=EBC。OEBC 。C=90，AEO=C=90 。 AC是O的切线。（2）连接OF。sinA=，A=30 。 O的半径为4，AO=2OE=8。AE=4，AOE=60，AB=12。BC=AB=6，AC=6。CE=ACAE=2。OB=OF，ABC=60，OBF是正三角形。FOB=60，CF=64=2。EOF=60。S梯形OECF=（2+4）2=6， S扇形EOF=。S阴影部分=S梯形OECFS扇形EOF=6。【考点】切线的判定，等腰三角形的性质，平行的判定和性质，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算。【分析】（1）连接OE根据OB=OE得到OBE=OEB，然后再根据BE是ABC的角平分线得到OEB=EBC，从而判定OEBC，最后根据C=90得到AEO=C=90证得结论AC是O的切线。（2）连接OF，利用S阴影部分=S梯形OECFS扇形EOF求解即可。7. （2012浙江衢州8分）如图，在RtABC中，C=90，ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F（1）求证：AC是O的切线；（2）已知AB=10，BC=6，求O的半径r【答案】（1）证明：连接OD。 OB=OD，OBD=ODB。BD平分ABC，ABD=DBCODB=DBC。ODBC。又C=90，ADO=90。ACOD，即AC是O的切线。（2）解：由（1）知，ODBC，AODABC。，即。解得，即O的半径r为。【考点】切线的判定，等腰三角形的性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）连接OD欲证AC是O的切线，只需证明ACOD即可。（2）利用平行线知AODABC，即；然后将图中线段间的和差关系代入该比例式，通过解方程即可求得r的值，即O的半径r的值。8. （2012浙江温州10分）如图，ABC中，ACB=90，D是边AB上的一点，且A=2DCB.E是BC上的一点，以EC为直径的O经过点D。（1）求证:AB是O的切线；（2）若CD的弦心距为1,BE=EO.求BD的长. 【答案】（1）证明：如图，连接OD， OD=OC，DCB=ODC。又DOB和DCB为弧所对的圆心角和圆周角，DOB =2DCB。又A=2DCB，A=DOB。ACB=90，A+B=90。DOB+B=90。BDO=90。ODAB。AB是O的切线。（2）如图，过点O作OMCD于点M， OD=OE=BE=BO，BDO=90，B=30。DOB=60。OD=OC，DCB=ODC。又DOB和DCB为弧所对的圆心角和圆周角，DOB =2DCB。DCB=30。在RtOCM中，DCB=30，OM=1，OC=2OM=2。OD=2，BO=BE+OE=2OE=4。在RtBDO中，根据勾股定理得：。9. （2012浙江义乌8分）如图，已知AB是O的直径，点C、D在O上，点E在O外，EAC=D=60（1）求ABC的度数；（2）求证：AE是O的切线；（3）当BC=4时，求劣弧AC的长【答案】解：（1）ABC与D都是弧AC所对的圆周角，ABC=D=60。 （2）AB是O的直径，ACB=90。BAC=30。 BAE=BAC+EAC=30+60=90，即BAAE。AE是O的切线。（3）如图，连接OC，OB=OC，ABC=60，OBC是等边三角形。OB=BC=4，BOC=60。AOC=120。劣弧AC的长为。【考点】圆周角定理，切线的判定，等边三角形的判定和性质，弧长的计算。【分析】（1）由同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等的圆周角定理，可求得ABC的度数。（2）由AB是O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可得ACB=90，又由BAC=30，易求得BAE=90，则可证得AE是O的切线。（3）连接OC，易得OBC是等边三角形，则可得AOC=120，由弧长公式，即可求得劣弧AC的长。 10. （2012江苏宿迁10分）如图，在四边形ABCD中，DAE=ABC= 90，CD与以AB为直径的半圆相切于点E，EFAB于点F，EF交BD于点G。设AD=a，BC =b。(1) 求CD的长度（用a，b表示）；(2) 求EG的长度（用a，b表示）；(3) 试判断EG与FG是否相等，并说明理由。【答案】解：（1）DAE=ABC= 90，DAAB，CBAB。 又AB为O的直径，DA、CB为O的切线。 又CD是O的切线，AD=a，BC =b， DE= AD=a，CE= BC =b（切线长定理）。CD= DECE= ab。（2）EFAB，CBAB，EFCB。DEGDCB。 ，即。（3）相等。理由如下：EFAB，CBAB，DAAB，DAEFCB。，且BGFBDA。，即。EG=FG。【考点】切线的判定和性质，切线长定理，平行的判定和性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由已知可得DA、CB和CD都要为O的切线，根据切线长定理即可得出结果。 （2）由EFAB，CBAB 可得EFCB，从而根据相似三角形的判定和性质可求得EG的长度。 （3）由DAEFCB，根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定和性质可求得FG的长度，与EG的长度比较即可得出结论。11. （2012江苏泰州12分）如图，已知直线l与O相离，OAl于点A，OA=5，OA与O相交于点P，AB与O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC=，求O的半径和线段PB的长；（3）若在O上存在点Q，使QAC是以AC为底边的等腰三角形，求O的半径r的取值范围【答案】解：（1）AB=AC。理由如下：连接OB。AB切O于B，OAAC，OBA=OAC=90。OBP+ABP=90，ACP+CPB=90。OP=OB，OBP=OPB。OPB=APC，ACP=ABC。AB=AC。（2）延长AP交O于D，连接BD，设圆半径为r，则由OA=5得，OP=OB=r，PA=5r。又PC=， 。由（1）AB=AC得，解得：r=3。AB=AC=4。PD是直径，PBD=90=PAC。DPB=CPA，DPBCPA。，即，解得。 （3）作线段AC的垂直平分线MN，作OEMN，则OE=AC=AB=。又圆O要与直线MN交点，OE=r，r。又圆O与直线l相离，r5。O的半径r的取值范围为r5【考点】切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出OBA=OAC=90，推出OBP+ABP=90，ACP+CPB=90，求出ACP=ABC，根据等腰三角形的判定推出即可。（2）延长AP交O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5r，根据AB=AC推出，求出r，证DPBCPA，得出 ，代入求出PB即可。（3）根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN，作OEMN，求出OEr，求出r范围，再根据相离得出r5，即可得出答案。12. （2012江苏扬州10分）如图，AB是O的直径，C是O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D(1)求证：AC平分BAD；(2)若AC，CD2，求O的直径【答案】解：（1）如图：连接OC。DC切O于C，ADCD。ADCOCF90。ADOC。DACOCA。OAOC，OACOCA。DACOAC，即AC平分BAD。 （2）连接BC。在RtADC中，AC，CD2，AD4。AB是直径，ACB90ADC。OACOCA，ADCACB。，即。AB5。【考点】切线的性质，平行的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）连接OC，根据切线的性质判断出ADOC，得到DACOCA，再根据OAOC得到OACOCA，可得AC平分BAD。（2）连接BC，得到ADCACB，根据相似三角形的性质即可求出AB的长。13. （2012江苏镇江6分）如图，AB是O的直径，DFAB于点D，交弦AC于点E，FC=FE。（1）求证：FC是O的切线；（2）若O的半径为5，求弦AC的长。【答案】解：（1）连接OC， FC=FE，FCE=FEC（等边对等角）。 OA=OC，OAC=OCA（等边对等角）。 又FEC=AED（对项角相等）， FCE=AED（等量代换）。又DFAB，OACAED=900（直角三角形两锐角互余）。OCAFCE =900（等量代换），即OCF =900。OCCF（垂直定义）。又OC是O的半径，FC是O的切线（切线的定义）。（2）连接BC。 AB是O的直径，ACB=900（直径所对圆周角是直角）。 OB=OC。OBC=OCB（等边对等角）。 OCB=ACBACO=900ACO=OCFACO=FCE， OBC=FCE。 又，。 又O的半径为5，AB=10。 在RtABC中， 。【考点】等腰三角形的性质，对项角的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理。【分析】（1）要证FC是O的切线，只要FC垂直于过C点的半径，所以作辅助线OC。由已知条件，根据等腰三角形的等边对等角性质，直角三角形两锐角互余的关系，经过等量代换即可得到。 （2）构造直角三角形ABC，由等量代换得到OBC=FCE，从而得到，应用锐角三角函数知识和勾股定理即可求得弦AC的长。14. （2012福建宁德10分）如图，AB是O的直径，过O上的点C作它的切线交AB的延长线于点D，D30(1)求A的度数；(2)过点C作CFAB于点E，交O于点F，CF4，求弧BC的长度(结果保留)【答案】解：（1）连接OC，CD切O于点C，OCD=90。D=30，COD=60。OA=OC。A=ACO=30。（2）CF直径AB，CF=4， CE=2。在RtOCE中，。弧BC的长度为。【考点】切线的性质，直角三角形两锐角的关系，圆周角定理，垂径定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，弧长的计算。【分析】（1）连接OC，则OCD是直角三角形，可求出COD的度数；由于A与COD是同弧所对的圆周角与圆心角根据圆周角定理即可求得A的度数。（2）解RtOCE求出即可求出弧BC的长度。 15. （2012福建厦门9分）已知：如图，O是ABC的外接圆，AB为O的直径，弦CD交AB于E，BCDBAC . （1）求证：ACAD；（2）过点C作直线CF，交AB的延长线于点F，若BCF30,则结论“CF一定是O的切线”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例.【答案】（1）证明：BCDBAC，。 AB为O的直径，ABCD，CEDE。ACAD。（2）解：不正确，如当CAB20时，CF不是O的切线。如图， 连接OC。 OCOA，OCA20。ACB90， OCB70。又BCF30，FCO100。CO与FC不垂直.。此时CF不是O的切线.。 【考点】圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质，切线的判定。【分析】（1）连接AD根据BCD=BAC，CBE=ABC，证出CBEABC，可得BEC=90，于是D=CBA=ACD，故AC=AD。（2）不正确。可令CAB=20，连接OC，据此推出OCF90，从而证出BCF=30时“CF不一定是O的切线”。16. （2012福建莆田10分）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，延长BC到点D，使得CDBC，过点D作DEAB于点E，交AC于点F，点G为DF的中点，连接CG、OF、FB(1)(5分)求证：CG是O的切线；(2)(5分)若AFB的面积是DCG的面积的2倍，求证：OFBC【答案】证明：(1)如图，连接OC， AB为O的直径，ACB=900。 在RtDCF中，DGFG，CGDGFG。 CFGFCG。又CFGAFE，FCGAFE。 OAOC，EAFOCA。又DEAB，EAFAFE90。 OCAFCG90，即GCO=90。又OC是O的半径，CG为O的切线。(2)DGFG，。 DCCB，。 又， 。AFFC。又OAOB，OF是ABC的中位线。OFBC。【考点】切线的判定，圆周角定理，直角三角形斜边的中线性质，三角形中位线的判定和性质。【分析】（1）连接OC欲证CG是O的切线，只需证明CGO=90，即CGOC。（2）根据直角三角形ABC、直角三角形DCF的面积公式，以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求得AC=2AF；然后根据三角形中位线的判定和性质证得结论。17. （2012福建南平10分）如图，直线l与O交于C、D两点，且与半径OA垂直，垂足为H，已知OD=2，O=60，（1）求CD的长；（2）在OD的延长线上取一点B，连接AB、AD，若AD=BD，求证：AB是O的切线【答案】（1）解：OACD，H为CD的中点，即CH=DH。在RtOHD中，O=60，ODH=30。又OD=2，OH=OD=1。根据勾股定理得：。CD=2HD=。（2）证明：OA=OD，O=60，AOD为等边三角形。OD=AD。OAD=ODA。又AD=DB，DAB=DBA。OAD+ODA+DAB+DBA=2（ODA+DAB）=180，ODA+DAB=90，即OAB=90。又OA是O的半