[高等教育]高数上册第一-六章09-10-1-4套模拟题答案.doc

习题参考答案第一章 行列式 二阶、三阶行列式一、 计算下列行列式1、1；2、0；3、4；二、1、2、1.2 n阶行列式定义及性质一、 计算下列行列式1、0；2、2000；3、-8；4、-58；5、-192；6、512；二、 计算下列行列式1、4abcdef;2、；3、；4、；5、0；三、计算下列n阶行列式1、；2、；3、；4、12；3；四、解下列方程：1、；2、；3、；*五、计算下列行列式1、 按某行（列）展开行列式解:按第一列展开 2、 化为上（下）三角形行列式计算解: 把的各列加到第1列上去得解: 把的各列加到第1列上去得3、 递推法解: 按第一行展开得 (1) 设 (2)比较（1）与（2）系数得，所以或 。分别代入（2）得 （3）其中，消去（3）中得 4、 用范德蒙行列式计算解: 此式不是范德蒙行列式. 将第+1行，第行，第2行分别向上与相邻行交换次，-1次，1次，共交换了次；将列也作同样的变换。这样一共交换了次，即偶数次，得由范德蒙行列式的计算公式得5、 拆为多个行列式的和解:利用性质3把行列式拆为两个行列式的和（最后一列拆项）+等号右边第一个行列式按最后一列展开，第二个最后一列提出后，第列减去最后一列的倍（），即得=+=+=6、解: 先对的第1列提出公因数a1，然后将第j列减去第1列的aj倍(j=2,3,n)，即得1.4克莱姆法则一、解线性方程组1、2、二、三、四、有非零解有唯一解第二章 矩阵2.1 矩阵定义及其运算一、填空题1、2、二、1、C 2、C 3、C 4、B三、2四、1、2、 3、 4、0 5、 五、 *六、1、 2、O*七、设，是对称矩阵，是反对称矩阵2.2 逆矩阵一、填空题1、4,4, 2、-8 3、充要 4、I 5、二、1、B 2、C 三、1、1）可逆， 2）、可逆，2、 3、四、可逆，可逆；，五、1、证明:由得即两边取行列式 又可逆 ， ，从而；都可逆。2、证明: 将方程改写为 则 可逆，且3、证明: 将方程改写为 则 都可逆，*六、解: 由 , 得 *七、解: 由题设得，即 .由于，|2CB|=10，故2CB可逆，于是 2.3 初等变换与初等矩阵 一、填空题1、 2、，二、1、B 2、C三、1、 2、 3、4、四、五、六、七、2.5 矩阵的秩一、填空题1、0； 2、3； 3、； 4、-3 5、1二、1、A 2、C 3、A 4、C 5、A三、1、3 2、 2； 3、4 ； 四、1）2）当，当，当五、当且或或,其它情况，第三章 向量向量的概念及其运算1、 2、3、4、1） 2）5、，所以可以线性表示，线性相关与线性无关一、 判断向量组的线性相关性，并说明原因1、 线性相关，2、线性无关3、线性无关4、线性相关5、线性相关二、1、2；2、；3、三、1、C；2、C；四、1、解： 考察向量方程 向量组线性无关， 线性无关。2、解： 考察向量方程 向量组线性无关， 有非零解线性相关。3、解： 考察向量方程 向量组线性无关，(1) 这是一个含有个未知数个方程的线性方程组，其系数行列式为当为偶数时，(1)有非零解,则向量组线性相关；当为奇数时，（1）只有 零解，向量组 线性无关。五、，所以可以唯一线性表示，六、解 (1) 能由线性表示。 事实上：因为已知线性无关，所以线性无关。又因为 线性相关，故证得能由线性表示,且表示式唯一。(2) 不能由线性表示。 事实上：反证法。设可由线性表示,即，由(1)，可设，代入上式得：，即可由表出，从而线性相关,与已知矛盾。因此，不能由线性表示。 向量组的秩一、1、无关；2、二、1、B 2、B 3、C三、1、2、当；当；当四、1、为极大无关组，2、 为极大无关组。，五、 为极大无关组。六、解：维单位向量可由维向量组线性表出，维单位向量可由维向量组线性表出，所以两个向量组等价，故线性无关。七、证明：因为所以线性无关考察向量方程 向量组线性无关， ，线性无关。*八、证：可由唯一线性表示，设线性无关因为，所以，0,0,0, 向量组的秩为4。向量空间一、是向量空间，不是向量空间，二、1、2、分析: 按定义求由基到基的过渡矩阵时,先求 在基下的坐标。考虑向量方程, 对应的线性方程组的系数矩阵恰好是以列构成的方阵A ，常数项构成的列向量恰好是以列构成的，解恰好等于乘以列向量 。 设以列构成的方阵为B，以列构成的矩阵为C，则C恰好是由基 到基的过渡矩阵。此时，C=。 解 设由基 到基的过渡矩阵为，则 =,故 三、1、 2、四、五、为四维向量，而，所以可以为向量空间的一组基，所以第四章 线性方程组一、(1)=4; =3; (2); (3) 2; (4) (5) ; (6) 二、(1)C; (2)B; (3) B. (4)A; 三、(1)选为自由未知量并令，得该齐次方程的基础解系为 (2) 选为自由未知量可得该齐次方程的基础解系为四、选为自由未知量并令，解得，于是该齐次方程的一个特解为5、 （1） 由 知原方程组有无穷多组解。 其同解方程组为， 选为自由未知量并令，解得，于是该方程组的一个特解为其导出组的同解方程组为， 选为自由未知量并令，解得，于是导出组的一个基础解系为故原方程组的通解为（2） 由 知原方程组有无穷多组解。 其同解方程组为， 选为自由未知量并令，(注意此处特解的取法)解得，于是该方程组的一个特解为其导出组的同解方程组为， 选为自由未知量并令，解得，于是导出组的一个基础解系为故原方程组的通解为，其中为任意常数。（3） 由 知原方程组有无穷多组解。 先求原方程组一个特解，选为自由未知量并令，得，于是该方程组的一个特解为在其导出组中选为自由未知量并令得，令 得，于是导出组的一个基础解系为故原方程组的通解为，其中为任意常数。六、1）解：因为为三元方程组而，所以的基础解系中含有两个解向量，由解的性质，均是的解，显然它们线性无关，可以构成的一个基础解系。由解的结构知的通解为 ，其中为任意常数。 2）解：因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为0时方程组有非零解。由 可得，所以当时原方程组有非零解。当时，原方程组变为，选为自由未知量并令并令得， 得于是方程组的一个基础解系为 通解为 ，其中为任意常数。 3）解：因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为0时方程组有非零解。由 可得或时原方程组有非零解。 当时，原方程组系数矩阵为，选为自由未知量，取，得， 方程组的一个基础解系为 通解为 ，其中为任意常数。 当时，原方程组系数矩阵为，选为自由未知量，取，得， 方程组的一个基础解系为 其同解方程组为， 选为自由未知量并令，解得，于是该方程组的一个特解为其导出组的同解方程组为， 选为自由未知量并令，解得，于是导出组的一个基础解系为故原方程组的通解为4）解： 当 ，即，时，原方程组无解。 当 ，即，时，原方程组有唯一解。 当 ，即，或者时，原方程组有无穷多解。当时，原方程组中，选为自由未知量，在对应的中令得 导出组的一个基础解系在中令得 一个特解 于是方程组的通解为 ，其中为任意常数。 当时，原方程组中，选为自由未知量，在对应的中令得 导出组的一个基础解系在中令得 一个特解 于是方程组的通解为 ，其中为任意常数。 5） 解： 当 ，即，或时，原方程组无解。 当 ，即，时，原方程组有唯一解。 当 ，即，且时，原方程组有无穷多解。当且时，原方程组中，选为自由未知量，在对应的中令得 导出组的一个基础解系在中令得 一个特解 于是方程组的通解为 ，其中为任意常数。 6）将增广矩阵化为上阶梯形讨论:1)当，而 ，即 时，故方程组（1）无解； 2)当，即时，方程组有唯一解，由阶梯形矩阵得原方程组的一个同解方程组为: 回代求解得 3)当，方程组有无穷多组解，由阶梯形矩阵得原方程组的一个同解方程组为 :将上述方程组中常数项都改为0，得原方程组导出组的一个同解方程组为： 所以原方程组的通解为,为任意常数。7） 证明：由于，同理可以验证也是的解，由题设知的一个基础解系中含3个解向量，下面只需证明是线性无关的。 设整理得 由于线性无关，故有又系数行列式，故从而线性无关，是方程组的一个基础解系。8） 证明： 由于 ，故对任意实数原方程组都有解。 对，选为自由未知量，在对应的中令得 ，导出组的一个基础解系为在中令得 ，原方程组的一个特解 于是方程组的通解为 ，其中为任意常数。 9) 解：因为，所以的基础解系中只含有一个解向量。由解的性质，是的非零解，又题设中是的非零解，显然它们线性相关，即存在不全为零的数满足 ， 整理得， 从而向量组线性相关。10）解：考虑向量方程 ,即 对其增广矩阵进行初等变换，把其化成阶梯形矩阵得： 所以：当 时,不能表示成 的线性组合；当时，表示式唯一，且 . 第五章 矩阵的特征值与矩阵的对角化5.1矩阵的特征值与特征向量一、填空题(1) 3; (2)1,n维基本单位向量组的所有非零线性组合; (3) 的特征值为 的特征值为的特征值为 6，3，11 的特征值为 -1，2，4 的特征值为 8，-4，2 ;(4) 0或1;二、(1) (C); (2) (B); (3) (B); (4) (D); (5) D; 三、1)解：特征方程为 特征植为当时，对应齐次方程组为，基础解系为，对应的特征向量，其中为非零常数。当时，对应齐次方程组为，基础解系为，对应的特征向量，其中为非零常数。2)解：特征方程为 特征植为当时，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为非零常数。 当时，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为非零常数。当时，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为非零常数。3)解：特征方程为 特征植为对，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为不全为零的常数（此题中代数重数大于几何重数）。4)解：特征方程为 特征植为对，对应齐次方程组为，基础解系，对应特征向量，其中为非零常数。（此题中代数重数大于几何重数）。四、解：由于，故的特征植为又，对应方程组为，可选一个基础解系为基本单位向量组，故的特征向量为，其中为不全为零的常数。五、证: (1) 设为的任一特征值，为对应于的特征向量，则 所以 又, , 即 , 但,所以 , 即 或 .(2) 因-1不是的特征值，故, 即，可逆。六、证: (1)由条件知有非零向量满足A=，两端左乘以，得=()，由于为非零向量，故0，于是有 据特征值的定义，数为矩阵A1的特征值。(2) 由于，故（1）中的结论可写为 ，即，故数为的特征值。(3)取A的关于的特征向量为X，则AX=X，于是有.七、证: 必要性：因AX=0有非零解，故|A|=0，又因=0是A的特征值。充分性：因 0 为A的特征值，故 |A|=0，因而AX=0有非零解。八、解:（1）设 ，把此方程组的增广矩阵作初等行变换得唯一解(2, 2, 1)，故有 =2122+3 （2） 由于Ai=ii，故；因此5.2 相似矩阵、矩阵的对角化一、填空题(1) 2，-1，4，-3 ， 24 ; (2)1二、(1) (B; (2) (C); (3) (A); (4) (C); 三、1）2) 由于，故即，所以的特征值为0，-4，-1。3) 四、1）解：特征方程为 特征值为 故可对角化，2）解：特征方程为 特征值为 对，系数矩阵，秩为2，说明只有一个线性无关的特征向量，故它不可对角化，不相似与所给的对角矩阵。 3）解：特征方程为 特征值为 对，系数矩阵，秩为1，说明有两个线性无关的特征向量，故它可对角化，相似与所给的对角矩阵。 五、1）解：特征方程为 特征值为 对，系数矩阵，秩为2，说明此时只有一个线性无关的特征向量，故它不可对角化。 2）解：特征方程为 特征值为 对，系数矩阵，秩为1，说明有两个线性无关的特征向量，故它可对角化。对此齐次方程组取一个基础解系 对，系数矩阵，秩为2，说明有一个线性无关的特征向量，取一个基础解系。 取，有3）解：特征方程为 特征值为 对，系数矩阵，秩为2，说明此时只有一个线性无关的特征向量，故它不可对角化。 六、解：由于有3个互不相同的特征值，故它可对角化。取，有从而5.3 实对称矩阵的对角化一、填空题(1) 线性无关 ， 正交 ; (2)3二、解：特征方程为 特征值为 对，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系 ，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系正交化：，单位化：，取，有三、解：由于相似矩阵有相同的行列式和迹，故 解方程组得四、解：1)由于相似矩阵有相同的特征值，的特征值为0，1，2从而有即，解得 2)此时，其一个基础解系，其一个基础解系，其一个基础解系单位化：，有五、解：特征方程为 特征值为 对，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系 ，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系，有，故从而六、证明：1）设为幂零矩阵，有特征值，即， ， 又，带入上式得，即，又，只有 从而 2）反证法：假设相似于对角矩阵，由于相似矩阵有相同的特征值，故为零矩阵，且存在可逆矩阵满足，有，与题设为非零矩阵矛盾，假设错误不能相似于对角矩阵。第六章 二次型6.1 二次型及其矩阵表达式6.2 化二次型为标准形一、填空题(1); (2) ，3; (3) 2; (4),1 二、(1) D; 三、解：（1）（2）特征方程为 特征值为 对，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系 ，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基础解系由于相互正交，只需对它们单位化：单位化：，取，作正交变换，即则将化为标准形四、解：（1） 令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将化为标准形 该二次型是一个秩为3的二次型。（2） 令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将化为标准形 该二次型是一个秩为3的二次型。（3）令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将化为标准形 该二次型是一个秩为3的二次型。（4）令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这个线性变换将化为标准形 该二次型是一个秩为3的二次型。（5）令令，它的逆变换，带入得， 这个线性变换将化为标准形 该二次型是一个秩为3的二次型。（6） 令 即 显然是可逆的线性变换，且在该可逆变换下有 该二次型是一个秩为2的二次型。五、解：（1），该二次型的矩阵为，它可经过正交变换化为标准形，故0，1，2是矩阵的三个特征值。从而有即，解得六、解：该二次型的矩阵为，由题设是矩阵的特征向量，故存在特征值满足，即，可得此时，特征方程 解得特征值为二次型的标准形为6.3二次型的规范形、惯性定律6.4正定二次型一、填空题(1)不是，不是，不是; (2) ; (3) 二、(1) A; (2)A; (3)C; (4)C; (5)D; (6)D.三、(1) 该二次型的矩阵为，因为，二次型非正定。(1) 该二次型的矩阵为，因为，二次型正定。四、(1) 该二次型的矩阵为，要使得二次型正定，只有：，同时成立，所以二次型正定可得。(2) 该二次型的矩阵为，要使得二次型正定，只有：，同时成立，所以二次型正定可得。(3) 二次型的矩阵为 , 其顺序主子式分别为 由于正定，得 , .五、证明： 设的特征值为，为对应的特征向量, 又，的特征值为。取，则的所有特征值均大于0，又为阶实对称矩阵，有也为阶实对称矩阵，所以，当充分大时，为正定矩阵。线性代数试题(三)答案一、填空题（每小题4分，共20分）1、 2、 3、 唯一 4、 5、二、选择题（每小