高考数学大一轮复习 第十四章 选考部分 14_1 几何证明选讲 第1课时 相似三角形的进一步认识课件 理 苏教版

14.1 几何证明选讲,第1课时 相似三角形的进一步认识,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也 . 推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必 . 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必 . 2.平行线分线段成比例定理 两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段 . 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段 .,知识梳理,相等,平分另一腰,平分第三边,成比例,成比例,3.相似三角形的判定及性质 (1)判定定理：,两角,两边,夹角,三边,(2)性质定理：相似三角形的对应线段的比等于 ，面积比等于 .,相似比,相似比的平方,4.直角三角形的射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于该_ ，斜边上的高的平方等于 .,直角边在斜边上的射影与斜边的,乘积,两条直角边在斜边上射影的乘积,考点自测,1.(2016南京模拟)如图，在四边形ABCD中，ABCBAD.求证：ABCD.,证明,由ABCBAD得ACBBDA， 故A，B，C，D四点共圆，从而CABCDB. 由ABCBAD得CABDBA， 因此DBACDB，所以ABCD.,2.如图，BDAE，C90，AB4，BC2，AD3，求EC的长度.,解答,3.(2016镇江模拟)如图，在ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC于点F，求 的值.,解答,题型分类 深度剖析,题型一 平行截割定理的应用,例1 如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，过点O作AB的平行线，与AD，BC分别交于点E，F，与CD的延长线交于点K.求证：KO2KEKF.,证明,当条件中给出平行线时，应优先考虑平行线分线段成比例定理，在有关比例的计算与证明题中，常结合平行线分线段成比例定理构造平行线解题.作平行线常用的方法有利用中点作中位线，利用比例线段作平行线等.,思维升华,跟踪训练1 (1)如图，在梯形ABCD中，ADBC，BD与AC相交于点O，过点O的直线分别交AB，CD于E，F，且EFBC，若AD12，BC20，求EF的长度.,解答,ADBC，,EFOEOF15.,(2)如图，在ABC中，DEBC，EFCD，若BC3，DE2，DF1，求AB的长.,解答,DEBC，,题型二 相似三角形的判定与性质,例2 (2016江苏)如图，在ABC中，ABC90，BDAC，D为垂足，E是BC的中点，求证：EDCABD.,证明,由BDAC，可得BDC90，,则EDCC，由BDC90，得CDBC90， 又ABC90，则ABDDBC90， ABDC， 又EDCC，EDCABD.,(1)判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点，灵活选择判定定理.在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到. (2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，也可间接证明线段相等.,思维升华,解答,跟踪训练2 (1)如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知AC，PD2DA2，求PE的长.,BCPE， PEDCA， PDEPEA，,又PD2DA2，PAPDDA3.,解答,(2)如图，四边形ABCD中，DFAB，垂足为F，DF3，AF2FB2，延 长FB到E，使BEFB，连结BD，EC.若BDEC，求四边形ABCD的面积.,如图，过点E作ENDB交DB的延长线于点N，在RtDFB中，DF3，FB1，则BD ，,由RtDFBRtENB，,所以EN为BCD底边BD上的高，,题型三 射影定理的应用,例3 (2016苏州调研)如图，在ABC中，D、F分别在AC、BC上，且ABAC，AFBC，BDDCFC1，求AC的长.,解答,在ABC中，设AC为x，,ABAC，AFBC. 又FC1，根据射影定理， 得AC2FCBC， 即BCx2. 再由射影定理，得AF2BFFC(BCFC)FC，,在BDC中，过D作DEBC于E.,在RtDEC中，DE2EC2DC2，,(1)在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”. (2)证题时，作垂线构造直角三角形是解直角三角形常用的方法.,思维升华,跟踪训练3 (1)如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于D，且ADBD94，求ACBC.,解答,AC2ADAB，BC2BDAB， AC2BC2ADBD94， ACBC32.,(2)已知圆的直径AB13，C为圆上一点， 过C作CDAB于D(ADBD)，若CD6，求AD的长.,解答,课时作业,1.(2016苏州一模)如图，OAB是等腰三角形，P是底边AB延长线上一点，且PO3，PAPB4，求腰长OA的长度.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,如图，作ODAP，垂足为D， 则PO2PD2OB2BD2， 所以PO2OB2PD2BD2， 因为ADBD，所以PD2BD2PD2AD2(PDAD)(PDAD)PAPB4， 所以PO2OB24，所以OB2945，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,2.(2016徐州模拟)如图，BD，AEBC，ACD90，且AB6，AC4，AD12，求AE的长.,由于ACDAEB90，BD，ABEADC，,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,3.如图，RtABC中，BAC90，AD是斜边BC上的高，若ABAC21，求ADBC.,BAC90，ADBC，AC2CDBC，,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,4.在ABC中，ACB90，CDAB于D，ADBD23，求ACD与CBD的相似比.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,如图所示，在RtACB中，CDAB，由射影定理得： CD2ADBD， 又ADBD23， 令AD2x.则BD3x(x0)，,又ADCBDC90，ACDCBD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,5.如图所示，在ABC中，CAB90，ADBC于点D，BE是ABC的角平分线，交AD于点F，求证： .,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, BE是ABC的角平分线，,在RtABC中，由射影定理知，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,6.如图所示，在RtABC中，ACB90，M是BC的中点，CNAM，垂足是N，求证：ABBMAMBN.,证明,CM2MNAM， 又M是BC的中点，,又BMNAMB，AMBBMN，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,7.如图所示，平行四边形ABCD中，E是CD延长线上的一点，BE与AD交于点F，DE CD.,(1)求证：ABFCEB；,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,(2)若DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,四边形ABCD是平行四边形， ADBC，ABCD. DEFCEB，DEFABF.,SDEF2，SCEB18，SABF8. S四边形BCDFSCEBSDEF16. S四边形ABCDS四边形BCDFSABF16824.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,8.如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BECD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且BFEC.,(1)求证：ABFEAD.,ABCD，BAFAED. 又BFEC，BFEBFACADE， BFAADE.ABFEAD.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,(2)若BAE30，AD3，求BF的长.,BAE30，AEB60，,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,9.如图，在梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M.,(1)求证：EDMFBM；,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,E是AB的中点，AB2EB. AB2CD，CDEB. 又ABCD， 四边形CBED是平行四边形. CBDE，,EDMFBM.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,(2)若DB9，求BM.,解答,F是BC的中点， DE2BF.DM2BM，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,10.如图，在