高考数学大一轮复习 第七章 不等式 7_4 基本不等式及其应用课件 理 苏教版

7.4 基本不等式及其应用,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.基本不等式,知识梳理,(1)基本不等式成立的条件： . (2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a2b2 (a，bR). (2) (a，b同号).,a0，b0,ab,2ab,2,(3)ab (a，bR). (4) (a，bR). 以上不等式等号成立的条件均为ab. 3.算术平均数与几何平均数 设a0，b0，则a，b的算术平均数为 ，几何平均数为 ，基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时两者相等.,4.利用基本不等式求最值问题 已知x0，y0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 时，xy有最 值 . (简记：积定和最小) (2)如果和xy是定值p，那么当且仅当 时，xy有最 值 . (简记：和定积最大),xy,小,xy,大,不等式的恒成立、能成立、恰成立问题 (1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)A在区间D上恒成立 ； 若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)B在区间D上恒成立 .,f(x)minA(xD),f(x)maxB(xD),(2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)A成立 ； 若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)A恰在区间D上成立f(x)A的解集为D； 不等式f(x)B恰在区间D上成立f(x)B的解集为D.,f(x)maxA(xD),f(x)minB(xD),判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数yx 的最小值是2.( ) (2)函数f(x)cos x ，x(0， )的最小值等于4.( ) (3)“x0且y0”是“ 2”的充要条件.( ) (4)若a0，则a3 的最小值为 .( ) (5)不等式a2b22ab与 有相同的成立条件.( ) (6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.( ),考点自测,1.(教材改编)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为_.,答案,解析,81,x0，y0，,即xy( )281，,当且仅当xy9时，(xy)max81.,2.(教材改编)若0x1，则 的取值范围是_.,答案,解析,由00，,当且仅当x 时，上式等号成立.,3.(教材改编)当点(x，y)在直线x3y20上移动时，函数z3x27y3的最小值是_.,答案,解析,当且仅当3x33y，,9,即x1，y 时，z取最小值.,4.(教材改编)已知x0，y0，且x4y1，则xy的最大值为_.,答案,解析,当且仅当x4y ，,5.(教材改编)若x(0，)，则sin x 2；若a，b(0，)，则lg alg b ；若xR，则 4.其中正确结论的序号是_.,答案,解析,因为x(0，)，所以sin x(0,1，所以成立； 只有在lg a0，lg b0，即a1，b1时才成立；,当且仅当x2时“”成立.,题型分类 深度剖析,题型一 利用基本不等式求最值 命题点1 通过配凑法利用基本不等式 例1 (1)已知0x1，则x(43x)取得最大值时x的值为_.,答案,解析,当且仅当3x43x，即x 时，取等号.,(2)已知x ，则f(x)4x2 的最大值为_.,1,答案,解析,因为x0，,则f(x)4x2 (54x )3231.,当且仅当54x ，即x1时，等号成立.,故f(x)4x2 的最大值为1.,(3)函数y (x1)的最小值为_.,答案,解析,当且仅当(x1) ，,即x 1时，等号成立.,命题点2 通过常数代换法利用基本不等式,答案,解析,例2 已知a0，b0，ab1，则 的最小值为_.,4,a0，b0，ab1，,即 的最小值为4，当且仅当ab 时等号成立.,引申探究 1.条件不变，求(1 )(1 )的最小值.,解答,52( )549.,当且仅当ab 时，取等号.,2.已知a0，b0， 4，求ab的最小值.,解答,当且仅当ab 时取等号.,3.将条件改为a2b3，求 的最小值.,解答,a2b3，,当且仅当a 时，取等号.,(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件. (2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. (3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值.,思维升华,跟踪训练1 (1)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是_.,答案,解析,5,方法一 由x3y5xy可得 1，,3x4y(3x4y)( ),(当且仅当 ，即x1，y 时，等号成立)，,3x4y的最小值是5.,方法二 由x3y5xy，得x ，,x0，y0，y ，,当且仅当y 时等号成立，(3x4y)min5.,(2)设ab2，b0，则 取最小值时，a的值为_.,答案,解析,2,ab2，,当且仅当 时等号成立.,又ab2，b0，,当b2a，a2时， 取得最小值.,题型二 基本不等式的实际应用 例3 (1)设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则 的最小值为_.,答案,解析,由题意得z2xy，lg x0，lg y0，,当且仅当 ，,即lg y2lg x，即yx2时取等号.,(2)(2016江苏苏州暑假测试)设正四面体ABCD的棱长为 ，P是棱AB上的任意一点(不与点A，B重合)，且点P到平面ACD，平面BCD的距离分别为x，y，则 的最小值是_.,答案,解析,过点A作AO平面BCD于点O，则O为BCD的重心，,所以AO 2.,又VPBCDVPACDVABCD，,即xy2.,当且仅当x3 ，y 1时取等号.,(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.,思维升华,跟踪训练2 (1)设x，y0，且xy4，若不等式 m恒成立， 则实数m的最大值为_.,答案,解析,当且仅当y2x 时等号成立.,(2)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是_万元.,答案,解析,8,年平均利润为 x 18,(x )18，, 18(x )18108，,当且仅当x ，即x5时，取等号.,题型三 基本不等式的综合应用 命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题 例4 若不等式x a(xy)对任意的实数x，y(0，)恒成立， 则实数a的最小值为_.,答案,解析,几何画板展示,由题意得a 恒成立.,令t (t0)，则a ，,再令12tu(u1)，则t ，,因为u (当且仅当u 时等号成立)，,故u 2 2，,命题点2 求参数值或取值范围 例5 (1)已知a0，b0，若不等式 恒成立，则m的最大值为_.,答案,解析,又 6 612(当且仅当 时等号成立)，,m12，m的最大值为12.,12,(2)已知函数f(x) (aR)，若对于任意的xN*，f(x)3恒成立， 则a的取值范围是_.,答案,解析,对任意xN*，f(x)3恒成立，即 3恒成立， 即知a(x )3.,设g(x)x ，xN*，则g(2)6，g(3) .,g(2)g(3)，g(x)min ，(x )3 ，,a ，故a的取值范围是 ，).,(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解. (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解. (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.,思维升华,跟踪训练3 (2016江苏三校联考)北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元？,解答,设每件定价为t元，,依题意得(8 0.2)t258，,整理得t265t1 0000，解得25t40. 所以要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为40元.,几何画板展示,(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元，公司拟投入 (x2600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.,解答,依题意知，x25，,且ax25850 (x2600) ，,等价于a (x25).,当且仅当 ，即x30时等号成立，所以a10.2.,当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.,典例 (1)已知x0，y0，且 1，则xy的最小值是_.,利用基本不等式求最值,现场纠错系列8,现场纠错,纠错心得,利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件.,错解展示,(2)函数y12x (x0)的值域为_.,解析 (1)x0，y0，,返回,xy的最小值为 .,函数y12x (x0)的值域为(，1 .,解析 (1)x0，y0，,xy(xy)( ),3 3 (当且仅当y 时取等号)，,当x 1，y2 时，(xy)min3 .,当且仅当x 时取等号，,故函数y12x (x0)的值域为1 ，).,答案 (1)3 (2)1 ，),返回,课时作业,1.(教材改编)已知a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的序号是_. a2b22ab； ab ；,答案,解析,因为a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立，所以错误；,对于，因为ab0，,对于，当a0，b0时，明显错误.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,2.(教材改编)用长为16 cm的铁丝围成一个矩形，则所围成的矩形的最大面积是_ cm2.,答案,解析,16,设矩形长为x cm(0x8)，则宽为(8x)cm，面积Sx(8x).,由于x0,8x0，可得S( )216，,当且仅当x8x，即x4时，Smax16. 所以矩形的最大面积是16 cm2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,3.当x0时，函数f(x) 有最_值，为_.,答案,解析,大,1,当且仅当x1时取等号.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,4.(2016盐城模拟)函数y 的最小值为_.,答案,解析,2,当且仅当 ，,即x0时，y取到最小值2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,5.设正数a，使a2a20成立，若t0，则 logat_loga (填“” “”“”或“”).,答案,解析,因为t0，所以 ，,因为a2a20，所以a1， 又a0，所以a1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,6.设f(x)x2x1，g(x)x21，则 的取值范围是_.,答案,解析,当x0时， 1；,当x0时，,当x0时，x (x)( )2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,*7.(2016吉林九校第二次联考)若正数a，b满足 1，则 的最小值是_.,答案,解析,6,正数a，b满足 1，,b 0，解得a1.,同理可得b1，,当且仅当 9(a1)，即a 时等号成立，最小值为6.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,8.(2016南京一模)已知x，yR且满足x22xy4y26，则zx24y2的取值范围为_.,答案,解析,4,12,2xy6(x24y2)，而2xy ，,6(x24y2) ，,x24y24(当且仅当x2y时取等号). 又(x2y)262xy0， 即2xy6，zx24y262xy12 (当且仅当x2y时取等号). 综上可知4x24y212.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,9.已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则 的最小值为_.,答案,解析,4,224，当且仅当xy时，等号成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,10.某民营企业的一种电子产品，2015年的年产量在2014年基础上增长率为a；2016年计划在2015年的基础上增长率为b(a，b0)，若这两年的平均 增长率为q，则q与 的大小关系是_.,答案,解析,设2014年的年产量为1，则2016年的年产量为(1a)(1b)， (1q)2(1a)(1b)，,q ，当且仅当ab时，取“”.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,11.(2016泰州模拟)已知ab1且2logab3logba7，则a 的最小值为_.,答案,解析,3,因为2logab3logba7，所以2(logab)27logab30， 解得logab 或logab3， 因为ab1，所以logab(0,1)，故logab ，,当且仅当a2时等号成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,12.(2016南通模拟)设实数x，y满足 y21，则3x22xy的最小值是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,再令t32k(2,4)，则k ，,当且仅当t 时等号成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,方法二 令t3x22xy， 则y ，代入方程 y21并化简得8x4(46t)x2t20， 令ux24，则8u2(46t)ut20在4，)上有解，,从而由,得t212t40，解得t6 ，,当取得最小值时，u2 满足题意.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,方法三 因为 y21( y)( y)，,所以令 yt，则 y ，,从而,则3x22xy62t2 6 ，,当且仅当t2