高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9_1直线的方程课件理北师大版

9.1 直线的方程,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按 方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角.当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 . 倾斜角的范围为 .,知识梳理,逆时针,0，180),0,几何画板展示,(2)直线的斜率 定义：一条直线的倾斜角的 叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k ，倾斜角是90的直线斜率不存在. 过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1x2)的 直线的斜率公式为k .,正切值,tan ,2.直线方程的五种形式,yy0k(xx0),ykxb,AxByC0(A2B20),判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( ) (4)直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.( ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( ) (6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程 (yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示.( ),几何画板展示,1.(2016天津模拟)过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为 A.1 B.4 C.1或3 D.1或4,考点自测,答案,解析,2.(2016合肥一六八中学检测)直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是,答案,解析,几何画板展示,3.如果AC0且BC0，那么直线AxByC0不通过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,答案,解析,由已知得直线AxByC0在x轴上的截距 0，在y轴上的截距 0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.,4.(教材改编)直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a_.,答案,解析,1或2,令x0，得直线l在y轴上的截距为2a；,5.过点A(2，3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_.,答案,解析,3x2y0或xy50,当直线不过原点时，设直线方程为 1，即xya，将点A(2，3)代入，得a5，即直线方程为xy50.故所求直线的方程为3x2y0或xy50.,题型分类 深度剖析,题型一 直线的倾斜角与斜率,例1 (1)(2016北京东城区期末)已知直线l的倾斜角为，斜率为k，那么 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0， )为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_.,答案,解析,如图，,几何画板展示,引申探究,1.若将本例(2)中P(1,0)改为P(1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.,解答,2.若将本例(2)中的B点坐标改为(2，1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围.,解答,如图，直线PA的倾斜角为45， 直线PB的倾斜角为135， 由图像知l的倾斜角的范围为 0，45135，180).,思维升华,跟踪训练1 (2016南昌模拟)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y 相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为 A.150 B.135 C.120 D.不存在,答案,解析,几何画板展示,显然直线l的斜率存在， 设过点P(2,0)的直线l为yk(x2)，,当且仅当(2k)222k2，即k2 时等号成立，,题型二 求直线的方程,解答,由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.,即x3y40或x3y40.,(2)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；,解答,设直线l在x，y轴上的截距均为a. 若a0，即l过点(0,0)及(4,1)，,a5， l的方程为xy50. 综上可知，直线l的方程为x4y0或xy50.,(3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.,解答,当斜率不存在时，所求直线方程为x50； 当斜率存在时，设其为k， 则所求直线方程为y10k(x5)， 即kxy(105k)0.,故所求直线方程为3x4y250. 综上知，所求直线方程为x50或3x4y250.,思维升华,在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.,跟踪训练2 求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；,解答,设直线l在x，y轴上的截距均为a， 若a0，即l过点(0,0)和(3,2)，,a5，l的方程为xy50， 综上可知，直线l的方程为2x3y0或xy50.,解答,又直线经过点A(1，3)，,即3x4y150.,解答,(3)过点A(1，1)与已知直线l1：2xy60相交于B点且|AB|5.,过点A(1，1)与y轴平行的直线为x1.,求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|5， 即x1为所求. 设过A(1，1)且与y轴不平行的直线为 y1k(x1)，,即3x4y10. 综上可知，所求直线方程为x1或3x4y10.,题型三 直线方程的综合应用,命题点1 与基本不等式相结合求最值问题,例3 已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.,解答,方法二 依题意知，直线l的斜率k存在且k0. 则直线l的方程为y2k(x3)(k0)，,即ABO的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x3y120.,例4 已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值.,命题点2 由直线方程解决参数问题,解答,由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2a，直线l2在x轴上的截距为a22，,思维升华,与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值. (2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程. (3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.,跟踪训练3 (2016潍坊模拟)直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当|OA|OB|最小时，求直线l的方程.,解答,依题意，直线l的斜率存在且斜率为负， 设直线l的斜率为k， 则直线l的方程为y4k(x1)(k0).,令x0，可得B(0,4k).,即k2时，|OA|OB|取最小值. 这时直线l的方程为2xy60.,典例 设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR). (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求a.,求与截距有关的直线方程,现场纠错系列11,在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.,错解展示,现场纠错,纠错心得,返回,解 (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，a2，方程即为3xy0. 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.,a0，方程即为xy20. 综上，直线l的方程为3xy0或xy20.,a2或a2.,返回,课时作业,1.(2016北京顺义区检测)若直线y2x3k14与直线x4y3k 2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是 A.62,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,因为直线y2x3k14与直线x4y3k2的交点位于第四象限，所以k60且k20，所以6k2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2016威海模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线yx1的倾斜角小 的直线方程是 A.x2 B.y1 C.x1 D.y2,答案,解析,斜率不存在，过点(2,1)的所求直线方程为x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2016景德镇检测)已知点A在直线x2y10上，点B在直线x2y30上，线段AB的中点为P(x0，y0)，且满足y0x02，则 的取值范围为,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,AB的中点为P(x0，y0)，B(2x0x1,2y0y1). A，B分别在直线x2y10和x2y30上， x12y110,2x0x12(2y0y1)30， 2x04y020，即x02y010.,又y0x02，kx0x02，即(k1)x02，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.已知两点M(2，3)，N(3，2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是,答案,解析,如图所示，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,要使直线l与线段MN相交， 当l的倾斜角小于90时，kkPN； 当l的倾斜角大于90时，kkPM，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.直线axbyc0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足 A.ab0，bc0，bc0 C.ab0 D.ab0，bc0,答案,解析,由于直线axbyc0经过第一、二、四象限，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 A.k1k2k3 B.k3k1k2 C.k3k2k1 D.k1k3k2,答案,解析,直线l1的倾斜角1是钝角，故k10，直线l2与l3的倾斜角2与3均为锐角且23，所以0k3k2，因此k1k3k2，故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是_.,答案,解析,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.(2016潍坊模拟)直线l过点(2,2)且与x轴，y轴分别交于点(a,0)，(0，b)，若|a|b|，则直线l的方程为_.,答案,解析,xy0或xy40,若ab0，则直线l过点(0,0)与(2,2)， 直线l的斜率k1，直线l的方程为yx，即xy0.,此时，直线l的方程为xy40.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.设点A(1,0)，B(1,0)，直线2xyb0与线段AB相交，则b的取值范围是_.,答案,解析,2,2,b为直线y2xb在y轴上的截距， 如图，当直线y2xb过点A(1,0)和点B(1,0)时， b分别取得最小值和最大值. 所以b的取值范围是2,2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.(2016山师大附中模拟)函数ya1x(a0，a1)的图像恒过定点A，若点A在mxny10(mn0)上，则 的最小值为_.,答案,解析,函数ya1x(a0，a1)的图像恒过定点A(1,1). 把A(1,1)代入直线方程得mn1(mn0).,4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.(2016太原模拟)已知两点A(1,2)，B(m,3). (1)求直线AB的方程；,解答,当m1时，直线AB的方程为x1，,即x(m1)y2m30.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.已知点P(2，1). (1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；,解答,过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，1)，显然，过点P(2，1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时直线l的斜率不存在，其方程为x2. 若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)， 即kxy2k10.,此时l的方程为3x4y100. 综上可得直线l的方程为x2或3x4y100.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图所示. 由lOP，得klkOP1，,由直线方程的点斜式， 得y12(x2)， 即2xy50.,所以直线2xy50是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10