拉氏轉換與自動控制關聯性.doc

蒅薃肈节莁薂膀蒇蚀薁袀芀薆薀羂蒆蒂蕿肄艿莈蚈膇肁蚆蚈袆芇薂蚇聿肀薈蚆膁莅蒄蚅袁膈莀蚄羃莃虿蚃肅膆薅蚂膈莂蒁螂袇膅莇螁羀莀芃螀膂膃蚁蝿袂蒈薇螈羄芁蒃螇肆蒇荿螆膈艿蚈螆袈肂薄袅羀芈蒀袄肃肁莆袃螂芆莂袂羅腿蚁袁肇莄薇袀腿膇蒃袀衿莃荿衿羁膅蚇羈肄莁薃羇膆膄葿羆袆荿蒅薃肈节莁薂膀蒇蚀薁袀芀薆薀羂蒆蒂蕿肄艿莈蚈膇肁蚆蚈袆芇薂蚇聿肀薈蚆膁莅蒄蚅袁膈莀蚄羃莃虿蚃肅膆薅蚂膈莂蒁螂袇膅莇螁羀莀芃螀膂膃蚁蝿袂蒈薇螈羄芁蒃螇肆蒇荿螆膈艿蚈螆袈肂薄袅羀芈蒀袄肃肁莆袃螂芆莂袂羅腿蚁袁肇莄薇袀腿膇蒃袀衿莃荿衿羁膅蚇羈肄莁薃羇膆膄葿羆袆荿蒅薃肈节莁薂膀蒇蚀薁袀芀薆薀羂蒆蒂蕿肄艿莈蚈膇肁蚆蚈袆芇薂蚇聿肀薈蚆膁莅蒄蚅袁膈莀蚄羃莃虿蚃肅膆薅蚂膈莂蒁螂袇膅莇螁羀莀芃螀膂膃蚁蝿袂蒈薇螈羄芁蒃螇肆蒇荿螆膈艿蚈螆袈肂薄袅羀芈蒀袄肃肁莆袃螂芆莂袂羅腿蚁袁肇莄薇袀腿膇蒃袀衿莃荿衿羁膅蚇羈肄莁薃羇膆膄葿羆袆荿蒅薃肈节莁薂膀蒇蚀薁袀芀薆薀羂蒆蒂蕿肄艿莈蚈膇肁蚆蚈袆芇薂蚇聿肀薈蚆膁 拉氏轉換與自動控制關聯性高昆義生機二乙 0914422摘要 本報告是在說明拉式轉換對於自動控制中線性偏微分方程式的幫助，透過拉式轉換可簡約了很多繁雜的數學步驟，另外此份報告還提到拉式轉換的基本定理和公式，可使讀者更能了解拉式轉換的使用方法，最後也提到利用拉式轉換解線性偏微分方程式的步驟，如此更能有效的應用這些工具來達成需要的目的。關鍵詞：拉式轉換(Laplace transform)，拉式方程式(Laplaces equation)。一、前言科學常藉著數學來解決或推演一些複雜的問題，因此從古至今科學家在數學方面也具有即高的成就，自動控制的線性常微分方程式若以時間為參數的方式來解，過程較為複雜且困難，若能利用拉氏轉換將時間參數轉為s參數，在數學的計算方面，即可相當的便利與容易，且透過拉氏轉換，一個系統的暫態與穩態響應也可一次求得，對於結果的求得可說是便利許多。二、內容 拉普拉斯，一位法國的數學家及天文學家，1749年3月23日生於法國西北部卡爾瓦多斯的博蒙昂諾日，1827年3月5日卒於巴黎，涉略很廣，天文、數學、物理、化學，都有相當的研究及貢獻，但主要研究天體力學和物理學，認為數學只是一種解決問題工具，不過卻也因此發明了許多解決問題的數學方法，像是拉式轉換(Laplace transform)與拉式方程式(Laplaces equation)，成就不在話下。 拉式轉換的定義:已知一函數f(t)以及一有限實數，且f(t)滿足下列條件： 則f(t)之拉式轉換定義為 其中F(s)為複變數s之函數由F(s)求f(t)之運算即為反拉式轉換，可表示為 基本函數之拉式轉換：f(t)Lf(t)f(t)Lf(t)11/set1/(s-a)t1/s2costs/(s2+a2)t22!/s3sinta/(s2+a2)t33!/s4coshts/(s2-a2)tnn!/sn+1sinhta/(s2-a2) 拉式轉換定理:1.線性定理 Lk1f1(t)+k2f2(t)=k1F1(s)+K2F2(s) 其中k1，k2為常數2.微分定理 Lf(t)=sF(s)-f(0)(n-1)(n) Lf(t)=(ss)F(s)-sf(0)-f(0) Lf =(sn)F(s)-s(n-1)-s(n-2)f(0)-f (0)3.積分定理 4.複數的微分 L(tn)f(t)=(-1)n(dn)F(s)/dsn 其中 n=1,2,3,5.複數的積分 Lf(t)/t=F()d6.複數移位定理(shift in s) Le(t)f(t)=F(s-a)7.時間移位定理(shift in time) Lf(t-a)us(t-a)=e(-s)F(s)8.時間刻度轉換 Lf(t/a)=F(s)9.初值定理(initial value theorem) 10.終值定理(final value theoem)：若sF(s)在虛軸和s-平面右半面為可解析，則 11.實數迴旋定理(Real convolution theorem) Lf1(t)*f2(t)=F1(s)F2(s)-1 或 f1(t)*f2(t)=L F1(s)F2(s)當以拉氏轉換來解線性常微分方程式時，可藉由以下步驟，以便更易於解題1. 對原方程式取拉式轉換，使成為以s為變數的代數式。2. 將初始條件代入，並解出輸出變數。3. 展開成部分分式展開式。4. 求反拉式轉換，即得。三、結論 當解決一些問題時，常會遇到某些無法直接去運算或難以運算的障礙，若能藉著一些有效的工具，在時間的效率上並訂可以大大的改進，就像是線性常微分方程式，若能藉著拉式轉換微運算工具，在解題上必可迎刃而解。四、參考文獻1.蘇德仁 博士校閱. 劉炳麟/蔡春益編著. 自動控制. 條碼號107921. 索書號448.9 7240 862..tw/mfht206/history/18/france.htm3..tw/sd/math/person.htm#拉普拉斯 蚄螄肄膀蒇螀肃莂螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆肀荿蝿蚂腿蒁薂羁膈膁螈袇膇芃薀袃膇蒆袆蝿膆薈虿肇膅芈蒂羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅节膂蚅蚁节芄蒈羀芁蒆蚄羆芀蕿薆袂艿芈螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃芆薅薃衿莆芅蝿螅羂莇薁蚁羁薀螇聿羀艿蚀羅罿莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆蒁肆羇芆蚆羂肆莈葿袈肅蒀蚄螄肄膀蒇螀肃莂螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆肀荿蝿蚂腿蒁薂羁膈膁螈袇膇芃薀袃膇蒆袆蝿膆薈虿肇膅芈蒂羃膄莀蚇衿膃蒂蒀螅节膂蚅蚁节芄蒈羀芁蒆蚄羆芀蕿薆袂艿芈螂螈芈莁薅肇芇蒃螀羃芆薅薃衿莆芅蝿螅羂莇薁蚁羁薀螇聿羀艿蚀羅罿莂袅袁罿蒄蚈螇羈薆蒁肆羇芆蚆羂肆莈葿袈肅蒀蚄螄肄膀蒇螀肃莂螃肈肃蒅薆羄肂薇螁袀肁芇薄螆肀荿蝿蚂腿蒁薂羁膈膁螈袇膇芃薀袃