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文档简介
偏微分方程期末考试复习一、波动方程(双曲型方程)(一)初值问题(柯西问题)1、一维情形(1)解法(传播波法):由叠加原理,原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和,(I) ()其中,问题(I)的解由达朗贝尔公式给出:由齐次化原理,问题()的解为:其中,是下述初值问题的解:,利用达朗贝尔公式得从而问题()的解为:综上所述,原初值问题的解为:(2)依赖区间、决定区域、影响区域、特征线:依赖区间:点(x , t)的依赖区间为:x-at , x+at;决定区域:区间的决定区域为:(x,t)|影响区域:区间的影响区域为:(x,t)|特征线:(3)解的验证:见课本P10, P142、三维情形(1)解法(球面平均法):由叠加原理,原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和,(I) ()其中,问题(I)的解由泊松公式给出:由齐次化原理,问题()的解为:其中,是下述初值问题的解:,利用泊松公式得从而问题()的解为:综上所述,原初值问题的解为:(2)依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、惠更斯原理(无后效现象):依赖区域(球面):点的依赖区域为;决定区域(锥体):球面决定区域为: ;影响区域(锥面):点的影响区域为: 特征锥:惠更斯原理(无后效现象)见课本P35(3)解的验证:见课本P29, P323、二维情形(1)解法(降维法):由叠加原理,原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和,(I) ()其中,问题(I)的解由二维泊松公式给出:由齐次化原理,问题()的解为:其中,是下述初值问题的解:,利用泊松公式得从而问题()的解为:综上所述,原初值问题的解为:(2)依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、后效现象:依赖区域(圆饼):点的依赖区域为;决定区域(锥体):圆饼决定区域为: ;影响区域(锥体):点的影响区域为: 特征锥:后效现象见课本P35、36(3)解的验证:课本没有,有兴趣的童鞋自己动手丰衣足食。(二)初边值问题(1)解法(分离变量法):由叠加原理,原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和,(I) ()用分离变量法(过程请脑内补完)得到(I)的解为:其中用齐次化原理得到()的解:从而原初边值问题的解为:注:非齐次边界条件的情形见课本P21、22(2)解的验证、相容性条件(见课本P19)相容性条件:函数,并且二、热传导方程(抛物型方程)(一)初边值问题(注:由于老师讲课以及课后习题中都没有非齐次方程的初边值问题,估计不会考;但是边界条件有可能给第一、第二、第三类边界条件,这里的解法仅一第一类齐次边界条件为例)(1)解法(分离变量法):用分离变量法(过程请脑内补完)得到原方程的解为:其中注:非齐次边界条件的情形见课本P21、22(2)解的验证、相容性条件(见课本P51、52)(二)柯西问题(1)傅里叶变换(必考的重点)一维情形:傅里叶变换:傅里叶逆变换:高维情形:设,傅里叶变换:傅里叶逆变换:傅里叶变换的性质:性质1 性质2 性质3 性质4 性质5 (2)解法:由叠加原理,原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和,(I) ()其中问题(I)的解由泊松公式给出:用齐次化原理得到问题()的解:从而原柯西问题的解为:(3)解的验证(见课本P58、59)(三)极值原理、定解问题解的唯一性与稳定性(见课本P6065)极值原理 热传导方程()的解u(x,t)在抛物边界上取得极大、极小值。三、调和方程(椭圆型方程)(一)拉普拉斯算子、梯度与散度1、几个常用的关系式:; ,为单位向量; 2、拉普拉斯算子在不同坐标系下的形式:直角坐标系:球面坐标系:柱面坐标系:极坐标系:(二)变分原理(见课本P71、72)(算是难点,但期末考估计不会涉及,此处从略)(三)格林公式及其应用1、格林公式:2、格林第一公式:3、格林第二公式:4、调和函数的基本积分公式:若,则若,则5、若在以曲面为边界的区域内调和,在上有连续一阶偏导数,则.由此得到诺依曼边界条件有解的必要条件是函数满足6、球面平均值公式(条件略): 7、球体平均值公式(条件略): 8、极值原理、第一边值问题的唯一性及稳定性(略)(四)格林函数1、格林函数法:调和函数的第一边值问题的解可以表示为:2、格林函数的性质: 性质1 格林函数除一点外处处调和,而当时,趋于无穷大的阶数与相同;性质 2 ;性质 3 性质 4 性质 5 3、静电原像法:(1)球的泊松公式:或(2)圆的泊松公式:或(3)
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