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文档简介

第4讲数列1等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点,经常以小题形式出现;2数列的通项也是高考热点,常在解答题中的第(1)问出现,难度中档以下3高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现,通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和,难度中档偏下1等差数列(1)通项公式:ana1(n1)d;(2)求和公式:Snna1d;(3)性质:若m,n,p,qN*,且mnpq,则amanapaq;anam(nm)d;Sm,S2mSm,S3mS2m,成等差数列2等比数列(1)通项公式:ana1qn-1(q0);(2)求和公式:q1,Snna1;q1,Sn;(3)性质:若m,n,p,qN*,且mnpq,则amanapaq;anamqn-m;Sm,S2mSm,S3mS2m,(Sm0)成等比数列3数列求和(1)分组转化求和:一个数列既不是等差数列,也不是等比数列,若将这个数列适当拆开,重新组合,就会变成几个可以求和的部分,分别求和,然后再合并(2)错位相减法:主要用于求数列anbn的前n项和,其中an,bn分别是等差数列和等比数列(3)裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式,然后通过累加抵消中间若干项的方法,裂项相消法适用于形如(其中an是各项均不为零的等差数列,c为常数)的数列热点一等差(比)数列的性质【例1】(1)(2018南昌联考)等比数列中,若,则等于()A-4B4C4D172(2)(2017北京海淀区质检)已知数列an的前n项和为Sn,且满足Sn2an2,若数列bn满足bn10log2an,则使数列bn的前n项和取最大值时的n的值为_解析(1)数列为等比数列,即,则故选B(2)Sn2an2,n1时,a12a12,解得a12当n2时,anSnSn12an2(2an12),an2an1数列an是公比与首项都为2的等比数列,an2nbn10log2an10n由bn10n0,解得n10使数列bn的前n项和取最大值时的n的值为9或10答案(1)B(2)9或10探究提高1利用等差(比)性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手选择恰当的性质进行求解2活用函数性质:数列是一种特殊的函数,具有函数的一些性质,如单调性、周期性等,可利用函数的性质解题【训练1】 (1)设等差数列an的公差为d,若数列2a1an为递减数列,则()Ad0Bd0Da1d0(2) (2018银川一中)等比数列an的前n项和为Sn,己知S23,S415,则S3()A7B9C7或9D638解析(1)因为数列2a1an为递减数列,所以2a1an2a1an1,则a1ana1an1,a1(anan1)0,从而a1d0,a2an4Sn3(1)求an的通项公式;(2)设bn,求数列bn的前n项和解(1)由a2an4Sn3,可知a2an14Sn13两式相减可得aa2(an1an)4an1,即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由于an0,可得an1an2又a2a14a13,解得a11(舍去),a13所以an是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an2n1(2)由an2n1可知bn设数列bn的前n项和为Tn,则Tnb1b2bn探究提高1裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项,使这些裂开的项出现有规律的相互抵消,要注意消去了哪些项,保留了哪些项2消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项【训练32】 (2019广元一模)设Sn为数列an的前n项和,已知a1=2,对任意nN*,都有2Sn=(n+1)an(1)求数列an的通项公式;(2)若数列4an(an+2)的前n项和为Tn,证明:12Tn0,所以1-1n+11又因为fn=1n+1在N*上是单调递减函数,所以1-1n+1在N*上是单调递增函数所以当n=1时,Tn取最小值12,所以12Tn0,解得q2,所以bn2n由b3a42a1,可得3da18,由S1111b4,可得a15d16,联立,解得a11,d3,由此可得an3n2所以an的通项公式为an3n2,bn的通项公式为bn2n(2)设数列a2nbn的前n项和为Tn,由a2n6n2,bn2n,有Tn 4210221623(6n2)2n,2Tn42210231624(6n8)2n(6n2)2n1,上述两式相减,得Tn4262262362n(6n2)2n14(6n2)2n1(3n4)2n216所以Tn(3n4)2n216所以数列a2nbn的前n项和为(3n4)2n216探究提高1一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比,然后作差求解2在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确地写出“SnqSn”的表达式【训练33】 (2018浙江期末)已知数列an满足:2n-1a1+2n-2a2+2an-1+an=n,nN*(1)求a1,a2及数列an的通项公式;(2)若数列bn满足:b1=1,bn+1-bnan=2n,求数列bn的通项公式解(1)n=1时a1=1,n=2时2a1+a2=2a2=02n-1a1+2n-2a2+2an-1+an=n2n-2a1+2n-3a2+an-1=n-1n2-2an=2-nn2a1=1满足上式,故an=2-n(2)bn+1-bn=2-n2n,有b2-b1=121b3-b2=022bn-bn-1=3-n2n-1n2累加整理bn=1+121+022+3-n2n-1,n22bn=2+122+023+3-n2n,n2-得bn=1-2+1221-2n-21-2+3-n2n=4-n2n-5n2b1=1满足上式,故bn=4-n2n-5热点四an与Sn的关系问题【例4】(2017济南模拟)设数列an的前n项和为Sn,对任意的正整数n,都有an5Sn1成立,bn1log2|an|,数列bn的前n项和为Tn,cn(1)求数列an的通项公式;(2)求数列cn的前n项和An,并求出An的最值解(1)因为an5Sn1,nN*,所以an15Sn11,两式相减,得an1an,又当n1时,a15a11,知a1,所以数列an是公比、首项均为的等比数列所以数列an的通项公式an(2)bn1log2|an|2n1,数列bn的前n项和Tnn2,cn,所以An1因此An是单调递增数列,当n1时,An有最小值A11;An没有最大值探究提高1给出Sn与an的递推关系求an,常用思路是:一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an2形如an1panq(p1,q0),可构造一个新的等比数列【训练4】(2019枣庄八中)已知数列an的前n项和为Sn,a1=2,Sn=2Sn-1-n(n2,nN*)(1)求an的通项公式;(2)若bn=nan,求bn的前n项和Tn解(1)Sn=2Sn-1-nn2,nN*,当n33时,Sn-1=2Sn-2n-1-得,an=2an-1-1,an-1=2an-1-1,所以an-1an-1-1=2n3当n=2时,a1+a2=2a1-2,得a2=0,则a2-1a1-1=-11=-12所以an-1是从第二项起,以2为公比的等比数列则an-1=-12n-2=-2n-2,an=-2n-2+1n2,nN*所以an=2,n=1-2n-2+1,n2(2)易知bn=2,n=1-n2n-2+n,n2Tn=2-220-321-n2n-2+2+3+n,2Tn=4-221-322-n2n-1+22+3+n,-得-Tn=-2-2-2-22-23-2n-2+n2n-1-n-1n+22=-4-2-2n-221-2+n2n-1-n-1n+22=2n-1n-1-2-n-1n+22所以Tn=n2+n+22-2n-1n-11(2018全国I卷)设Sn为等差数列an的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A-12B-10C10D122(2018全国I卷)记Sn为数列an的前n项和,若Sn=2an+1,则S6=_3(2018全国III卷)等比数列an中,a1=1,a5=4a3(1)求an的通项公式;(2)记Sn为an的前n项和若Sm=63,求m4(2018全国II卷)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值5(2018全国I卷)已知数列an满足a1=1,nan+1=2n+1an,设bn=ann(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列bn是否为等比数列,并说明理由;(3)求an的通项公式1(2018玉溪一中)设Sn为等比数列an的前n项和,a5a2=-8,则S5S2=( )A11B5C-11D-82(2018银川一中)在等差数列an中,若a10a90成立的正整数n的最大值是()A15B16C17D143(2018福建联考)在正整数数列中,由1开始依次按如下规则,将某些整数染成红色,先染1;再染3个偶数2,4,6;再染6后面最邻近的5个连续奇数7,9,11,13,15;再染15后面最邻近的7个连续偶数16,18,20,22,24,26,28;再染此后最邻近的9个连续奇数29,31,45;按此规则一直染下去,得到一红色子数列:1,2,4,6,7,9,11,13,15,16,则在这个红色子数列中,由1开始的第2019个数是()A3972B3974C3991D39934(2017沈阳二模)已知数列an满足an1an2,a15,则|a1|a2|a6|()A9B15C18D305(2017成都诊断)已知等比数列an的各项均为正数,且a12a25,4aa2a6(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足b12,且bn1bnan,求数列bn的通项公式;(3)设cn,求数列cn的前n项和为Tn1(2018长郡中学)已知数列an的前n项和为Sn,且Snn24n,若首项为13的数列bn满足1bn+1-1bn=an,则数列bn的前10项和为()A175264B3988C173264D1812642(2018莲塘一中)数列an的前n项和为Sn,a1=-8,且(3n-5)an+1=(3n-2)an-9n2+21n-10,若n,mN*,nm,则Sn-Sm的最大值为()A10B15C18D263(2016全国卷)已知各项都为正数的数列an满足a11,a(2an11)an2an10(1)求a2,a3;(2)求an的通项公式4(2018长春期末)已知数列an的前n项和Sn满足Sn=Sn-1+1n2,nN,且a1=1,(1)求数列的通项公式an;(2)记bn=1anan+1,Tn为bn的前n项和,求使Tn2n成立的n的最小值5(2017衡水中学质检)若数列an是公差为2的等差数列,数列bn满足b11,b22,且anbnbnnbn1(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设数列cn满足cn,数列cn的前n项和为Tn,若不等式(1)n0,a100,且a9+a100,由等差数列的性质和求和公式可得结论【答案】等差数列an的前n项和有最大值,等差数列an为递减数列,又a10a90,a100,a9+a100,又S18=18(a1+a18)20,Sn0成立的正整数n的最大值是17,故选C3【解题思路】根据题意知,每次涂成红色的数字成等差数列,并且第n次染色时所染的最后一个数是n(2n-1),可以求出2019个数是在第45次染色的倒数第7个数,因此可求得结果【答案】第1此染色的数为1=11,共染色1个,第2次染色的最后一个数为6=23,共染色3个,第3次染色的最后一个数为15=35,共染色5个,第4次染色的最后一个数为28=47,共染色7个,第5次染色的最后一个数为45=59,共染色9个,第n次染色的最后一个数为n(2n-1),共染色2n-1个,经过n次染色后被染色的数共有1+3+5+(2n-1)=n2个,而2019=4545-6,第2019个数是在第45次染色时被染色的,第45次染色的最后一个数为4589,且相邻两个数相差2,20194589-123993故选D4【解题思路】确定数列an中那些项是正数,那些项是负数【答案】an1an2,a15,数列an是公差为2的等差数列an52(n1)2n7数列an的前n项和Snn26n令an2n70,解得nn3时,|an|an;n4时,|an|an则|a1|a2|a6|a1a2a3a4a5a6S62S362662(3263)18故选C5【解题思路】(1)由a12a25,4aa2a6列方程组解出首项a1,公比q,(2)利用累加法求通项 (3)裂项相消法求前n项和【答案】解(1)设等比数列an的公比为q,由4aa2a6得4aa所以q24,由条件可知q0,故q2,由a12a25得a12a1q5,所以a11,故数列an的通项公式为an2n1(2)由bn1bnan得bn1bn2n1,故b2b120,b3b221,bnbn12n2(n2),以上n1个等式相加得bnb11212n22n11,由b12,所以bn2n11(nN*)(3)cn,所以Tnc1c2cn1【解题思路】首先根据数列中Sn与an的关系,求得an=2n+3,利用条件1bn+1-1bn=an=2n+3,用累加法求得bn=1n2+2n,用裂项相消法求和,之后将n=10代入求得结果【答案】由Sn=n2+4n,可得an=2n+3,根据1bn+1-1bn=an=2n+3,结合题的条件,应用累加法可求得1bn=n2+2n,所以bn=1n2+2n=1n(n+2)=12(1n-1n+2),所以数列bn的前n项和为Tn=12(1-13+12-14+1n-1n+2)=12(32-1n+1-1n+2),所以T10=12(32-111-112)=175264,故选A2【解题思路】由已知条件求出数列的通项公式,根据数列特征求出最值【答案】(3n-5)an+1=(3n-2)an-9n2+21n-10,(3n-5)an+1=(3n-2)an-9n2-21n+10,(3n-5)an+1=(3n-2)an-3n-53n-2,nN*,an+13n-2=an3n-5-1,数列an3n-5为等差数列,首项为a13-5=4,d=-1an3n-5=4-n-1=5-n,an=3n-55-n,a2=3,a3=8,a4=7在数列an中只有a2,a3,a4为正数Sn-Sm的最大值为a2+a3+a4=3+8+7=18,故选C3【解题思路】(1)代入n1,n2依次求出a2,a3,(2)化简a(2an11)an2an10可得为数列an等比数列【答案】解(1)由a11,a(2an11)an2an10,

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