线性系统的根轨迹法.ppt

成都信息工程学院-控制工程系,上节课内容回顾,两种误差定义间有何联系？ 如何求静态误差系数: kp、kv、ka？ 如何求静态误差： 位置误差、速度误差、加速度误差？ 简单说明如何消除稳态误差？,第四章 线性系统的根轨迹法,本章主要内容: 4.i 4.2 4.3 4.4 4.5,根轨迹法的基本概念 根轨迹绘制的基本法则 广义根轨迹 系统性能分析 根轨迹法校正（补充）,本讲要点介绍,作业和练习,1、理解根轨迹的基本概念 2、熟练掌握根轨迹的基本条件 3、熟练掌握绘制常规根轨迹的基本法则,习题：4-2（第五版） 4-3（第四版）,part 4.1.1 根轨迹概念,引例：求右图所示系统的闭环特征方程式的根,问：当k从零到无穷大变化时，两个根随k变化的轨迹？,part 4.1根轨迹法的基本概念,1）k=0，则： ，在s平面上的位置如下图所示：,2）0k=0.5时，则：一个根的绝对值随k的增大而增大，另一个根减小，两个根变化轨迹如下图所示：当k=0.5时，,3）k0.5时，两根为共轭复根，且其实部均为-1，而虚部的绝对值随k的增大而增大，两根变化轨迹如下图所示：,由引例得的特点：,2）动态性能： 0 0.5：,过阻尼 临界阻尼 欠阻尼,1）稳定性 系统始终稳定。,5）两条根轨迹离开实轴，进入复平面后，在复平面上的根轨迹关于实轴对称。,3）例中代数方程为二阶，根轨迹有2条分支； 4）若把 写为： 令： ，则根恰为根轨迹的起点；,根轨迹定义：,根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。,part 4.1.2闭环零、极点与开环零、极点之间的关系,kg*：前向通道根轨迹增益,1）前向通道传递函数：,2）反馈通道传递函数：,kh*：反馈通道根轨迹增益,k* ：开环系统根轨迹增益,3）开环传递函数：,4）闭环传递函数：,1）闭环系统的根轨迹增益 = 开环前向通道系统根轨迹增益；单位反馈时：闭环根轨迹增益=开环根轨迹增益 2）闭环系统的零点由开环前向通道传递函数的零点和反馈通道传递函数的极点所组成；单位反馈时：闭环零点=开环零点。 3）闭环极点与开环零点、开环极点、根轨迹增益k*均有关。,结论：,根轨迹法的任务：由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。,由闭环传递函数：,根轨迹方程,part 4.1.3 根轨迹方程-负反馈,闭环特征方程：,根轨迹方程可以进一步表示为复数指数形式：,相角条件（幅角条件）：（充分必要条件）,模值条件（幅值条件）：,说明： 1）根轨迹上的点应同时满足以上两个条件； 2）相角条件是决定（绘制）根轨迹的充要条件，若s1满足相角条件即为根轨迹上的一点； 3）模值条件用来确定根轨上点对应的k*；,绘制根轨迹的方法： 1）试探法，任选s看是否满足相角条件； 2）按基本法则（以下讲述）手工绘制； 3）用计算机绘制 rlocus(g),可变参数为根轨迹增益,part 4.2根轨迹绘制的基本法则,！绘制注意点,2）“”表示极点、 “”表示零点,3）加粗线及箭头,4）关键点的标注,1）实轴、虚轴相同的刻度,法则1：根轨迹的起点和终点： 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。,幅值条件：,实际系统nm，故有（n-m）个无穷远零点,法则2：根轨迹的分支、对称性和连续性,1）系统特征方程的阶次为n次特征方程有n个根， k变化(0到 ),n个根随着变化n条根轨迹； 2）闭环特征方程的根在开环零极点已定的情况下，各根分别是k的连续函数根轨迹连续； 3）特征方程的根为实根或共轭复数根 根轨迹关于实轴对称。,！仅需先购画出s平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部由镜象求得。,当系统nm时，有（nm）条根轨迹分支终止于无限远零点，沿着渐近线趋于无限远处，,法则3：根轨迹渐近线,渐近线也对称于实轴（包括与实轴重合）。,1）渐近线与实轴的交角（k=0,1,2）,2）渐近线与实轴交点的坐标值,已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。,3）渐近线与实轴正方向的夹角：,2）渐近线与实轴交点：,例1,法则4：实轴上的根轨迹,设开环零点：z1，,开环极点：p1、p2、p3、p4、p5,在实轴区段p2，p3上取试验点s1，相角：,？ s1是根轨迹上的点,如果实轴上某一区段的右边的实数开环零点、极点个数之和为奇数，则该区段实轴必是根轨迹。,1）每对共轭复数极点所提供的幅角之和为360；,3）s1左边所有位于实轴上的 每一个极点或零点所提供的 幅角为0。,2）s1右边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为180；,即： 相角只与s1右边的零极点个数和有关-奇数个,已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。,1）-2，-1 右侧实零、极点数=3。,2）-6，-4 右侧实零、极点数=7。,例2,分离点（或会合点）：根轨迹在s平面某一点相遇后 又立即分开。分离点必然是为d(s)某一数值时的重根点。,法则5：根轨迹的分离点与分离角,d坐标值由分式方程解出：,分离角（或会合角）：,会合（或分离）的根轨迹的条数,分离点上的根轨迹的切线方向与实轴正方向的夹角,例3 画出其大致根轨迹图,法则1、2,法则3,1）起点：,三个开环极点0、2、3,终点：,一个开环有限零点1和二个无限零点,2）根轨迹条数：,n=3条,渐近线条数：,n-m=3-1=2条,1）交角：,2）交点：,实轴上0到1和2到3两个区域段为根轨迹,法则4,法则5,在实轴上有根轨迹分离点，且在区段2到3之间,实轴上根轨迹区域,例4 画出其大致根轨迹图,法则1、2,根轨迹有二条分支，分别起始于开环极点-1+j、-1-j，终止于一个开环有限零点2和一个无限零点。根轨迹对称于实轴。,根轨迹有一条渐近线（nm1), 令k=0,法则3,实轴上2和区域段为根轨迹,法则4,法则5,在实轴上有根轨迹分离点，且在区段2到 之间,（-，-2,由相角条件证明其为圆的一部分,成都信息工程学院-控制工程系,上节课内容回顾,根轨迹的定义、任务？ 手工绘制根轨迹的法则： 法则1：根轨迹的起点、终点？ 法则2：分支数、对称性、连续性？ 法则3：根轨迹渐近线如何确定？ 法则4：实轴上的根轨迹如何确定？ 法则5：根轨迹的分离点如何确定？,本讲要点介绍,作业和练习,1、熟练掌握绘制常规根轨迹的基本法则 2、掌握常规根轨迹的绘制方法,习题：第四版：4-4（1）（3），4-5（1），4-6（2） 第五版：4-3（1）（3），4-4（1），4-5（2）,法则6：根轨迹的起始角和终止角（了解）,起始角 ：,终止角 ：,根轨迹离开复平面上开环极 点处的切线与实轴的夹角,根轨迹进入复平面上开环零 点处的切线与实轴的夹角,一般取值：0360,证明：设系统有n个极点，m个零点：取根轨迹上一点s1，离要求起始角的pi很近。s1应满足幅角条件： 因s1 离pi 很近，可用其余零、极点到pi的角代替其余零、极点到s1的角：pi,所有开环有限零点到被测极点的矢量角,除被测极点外的所有开环有限极点到被测极点的矢量角,所有开环有限极点到被测零点的矢量角,除被测零点外的所有开环有限零点到被测零点的矢量角,例4,根轨迹与虚轴相交闭环特征方程有纯虚根、系统处于稳定边界。,法则7：根轨迹与虚轴的交点,方法：应用劳斯判据求出系统处于稳定边界的临界值 k， 由k值求出相应的值。,方法：将代入特征方程,联立求解，根轨迹与虚轴的 交点值和相应的临界k值。,法则 8：闭环极点之和、闭环极点之积与根轨迹分支的走向,结论：1）若 n-m2 闭环极点之和 = 开环极点之和 = 常数 表明：在某些根轨迹分支（闭环极点）向左移动，而另一些根轨迹分支（闭环极点）必须向右移动，才能维持闭环极点之和为常数。 2）对于1型以上（包括1型）的系统，闭环极点之积与开环增益值成正比。,法则1、2,根轨迹有四条渐近线（nm4), 令k=0、1、2、3,法则3,根轨迹有四条分支，分别起始于开环极点0、-3、-1+j、-1-j，终止于四个无限零点。根轨迹对称于实轴,实轴上0到3区域段为根轨迹,法则4实轴上的根轨迹,法则5,在实轴上有根轨迹分离点，且在区段-3到0之间,-3，0,起始角：,法则6,法则7与虚轴的交点：运用劳斯判据,系统临界稳定的条件：,阵列中s2行元素构成辅助方程,例5根轨迹图,p.154 图4-15给出了一些不同开环零极点分布时，其根轨迹大致走向。,根轨迹示例2,j,0,练习1：设某负反馈的开环传递函数为： 试绘制系统完整的根轨迹。,解: 1）无开环零点，有三个开环极点为:,在实轴上根轨迹：-，0,2）有3条分支趋向无穷远处。渐近线的夹角与交点：,3）分离点不存在：,4）起始角（出射角）：,5）与虚轴的交点：令,练习2：设某负反馈的开环传递函数为： 试绘制系统完整的根轨迹。,解: 1）无开环零点，有四个开环极点为:,在实轴上根轨迹：-4，0,2）有4条分支趋向无穷远处。渐近线的夹角与交点：,3）分离点：,5）与虚轴的交点：运用劳斯判据,由第一列第四行元素为零,由辅助方程：,4）起始角（出射角）：,成都信息工程学院-控制工程系,上节课内容回顾,手工绘制根轨迹的法则： 法则6：根轨迹起始角、终止角如何确定？ 法则7：根轨迹与虚轴的交点如何确定？ 法则8： n-m2时，闭合极点之和与开环极点之和的关系 ？,本讲要点介绍,作业和练习,1、理解广义根轨迹的概念及绘制方法，特别是参数根轨迹的绘制方法 2、掌握零度根轨迹的绘制方法 3、会利用根轨迹分析系统的性能,习题：第四版：4-13（2），4-14（2），4-19 第五版：4-11（2），4-12（2），4-17,part 4.3广义根轨迹,除根轨迹增益k*以外，其它情形下所得的根轨迹-广义根轨迹，如：参数根轨迹、零度根轨迹。,part 4.3.1 参数根轨迹,引入等效开环传递函数的概念来解决,1）写出特征方程：,2）求出以待求参数为增益的等效开环传递函数：,“等效” 闭环极点相同， 而闭环零点是不一定相同。,例4-7：设单位负反馈系统的开环传递函数为：,其中开环增益k可自行选定。 试分析时间常数ta对系统 性能的影响。,解：闭环特征方程：,等效开环传函数：,要绘制参数根轨迹，首先要求出等效开环传递函数的极点：,等效开环极点：,选不同k值，将g1(s)的零、极点画在 s 平面上， 再令ta从0到变化绘制出ta变化时的参数根轨迹。,练习：已知某单位负反馈的开环传函为： 试绘制参数a从零到无穷大时闭环系统的根轨迹图,解：,1）特征方程：,2）等效开环传函：,非最小相位系统以及正反馈系统，其相角条件为 0o+2k，具有这类相角条件的根轨迹称：零度根轨迹,part 4.3.2 零度根轨迹,以正反馈系统为例：,1）闭环传函：,2）特征方程：,3）根轨迹方程：,由根轨迹方程推出：,1）相角条件：,2）模值条件：,3）与常规根轨迹相比： 相角条件不同，即：与其有关的法则改变 模值条件完全相同,法则3：渐近线的夹角改为：,法则4：实轴上的根轨迹 若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边（开环实数零点数+开环实数极点数）为偶数。,法则6：根轨迹的起始角和终止角改为：,1）起始角：,2）终止角：,书例4-8 设具有正反馈回路系统的内回路传递函数 分别为：,试绘制该回路的根轨迹图。 1）根轨迹的起点： 终点：,2）根轨迹分支数: 条 实轴上的根轨迹： 3）根轨迹的渐近线（n-m)=2条，渐近线：,（-，-3，-2， ）。,3,夹角： 交点：,4）确定分离点和分离角：,5）确定起始角：,6）确定临界开环增益，显然根轨迹过坐标原点，坐标原点对应的开环增益为：,附加的开环实数零点z1，可在s左半平面内任意选择：,1、 附加开环零点、极点的作用,1）设开环传函：,part 4.4系统性能的分析,开环零点对根轨迹的影响： 1）改变实轴上根轨迹的分布； 2）改变根轨迹的渐近线的条数、与实轴的交点坐标及夹角的大小； 3）使系统根轨迹向左偏移-提高系统的稳定性，开环负实零点离虚轴越近，其作用越大。 开环极点对根轨迹的影响： 1）除上述1）和2）以外：使系统根轨迹向右偏移-降低系统的稳定性，开环负实极点离虚轴越近，其作用越大,2）附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，还可以改善系统的动态性能。,结论：开环零点和极点重合或相近时，二者构成偶极子， 可抵消有损系统性能的极点对系统产生的不利影响。,2、闭环零点、极点的分布对系统性能的影响,设闭环传函为：,如果无重根，则单位阶跃输入时响应：,单位阶跃响应：,结论：p165,1）稳定性：全部极点位于s左半平面 2）运动形态：实数极点-时间响应单调的 复数极点-时间响应振荡的 3）平稳性（超调量）：主导极点的衰减率 4）快速性（调节时间）：靠近虚轴的闭环极点,3、某个特点k*值下闭环传递函数的确定,1）闭环传递函数的根轨迹增益的确定： 前向通道根轨迹增益，单位反馈即：开环根轨迹增益 2）闭环传递函数的零点的确定： 前向通道的零点和反馈通道的极点组成，单位反馈时，就等于开环零点。 3）闭环传递函数的极点的确定： 与开环零点、开环极点以及k*有关，可由系统的根轨迹图试探确定（模值条件以及闭环极点的和的性质）。,练习：已知某单位负反馈系统的开环传函为：,要求： 1）绘制系统概略根轨迹图； 2）使系统稳定的开环增益k的范围； 3）已知当k*=24时，该系统的一个闭环极点是-6，则 写出此时闭环系统的传递函数； 4）估算%=16.3时的k值； 5）估算无阻尼、响应无超调时的时开环增益k*取值。,法则1,法则3,起点：,0、-2、-5,终点：,3个无限零点,法则2,根轨迹分支数：,有3条,渐近线：,有3条（nm3), 令k=0、1、2,1）绘制根轨迹图：,法则4实轴上的根轨迹：,法则5分离点：,在实轴上有根轨迹分离点，且在区段-2到0之间,-2，0,-5，-）,（舍去）,法则6没有复平面的零极点,分离角：,法则7与虚轴的交点：运用劳斯判据,系统临界稳定的条件：,阵列中s2行元素构成辅助方程,特征方程：,根轨迹如图所示：,2）系统稳定的k值范围：,系统进入右半平面之前，系统均可稳定， 所以，稳定的k值范围：0k*70，即： 0k7,3）当k*=24时闭环传函的求取：,特征方程：,闭环传函为：,4）,当