江苏2018版高考数学复习导数的应用第2课时导数与函数的极值最值教师用书理苏教版.docx

第2课时导数与函数的极值、最值题型一用导数解决函数极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1(1)(2016淮安模拟)设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能是_.(2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是_.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)；函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)；函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)；函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2).答案(1)(2)解析(1)由f(x)图象可知，x0是函数f(x)的极大值点，x2是f(x)的极小值点.(2)由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值.命题点2求函数的极值例2设a为实数，函数f(x)x33xa.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.解(1)令f(x)3x230，得x11，x21.又因为当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)a2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰好有两个交点，即方程f(x)0恰好有两个实数根，所以a20，a2，如图1.当极小值等于0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰好有两个实数根，所以a20，a2.如图2.综上，当a2或a2时方程恰好有两个实数根.命题点3已知极值求参数例3(1)若函数f(x)在x1处取极值，则a_.(2)(2016南京学情调研)已知函数f(x)x3x22ax1，若函数f(x)在(1，2)上有极值，则实数a的取值范围为_.答案(1)3(2)(，4)解析(1)f(x)()，又函数f(x)在x1处取极值，f(1)0.121a0，a3.验证知a3符合题意.(2)方法一令f(x)x22x2a0，得x11，x21，因为x1(1，2)，因此则需1x22，即112，即412a9，所以a4，故实数a的取值范围为(，4).方法二f(x)x22x2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x1，则f(x)在(1，2)上是单调递增函数，因此解得a4，故实数a的取值范围为(，4).思维升华(1)求函数f(x)极值的步骤：确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值.(2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.(1)函数f(x)(x21)22的极值点是_.(2)函数y2x的极大值是_.答案(1)x1或1或0(2)3解析(1)f(x)x42x23，由f(x)4x34x4x(x1)(x1)0，得x0或x1或x1.又当x1时，f(x)0，当1x0.当0x1时，f(x)1时，f(x)0，x0，1，1都是f(x)的极值点.(2)y2，令y0，得x1.当x0或x0；当1x0时，y0，f(x)在区间(0，e上单调递增，此时函数f(x)无最小值.若0ae，则当x(0，a)时，f(x)0，函数f(x)在区间(a，e上单调递增，所以当xa时，函数f(x)取得最小值ln a.若ae，则当x(0，e时，f(x)0，函数f(x)在区间(0，e上单调递减，所以当xe时，函数f(x)取得最小值.综上可知，当a0时，函数f(x)在区间(0，e上无最小值；当0aa，则实数a的取值范围是_.答案(，)解析由题意知，f(x)3x2x2，令f(x)0，得3x2x20，解得x1或x，又f(1)，f()，f(1)，f(2)7，故f(x)min，a.题型三函数极值和最值的综合问题例5已知函数f(x)(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大值.解(1)当x0时，f(x)在1，e上单调递增，则f(x)在1，e上的最大值为f(e)a.故当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a；当a0时，求函数f(x)在1，2上的最小值.思维点拨(1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f(x)0，f(x)0)，当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，).2分当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x0；当x时，f(x)0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.7分(2)当1，即a1时，函数f(x)在区间1，2上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)ln 22a.9分当2，即0a时，函数f(x)在区间1，2上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)a.11分当12，即a1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数.又f(2)f(1)ln 2a，所以当aln 2时，最小值是f(1)a；当ln 2a1时，最小值为f(2)ln 22a.14分综上可知，当0a0，则f(x)单调递增；当x(2，2)时，f(x)0，即a23a180.a6或a0，且2，3是方程3ax22bxc0的两根，则由根与系数的关系知1，6，b，c18a，此时f(x)ax3x218ax34，当x(，2)时，f(x)0，f(x)为增函数；当x(2，3)时，f(x)0，f(x)为增函数，f(3)为f(x)的极小值，且f(3)27a54a34115，解得a2.6.(2016南京模拟)已知yf(x)是奇函数，当x(0，2)时，f(x)ln xax(a)，当x(2，0)时，f(x)的最小值为1，则a_.答案1解析由题意知，当x(0，2)时，f(x)的最大值为1.令f(x)a0，得x，当0x0；当x时，f(x)0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是_.答案(，)解析f(x)3x23a23(xa)(xa)，由f(x)0得xa，当axa时，f(x)a或x0，函数递增.f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a.a的取值范围是(，).9.(2016徐州模拟)已知函数f(x)x3x2xm在0，1上的最小值为，则实数m的值为_.答案2解析由f(x)x3x2xm，可得f(x)x22x1，令x22x10，可得x1.当x(1，1)时，f(x)0，即函数f(x)在(1，1)上是减函数，即f(x)在0，1上的最小值为f(1)，所以11m，解得m2.10.(2016南京模拟)已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m1，1，则f(m)的最小值为_.答案4解析f(x)3x22ax，由f(x)在x2处取得极值知f(2)0.即342a20，故a3.由此可得f(x)x33x24.f(x)3x26x，由此可得f(x)在(1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，对m1，1时，f(m)minf(0)4.11.已知函数f(x)xln x.若对于任意x，e，不等式2f(x)x2ax3恒成立，则实数a的取值范围为_.答案23e，)解析由题意知，2xln xx2ax3，则a2ln xx.设h(x)2ln xx(x0)，则h(x)1.当x，1)时，h(x)0，h(x)单调递增.由h()23e，h(e)2e，h()h(e)2e40，可得h()h(e).所以当x，e时，h(x)的最大值为h()23e.故a23e.12.设f(x)a(x5)26ln x，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴相交于点(0，6).(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解(1)因为f(x)a(x5)26ln x，所以f(x)2a(x5).令x1，得f(1)16a，f(1)68a，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y16a(68a)(x1)，由点(0，6)在切线上，可得616a8a6，故a.(2)由(1)知，f(x)(x5)26ln x(x0)，f(x)x5.令f(x)0，解得x2或3.当0x3时，f(x)0，故f(x)在(0，2)，(3，)上为增函数；当2x3时，f(x)0，bR).(1)设a1，b1，求f(x)的单调区间；(2)若对任意的x0，f(x)f(1)，试比较ln a与2b的大小.解(1)由f(x)ax2bxln x，x(0，)，得f(x).a1，b1，f(x)(x0).令f(x)0，得x1.当0x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)单调递增.f(x)的单调递减