生物统计学（欧阳乐军）.ppt

2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,1,第七章 直线回归与相关,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,2,引 言 这一章研究的对象： 由一个变数 两个或多个变数，因为在实际生产实践和科学实验中所要研究的变数往往不止一个，例如： 研究温度高低和作物发育进度快慢的关系，就有温度和发育进度两个变数； 研究每亩穗数、每穗粒数和每亩产量的关系，就有穗数、粒数和产量三个变数。,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,3,1、函数关系与统计关系 函数关系是一种确定的关系。例如圆面积与半径的关系为：,统计关系是一种非确定关系，即一个变数的取值受到另一变数的影响，两者之间有关系，但又不存在完全确定的函数关系。,7.1回归与相关的基本概念,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,4,2、自变数与依变数 对有统计关系的两个变数，分别用变数符号Y 和X 表示。根据两个变数的作用特点，统计关系又可分为因果关系和相关关系两种。,两个变数间的关系若有原因和反应(结果)的性质，则称这两个变数间存在因果关系，并定义原因变数为自变数（自变量）(independent variable),以X 表示；,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,5,定义结果变数为依变数（因变量）(dependent variable),以Y 表示。 如果两个变数并不是原因和结果的关系，而呈现一种共同变化的特点，则称这两个变数间存在相关关系。 相关关系中没有自变数和依变数之分。,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,6,3、回归分析和相关分析 (1)对具有因果关系的两个变数，统计分析的任务是由实验数据推算出一个表示Y 随X 的改变而改变的方程 ，称之为回归方程(regression equation of Y on X )，这一过程称为回归分析。,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,7,(2)对具有相关关系的两个变数，统计分析的目标是计算表示Y和X相关密切程度的统计数，并测验其显著性。这一过程称为相关分析。,4、两个变数资料的散点图 将两个变数的n对观察值(x1,y1)、(x2,y2)、(xn,yn)分别以坐标点的形式标记于同一直角坐标平面上得到的图，称为散点图(scatter diagram)。,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,8,根据散点图可初步判定双变数X 和Y 间的关系，包括： X 和Y 相关的性质(正或负)和密切程度； X 和Y 的关系是直线型的还是非直线型的； 是否有一些特殊的点表示其他因素干扰等。,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,9,1,2,3,4,x,生物产量(g),0.0,0.5,1.0,1.5,2.0,y,稻谷产量(g),水稻单株生物产量与稻谷产量的散点图,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,10,3.2,3.6,4,4.4,4.8,x,每平方米颖花数(万),0,55,60,65,70,75,y,结实率(%),水稻每平方米颖花数和结实率的散点图,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,11,x,最高叶面积指数,y,产量(kg/亩),水稻最高叶面积指数和亩产量的散点图,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,12,7.2直线回归,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,13,7.2.1 直线回归方程,称为直线回归方程(linear regression equation)。其中a 是x=0时的 值，即回归直线在y 轴上的截距，叫回归截距(regression intercept);b 是x 每增加一个单位数时， 平均地将要增加(b0时)或减少(b0时)的单位数，叫回归系数(regression coefficeint)。,一、直线回归方程式,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,14,y 直线回归方程的图象 a0,b0,b0 a0,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,15,从上图得知，要使 能够最好地代表y和x在数量上的互变关系，必须使,y,x,0,xi,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,16,分别对a和b求偏导并令其为0，即：,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,17,式中 是x的离均差和y的离均差的乘积之和，简称乘积和(sum of products),记作SP。,二、直线回归方程的计算 例7.1一些夏季害虫盛发期的早迟和春季温度高低有关。江苏武进连续9年测定3月下旬至4 月中旬旬平均温度累积值(x,旬.度)和水稻一代三化螟盛发期(y,以5月10日为0)的关系，得结果于下表。试计算其直线回归方程。,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,18,由观察值计算一级数据,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,19,由一级数据计算二级数据,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,20,因而有：,从而得到回归方程：,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,21,故得表中资料的回归方程为： 上述方程中回归系数和回归截距的意义为：当3月下旬至4月中旬的积温(x)每提高1旬度时，一代三化螟的盛发期平均将提早1.1天；若积温为0，则一代三化螟的盛发期将在6月2728日(x=0时， y =48.5；因y是以5月10日为0，故48.5为6月2728日）。由于x变数的实测区间为31.7，44.2，当x31.7或44.2时，y的变化是否还符合=48.5-1.1x的规律，观察数据中未曾得到任何信息。,=48.5485-1.0996x,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,22,所以，在应用=48.5-1.1x于预测时，需限定x的区间为31.7，44.2；如要在x31.7或44.2的区间外延，则必须有新的依据。,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,23,练习 设某食品感官评定时，测得食品甜度与蔗糖浓度的关系如下表，试求y对x的直线回归方程。,食品甜度与蔗糖浓度,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,24,这是一个二无一次方程组，解这个方程组可以得到：,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,25, 首先计算个一级数据,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,26,然后由一级数据算出个二级数据,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,27,从而有,所求直线回归方程为：,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,28, 直线回归方程的图示,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,29,三、直线回归方程的图示 直线回归图包括回归直线的图象和散点图，它可以醒目地表示x 和y 的数量关系。 方法：制作直线回归图时，首先以x为横坐标，以y为纵坐标构建直角坐标系(纵、横坐标皆需标明名称和单位)；然后取x坐标上的一个小值x1代入回归方程得 ，取一个大值x2代入回归方程得 ，连接坐标点(x1， )和(x2， )即成一条回归直线。如例9.1资料，以x1=31.7代入回归方程得 =13.69；,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,30,以x2=44.2代入回归方程得 =-0.05。在图9.3上确定(31.7，13.69)和(44.2，-0.05)这两个点，再连接之，即为 =48.5485-1.0996x的直线图象。注意：此直线必通过点( ， )，它可作为制图是否正确的核对。最后，将实测的各对(xi，yi)数值也用坐标点标于下图上。,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,31,30,34,38,42,5/5 -5,5/10 0,5/15 5,5/20 10,5/25 15,(月/日),x,3月下旬至4月中旬平均温度累积值,y,一代三化螟盛发期,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,32,四、直线回归的估计标准误 满足 为最小的直线回归方程和实测的观察点并不重合，表明该回归方程仍然存在随机误差。 SSE就是误差的一种度量，称之为误差平方和(sum of squares to deviation from regression)或剩余平方和。,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,33,由于在建立回归方程时用了a 和b 两个统计数，故SSE的自由度=n-2。因而，可定义回归方程的估计标准误为：,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,34,SSE值的计算：,在例7.1中：,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,35,回归方程的估计标准误为：,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,36,7.2.2 直线回归的假设测验,一、直线回归的假设测验 1、回归关系的假设测验 (1)t 测验 若总体不存在直线回归关系，则总体回归系数=0；若总体存在直线回归关系，则总体回归系数0。,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,37,所以对直线回归的假设测验为： H0： =0对HA： 0。 回归系数b的标准误为：,遵循=n-2的t分布。,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,38,例7.3试测验7.1资料回归关系的显著性。,查附表4，,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,39,接受HA： 0，即认为积温和一代三化螟盛发期是有真实的直线回归关系。,(2)F 测验,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,40,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,41,例7.4试用F测验法检测7.1资料回归关系的显著性。,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,42,7.3直线相关,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,43,7.3.1 相关系数和决定系数,一、相关系数,前面所述两个变量之间的线性回归是否显著，可以通过检验回归系数b的显著性和方差分析来确定。 另一个衡量线性回归好坏的标志就是相关系数,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,44,相关系数是指由于回归因素引起的变异与总变异之比的平方根，若由于回归因素引起的变异占总变异的比率愈大，直线相关就愈密切，故样本的相关系数r 为：,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,45,二、决定系数 决定系数(determination coefficient):由x 不同引起的 y 的平方和 占总平方和 的比率。,可见，决定系数即为相关系数r 的平方值。,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,46,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,47,7.4直线回归与相关的应用要点,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,48,7.4 直线回归和相关的应用要点,1、回归和相关分析要有学科专业知识指导。 2、要严格控制研究对象(X 和 Y )以外的有关因素。 3、直线回归和相关不显著，并不意味X 和Y 没有关系。,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,49,4、一个显著的r 或b 并不代表X 和Y 的关系就一定是线性的。 5、对难以发现 X 和 Y 的真实曲线关系，允许 X 和 Y 在一定的范围之内用线性关系进行描述，但是使用范围也必须严格限制在观察值范围之内。,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,50,6、一个显著的相关或回归并不一定具有实践上 的预测意义。 例如，当=50时，|r|=0.273即显著，但r2=0.074，表明X 和Y 可用线性关系说明的部分仅占总变异的7.4%，未说明的部分占92.6%，显 然由X 预测Y 并不可靠。 因此 ，当需要用X 预测Y 时要求|r|0.7。,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,51,7、为了提高回归和相关分析的准确性，两个变数的样本容量n(观察值对数)要尽可能大，最小不能低于5。,2019/4/4,湛江师范学院生科院欧阳乐军制作,52,习 题,土壤中NaCl含量对植物的生长有很大的影响，NaCl含量过高，将增加组织内无机盐的积累，抑制植物的生长。测定1000g土壤中含NaCl量（x，g/kg土壤）和植物单位叶面积干物重（y，mg/dm2），结果如下：计算回归方程并检验回归的显著性，并计算若土壤中NaCl含量为