“推理能力”与“建模思想”的培养.pptx

聚 焦 小 学 数 学 的 核 心 能 力,数学课程标准核心词的实践研究 “推理能力”与“建模思想” 曹培英,引言,教育部义务教育数学课程标准（2011年版）,最大的改变： 1.“双基”“四基” 数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验 意味着： 我国数学教育优良传统得到肯定 理解记忆； 回归“结果”与“过程”并重的理念,铺垫变式,“但求曾经拥有，不求天长地久”,引言,2.“六个核心词”“十个核心词”,小学数学(算术)课程教学核心词的演变： 小学算术(清末)：熟习日用计算(两个核心词) 100多年过去了，难道还要回归油盐柴米的计算？ 另一方面，小学数学知识都有广泛的实用价值吗？ 例如：量角 生活应用只需比较角的大小,无需测量。,，实乃“屠龙之技” ,o,B,C,A,引言,2.“六个核心词”“十个核心词”,小学数学(算术)课程教学核心词的演变： 小学算术(清末)：熟习日用计算(两个核心词) 100多年过去了，难道还要回归油盐柴米的计算？ 另一方面，小学数学知识都有广泛的实用价值吗？ 例如：量角 生活应用只需比较角的大小,无需测量。 但是，数学学习中需要测量。 如：绘制扇形统计图； 地图上用方向和距离描述点的位置； ,，实乃“屠龙之技” ,北,引言,2.“六个核心词”“十个核心词”,小学数学(算术)课程教学核心词的演变： 小学算术(清末)：熟习日用计算(两个核心词) 100多年过去了，难道还要回归油盐柴米的计算？ 另一方面，小学数学知识都有广泛的实用价值吗？ 例如：量角 又如：,，实乃“屠龙之技” ,使用三角形面积公式的人0.5% 处于糖尿病前期的成年人50% 但是，三角形面积计算是不可或缺的学习基础。 联系生活更主要目的是帮助建构知识意义,促进理解和培养应用意识；同时还必须为进一步学习着想！,引言,2.“六个核心词”“十个核心词” 小学数学(算术)课程教学核心词的演变： 小学算术(清末)：熟习日用计算(两个核心词) 小学数学(1978)：计算能力，初步的逻辑思维与空间观念，解决简单实际问题(四个核心词) 义务教育数学(2001)：数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力。 义务教育数学(2011)：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识。,基于核心词的能力架构,空间观念,数据分析观念,运算能力,数学建模,核心词十个之多，还有核心吗？ 说明研究尚处初级阶段，缺乏概括，有待更深入、更浅出！,推理 能力,一、什么是推理,推理：由已知判断推出未知判断的思维。 (前提) (结论) 它的本质是从已有知识得到新知识,特别是可以得到不可能通过感觉经验掌握的新知识。 例如：起初人们认为线段长度总能用整数或分数表示。 希腊数学家希帕斯通过推理得 出边长为1的正方形，它的对角线 不能用分数表示。 这一伟大的发现，促使人们从依靠直观、经验转向重视推理论证。,1,1,一、什么是推理,推理的形式具有多样性。,例如： 已知“小明哥哥已大学毕业”“小明受教同一老师” , 推出“小明也能大学毕业”。 已知“一千只苹果是红的”，推出“苹果都是红的”。 已知“太平洋已被污染”，“大西洋已被污染”， “印度洋已被污染”，“北冰洋已被污染” ， 推出“地球上所有大洋都已被污染 ”。 已知“人终将一死”“约翰是人”推出“约翰会死”。,类比,不完全归纳,完全归纳,演绎,一、什么是推理,又如： 已知“长方形面积长宽”“长、宽是长方形邻边” , 推出“平行四边形面积邻边相乘”。 已知“ ”， 推出“ ”。 已知“袋里有5个球”“摸出第1、2、3个都是红的” 推出“袋里全是红球”。 已知“1322,13532,135742”, 推出“从1起连续奇数的和等于奇数个数的平方”。,类比,不完全归纳,类比,不完全归纳,?,推理的形式具有多样性。,一、什么是推理,推理的形式具有多样性。,又如： 已知 “2，3，5，7都不能整除29”, 推出“29是质数”。 已知“平行四边形面积底高”， “任何两个全等三角形能拼成一个平行四边形, 且三角形的底和高就是平行四边形的底和高”, 推出“三角形面积底高2”。,完全归纳,演绎,“类比”是由特殊到特殊的推理； “归纳”是由特殊到一般的推理； “演绎”是由一般到特殊的推理。,一、什么是推理,推理的形式具有多样性。,一般地说，推理可以分为：,推理,类比推理 归纳推理 演绎推理,不完全归纳推理 完全归纳推理,或然推理,必然推理,必然推理主要指演绎推理； 或然推理又叫做合情推理（似真推理），是一种合乎情理的、好像为真的推理。,一、什么是推理,1.心理学视角的描述 “数学推理能力”：在数学活动中，运用合情推理去理解数学概念、公式、法则或获得发现、得出猜想，并用演绎推理对发现、猜想加以检验、证明的个性心理特征。 推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。 数学课程标准(2011年版),二、什么是数学推理能力,2.数学课程标准的阐述 推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。 数学课程标准(2011年版),二、什么是数学推理能力,3.两类推理相辅相成的必要性 演绎推理只能证明，而不能发现真理。 传统的数学教学缺少：通过条件预测结果的能力、依据结论探究成因的能力。缺少这两个能力就难有真正的创造，也不利于创新型人才的成长。 预测、探究的事物事先并不确切知道，所以无法借助演绎推理完成。,二、什么是数学推理能力,3.两类推理相辅相成的必要性 在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。 数学课程标准(2011年版),二、什么是数学推理能力,三、小学数学中的推理,1. 演绎推理举例 黑、灰、白三只兔子赛跑。黑兔说：“我不是最快的，但比白兔快。”请问，谁跑得最快?谁跑得最慢? 黑兔不是最快，白兔不是最快 灰兔最快（排除法） 计算75？ 7310；10212 7573210212 直角三角形的一个锐角是30,另一个锐角是多少？ 三角形内角和180 另一个锐角是180903060,三、小学数学中的推理,2. 演绎推理课例分析,并非教学速度概念： 为正式引进速度概念奠定更好的认知基础 解决问题（实际应用问题） 识别信息 说明依据 跳出了“多样化”与“优化”的争论 “特殊方法”与“一般方法”互补,提出问题,解决问题交流解法,三、小学数学中的推理,深入挖掘了常规问题的数学推理内涵 巧亚 巧丁 亚丁,（时间相同，打字多的快） （字数相同，时间少的快） （字数、时间都不同，每分钟打的多快）,2. 演绎推理课例分析,三、小学数学中的推理,2. 演绎推理课例分析,深入挖掘了常规问题的演绎推理内涵 巧亚 巧丁 亚丁,巧最快,丁最慢,完全归纳,由：巧亚丁,传递,反过来：丁亚巧,逆反,演绎,6,商,1,3,乘,1,减,落,由具体的算例： 如：463？ 归纳得出： 整数除法计算法则。 由三条线段围成三角形的操作， 归纳得出： 三角形任意两边之和大于第三边。 由摸棋实验， 归纳推断： 红棋比白棋多，两种棋约占总数的几分之几。,三、小学数学中的推理,3.合情推理举例,三、小学数学中的推理,3.合情推理举例,由除法的基本性质： 被除数、除数都乘或除以相同的数(0除外)商不变 类比推出分数、比的基本性质： 分数的分子、分母都乘或除以相同的数(0除外)分数的大小不变。 由整数乘法计算类比推出小数乘法计算： 如：0.153？,0.15 3 45,0.,1,1,四、合情推理与演绎推理怎样相结合,因为3618 所以3060018000,凭借经验和直觉 合情推理,因为3618 所以30618个十 所以30600180个百,凭借整数的概念 演绎推理,180 18000,末尾有0的乘法：,1. 计算教学实例,四、合情推理与演绎推理怎样相结合,因为长方形面积长宽 所以长方体体积长宽高,类比 合情推理,根据体积单位概念与计数 演绎计算,长方体的体积：,2. 几何教学实例,四、合情推理与演绎推理怎样相结合,2. 几何教学实例,周长与表面积计算：,将二维空间观念推广到三维空间观念,凭借几何直观猜想：与正方形周长相等合情推理,通过平移转，验证、说明猜想的正确性演绎推理,合情推理演绎推理,1.充分利用直观 很多情况下，数学的结果是“看”出来的， “看”是一种直观判断，即数学的直觉智慧。 2.鼓励学生猜想 以事实、经验为基础，由此及彼，发现 问题、提出问题，大胆“假设”。 3.启发学生说理 以所学数学概念、性质、法则、公式为依 据，说明猜想，解释结论。,五、怎样培养小学生的推理能力,五、怎样培养小学生的推理能力,4.数、形、事结合 采用多种方式辅助说理： “算理”“事理”“图示”。 多渠道地促进理解与表达。,“算理事理图示”的实例乘法分配律,“算理事理图示”的实例乘法分配律,【复习引入】 我们已学：加法交换律 ，结合律 ； 那么，加法和乘法之间有什么运算规律呢？ 【尝试与发现】 （128）6= 12686= 它们是得数相等的两个算式，可以用等号连起来： （ ） = 。 再写出几个这样的算式： （ ） = ； 你发现了什么规律？能总结吗？有困难看课本。,“算理事理图示”的实例乘法分配律,【验证与理解】 一个长方形操场，原来长65米，宽32米。扩建后长不变，宽增加15米，现在操场面积有多大？ 看作一个长方形求： ； 看做两个长方形求： 。 算法不同，结果 。 所以：( ) = 。 编一道这样的实际问题： ？ 用乘法意义说明：如：(128)6=12686 表示一共有 个6 个6加 个6。,五、怎样培养小学生的推理能力,5.适当开展推理训练 首先是结合基础知识的教学实施训练。 例1 由相交引出垂直： 如图，量得一个角是直角， 1( )； 2( )。 其次是结合平时的教学穿插训练。,1,2,五、怎样培养小学生的推理能力,5.适当开展推理训练 例2 看图推理： 最重； 最轻。 例3 找规律推理：,6.培养良好的思维习惯 最主要的是：有根有据；有条有理。 推理能力的发展与语言的发展，关系密切，两者是相互促进的。 发展小学生的推理能力，就要提高学生 用数学语言合乎逻辑地进行讨论和质疑的能力。,五、怎样培养小学生的推理能力,7.提高教师自身的数学素养 练习：,五、怎样培养小学生的推理能力,（1）有学生发现： 12341(141)2(231)2 23451(251)2(341)2 34561(361)2(451)2 连续四个自然数的积加1等于头尾两数的积加1和的平方，等于中间两数的积减1差的平方。 这一规律成立吗?请给以证明。,7.提高教师自身的数学素养 练习：,五、怎样培养小学生的推理能力,（2）有学生说，推导梯形面积计算公式，可以延长两腰相交成大三角形，然后大三角形面积减去小三角形面积，就是梯形面积。 请完整写出这一思路的推导过程。,7.提高教师自身的数学素养 练习：,五、怎样培养小学生的推理能力,（1）设四个连续自然数为n1，n，n1，n2，则,所以，学生发现的规律成立。,7.提高教师自身的数学素养,五、怎样培养小学生的推理能力,作DFCB交于AB的延长线于F， 则BCDF为， AF为梯形ABCD上、下底的差.,连接DB，,连接FE，,则三角形AFE的面积为,设小三角形高为l.,F,即,1.数学模型与建模,六、关于数学建模,数学模型是用数学符号、式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划。 它能解释某些客观现象，或预测未来的发展规律，或为控制某一现象的发展提供最优策略或较好策略。 从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模。 调研假设建立求解分析 检验应用,2.模型思想,六、关于数学建模,“模型”是所研究的系统、过程、事物或概念的一种表达形式。 “模型思想”与“建模思想”的区别可理解为： 模型思想是初步的、大致的建模思想； 模型思想比数学建模有更广泛的内涵。,2.模型思想 模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。 建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。 这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。 数学课程标准(2011年版),六、关于数学建模,六、关于数学建模,3.小学数学中的数学模型 常见数量关系；计算公式等都是典型的数学模型。 如：单价数量总价 Sab 又如：水池同时打开进水管、出水管几小时后水池满？ 动态平衡的数学模型 只是“取材不当”,六、关于数学建模,4.小学数学中的数学建模,小胖每分走40米，小巧每分走60米，他们从相距1500 米两地同时出发相向而行，几分钟相遇？ 师徒共做1540个零件。徒弟做了16天,平均每天做40 个；师傅做了15天,平均每天做几个？ 买15个足球、16个篮球，足球每只60元，篮球每只40 元，一共应付多少元? 如