经济数学教案（高职）.doc

第一讲 第一章：函数 4 学时 教学目的与要求：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及其图形，并会建立 简单应用问题中的函数关系式。 教学内容概述：本讲主要复习中学所学集合；函数；函数的表示方式，函数的几种特 性；反函数与复合函数；基本初等函数；初等函数等。 教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函 数的性质及其图形。 教学过程： 一、集合 1、 集合概念 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素。 表示方法：用 A，B，C，D 表示集合；用 a，b，c，d 表示集合中的元素。 1) , 321 aaaA 2) PxxA的性质 元素与集合的关系： Aa ， Aa 一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N，Z，Q，R，N+ 元素与集合的关系：A、B 是两个集合，如果集合 A 的元素都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，记作BA 。 如果集合 A 与集合 B 互为子集，则称 A 与 B 相等，记作BA 若作BA 且BA 则称 A 是 B 的真子集。 全集 I：AiI（I=1，2，3，） 。 空集： A 。 2、 集合的运算 并集BA： Ax|xBABx或 交集BA： Ax|xBABx且 差集 BA ： |BxAxxBA且 补集（余集） C A：IA 集合的并、交、余运算满足下列法则： 交换律：ABBA ABBA 结合律： )()(CBACBA ， )()(CBACBA 分配律： )()()(CBCACBA ， )()()(CBCACBA 对偶律： ( ccc BABA) ccc BABA)( 笛卡儿积： AB | ),(ByAxyx且 3、区间和邻域 1）有限区间：开区间 ),(ba ，闭区间 ba, ，半开半闭区间 baba, 。 2）无限区间：（） ，。,a,a, a , a , 3）邻域： ),(axaxaU 注：a 邻域的中心，邻域的半径；去心邻域记为 ),(aU 。 二、映射 映射概念 定义 设 X，Y 是两个非空集合，如果存在一个法则 f ，使得对 X 中的每一个元素 x，按法则f，在 Y 中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从 X 到 Y 的映射，记作 YXf： 其中y称为元素x的像，并记作 )(xf ，即 )(xfy 。 注意：每个 X 有唯一的像；每个 Y 的原像不唯一。 三、函数 1、 函数的概念 定义 设数集RD ，则称映射 RDf: 为定义在 D 上的函数，记为 Dxxfy, )( 。 注：函数相等：定义域、对应法则相等。 2、 函数的几种特性 1）函数的有界性（上界、下界；有界、无界） ，有界的充要条件：既有上界又有下界。 2）函数的单调性（单增、单减） ，在 x1、x2点比较函数值 )( 1 xf 与 )( 2 xf 的大小（注： 与区间有关） 。 3）函数的奇偶性(定义域对称、 )(xf 与 )( xf 关系决定)，图形特点 (关于原点、Y 轴对称)。 4)函数的周期性(定义域中成立： )()(xflxf ) 3、 函数与复合函数 1）反函数：函数 )(:DfDf 是单射，则有逆映射 xyf )( 1 ，称此映射 1 f 为 f 函数的反函数。 函数与反函数的图像关 xy 于对称。 2）复合函数：函数 )(ygu 定义域为 D1，函数 )(xfy 在 D 上有定义、且 1 )(DDf 。则 )()(xfgxfgu 为复合函数。 3）分段函数：分段函数的统一表达式。 结论：对于分段函数 f（x）= 1 2 ( )() ( )() f xxa fxxa 若初等数函 f1（x）和 f2（x）满足 f1（a）= f2（a） ，则 f（x）= f1（x+a-）+ f1（x+a+）- f1（a） 1 2 2 ()xa 1 2 2 ()xa 4、初等函数 1）幂函数： a xy 2)指数函数： x ay 3)对数函数： )(logxy a 4)三角函数： )cot(),tan(),cos(),sin(xyxyxyxy 5)反三角函数： )arcsin(xy ， )arccos(xy )cot()arctan(xarcyxy 以上五种函数为基本初等函数。 6）双曲函数：2 xx ee shx ，2 xx ee chx ， xx xx ee ee chx shx thx 注：双曲函数的单调性、奇偶性。 双曲函数公式： shyshxchychxyxch shyshxchychxyxch shychxchyshxyxsh shychxchyshxyxsh )( )( )( )( 7）反双曲函数： arthxy archxy arshxy 例 1 已知分段函数 2 2 , 10, ( )1,0, 2,01. xx f xx xx 1）求其定义域并作图；2）求函数值 11 22 (),(0),( ).fff 例 2求由所给函数复合的函数，并求各复合函数的定义域： y=10u，u=1+x2, y=arctanu2, u=tanv, v=a2+x2. 例 3求函数的反函数及反函数的定义域： y=x2,（0 x） ， 2 21,01, 2(2) ,12. xx y xx 作业：见课后各章节练习。 第二讲 第一章：函数 4 学时 教学目的与要求：掌握复合函数的分解方法；熟悉经济分析中的常用函数。 教学内容概述：本讲主要讲授复合函数的分解；经济分析中的常用函数。 教学重点（难点）：理解复合函数的分解；掌握常用经济函数的具体形式。 教学过程： 一、复合函数 注：（1）不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数。 例如： ；因前者定义域为-1，1，后者，故这两arcsinyu 2 2ux 2 22ux 个函数不能复合成复合函数。 （2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合而成。 例 1 设 求( )sinyf uu 2 ( )1uxx ( )fx 解 = ( )fx 2 sinsin(1)ux 例 2 将下列函数分解成基本初等函数的复合 （1） （2） 2 lnsinyx 2 arctanx ye 解 （1）所给函数是由 四个函数复合而成的yulnuv 2 vwsinwx （2）所给函数是由 三个函数复合而成的。 u yearctanuv 2 vx 二、常用经济函数 1、单利与复利 单利计算公式 设初始本金为 P（元） ，银行年利率为 r，则 第一年末本利和为 ； 1 (1)sprppr 第二年末本利和为； 2 (1)(12 )sprrppr 。 。 。 。 。 。 第 n 年末本利和为。(1) n spnr 复利计算公式 设初始本金为 P（元） ，银行年利率为 r，则 第一年末本利和为 ； 1 (1)sprppr 第二年末本利和为 ； 2 2 (1)(1)(1)sprrprpr 。 。 。 。 。 。 第 n 年末本利和为 (1)n n spr 2、多次付息 单利付息情形 因每次的利息不记入本金，故若一年分 n 次付息，每次利息为则 r n 第一次末本利和为 1 .(1) rr sppp nn 第二次末本利和为 2 (12. ) rrr spppp nnn 。 。 。 。 。 。 第 n 次末即年末的本利和为 (1. )(1) n r spnpr n 复利付息情形 因每次支付的利息记入本金，设初始本金为 P（元） ，银行年利率为 r，若一年分 m 次 付息， 第一次末本利和为 1 .(1) rr sppp mm 第二次末本利和为 2 1 .(1).(1) rrrr spppp mmmm 。 。 。 。 。 。 第 m 次末即一年末的本利和为 (1)m m r sp m 第 m+1 次末的本利和为 1 1 (1)m m r sp m 第二年末的本利和为 2 (1)(1) m mm rr spp mm 第 n 年末本利和为 (1)nm n r sp m 例 1：现有初始本金 100 元，若银行年储蓄利率为 7%，问： （1）按单利计算，3 年末的本利和为多少？ （2）按复利计算，3 年末的本利和为多少？ （3）按复利计算，需多少年才能使本利和超过初始本金一倍？ 解 （1）已知 p=100， r=0.07 由单利计算公式得（元） 3 (1 3 )121spr 即三年末的本利和为 121 元。 （2）由复利计算公式得 （元） 33 3 (1)100 (1 0.07)122.5spr 即三年末的本利和为 122.5 元。 （3）若 n 年后的本利和超过初始本金一倍，即要 从而(1)2 n n sprp(1.07)2 n ln1.07ln2n ln2 10.2 ln1.07 n 即需 11 年后本利和可超过初始本金的一倍。 3、贴现 设第 n 年后价值为 R 元钱的现值，假设在这 n 年之间复利年利率 r 不变。利用复利计 算 公式有 得到第 n 年后价值为 R 元钱的现值为(1)nRpr (1)n R p r 例 2 某人手中有三张票据，其中一年后到期的票据金额是 500 元，二年后到期的票据金 额是 800 元，五年后到期的票据金额是 2000 元，已知银行的贴现率为 6%，现在将三张票 据向银行做一次性转让，银行的贴现金额是多少？ 解 由贴现计算公式，贴现金额为 其中 。故 312 25 1(1)(1) RRR p rrr 1 500R 2 800R 3 2000R 0.06r （元）2678.21p 4、需求函数 需求函数表示的就是商品需求量和价格这两个经济变量之间的数量关系 其中表示需求量，表示价格。需求函数的反函数称为价格函( )Qf pQp 1( ) pfQ 数，习惯上将价格函数也统称为需求函数。需求函数是单调减少函数 需求函数的线性模型 为(0,0)Qapb ab 5、供给函数 供给函数表示的就是商品的供给量和价格这两个经济变量之间的数量关系( )Sf p 其中表示供给量，表示价格。供给函数以列表方式给出时称为供给表，而供给函Sp 数的图像称为供给曲线。供给函数是单调增加函数。供给函数的线性模型为 (0)Scpd c 6、市场均衡 对一种商品而言，如果需求量等于供给量，则这种商品就达到了市场均衡。以线性需 求函数和线性供给函数为例，令 则 apbcpd 0 db pp ac 称为该商品的市场均衡价格。为该商品的市场均衡点。 0 p 00 (,)p Q 例 3 某种商品的供给函数和需求函数分别为 求该商品的市2005 s Qp2510 d Qp 场均衡价格和市场均衡量。 解、由均衡条件得 从而即市场均衡 sd QQ25102005pp 0 7p 0 165Q 价格为 7，市场均衡数量为 165 7、成本函数 产品成本可分为固定成本和可变成本，一般地，以货币计值的（总）成本 C 是产量 x 的函数，即 称为单位成本函数或平均成本函数( )(0CC x x ） _ ( ) ( ) C x C x x 例 4 某工厂生产某种产品，每日最多生产 200 单位，它的日固定成本为 150 元，生产一 个单位产品的可变成本为 16 元。求该厂日总成本函数及平均成本函数。 解 据，可得总成本( )C xCC 固变 ( )150 16 (0,200)C xx x 平均成本 150 ( )16C x x 8、收入函数与利润函数 销售某产品的收入 R,等于产品的单位价格 P 乘以销售量 x，即，称其为收入.Rp x 函数。 销售利润 L 等于收入 R 减去成本 C，即，称其为利润函数。LRC 当时，生产者盈利；0LRC 当时，生产者亏损；0LRC 当时，生产者赢亏平衡，使的点称为盈亏平衡点0LRC( )0L x 0 x 例 5 某电器厂生产一种新产品，在定价时不单是根据生产成本而定，还要请各消费单 位来定价，即他们愿意以什么加个人来购买，根据调查得出需求函数为 该厂生产该产品的固定成本是 270000 元，而单位产品的变动成90045000xp 本为 10 元，为获得最大利润，出场价格应为多少？ 解 以 x 表示产量，C 表示成本，p 表示价格，则有而需求函数( )10270000C xx 为 代入中得90045000xp ( )C x( )9000720000C pp 收入函数为： 2 ( ).( 90045000)90045000R ppppp 利润函数为： 22 ( )( )( )900(60800)900(30)90000L pR pC pppp 当价格 p=30 元时，利润 90000 元为最大利润，销售量为 18000（单位） 。 作业：p17 1 2 6 第三讲 极限的概念 2 学时 教学目的与要求：理解数列极限；函数极限的概念，性质。 教学内容概述：本讲主要学习数列极限的概念；性质，函数在无穷大处的极限；函数在有 限点处的极限及函数极限的性质。 教学重点（难点）：极限的概念的理解及应用；函数左极限与右极限，极限性质 教学过程： 第一节、数列极限的定义与性质 一、数列 数列就是由数组成的序列。 1）这个序列中的每个数都编了号。 2）序列中有无限多个成员。 一般写成： n aaaaa 4321 缩写为 n u 例 1 数列 n 1 是这样一个数列 n x ，其中 n xn 1 ， 5 , 4 , 3 , 2 , 1n 也可写为： 5 1 4 1 3 1 2 1 1 可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近 0，记为 0 1 lim n n 。 数列极限的 N 定义 axNnN n 0 ，则称数列 n x 的极限为a，记成 axn n lim 也可等价表述： 1） )(0axNnN n 2） )(0aOxNnN n 。 极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。 二、收敛数列的性质 定理 1 如果数列 n x 收敛，那么它的极限是唯一。 定理 2 如果数列 n x 收敛，那么数列 n x 一定有界。 定理 3 如果 axn x lim 且 a0(a0，当 nN 时， )0(0 nn xx 。 例 2证明数列的极限是 1。 1 n n 例 3作出数列图形，讨论其极限值。 1 ( 1)nn n 作业：见课后各章节练习。 第二节：函数的极限 一、极限的定义 1、在 0 x 点的极限 1） 0 x 可在函数的定义域内，也可不在，不涉及 f 在 0 x 有没有定义，以及函数值 )( 0 xf 的大小。只要满足：存在某个 0 使： Dxxxx),(),( 0000 。 2）如果自变量x趋于 0 x 时，相应的函数值 )(xf 有一个总趋势以某个实数A为极 限 ，则记为 ： Axf xx )(lim 0。 形式定义为： Axfxxx)()0(0 0 2、 x 的极限 设 ),()(xxfy ，如果当时函数值 )(xf 有一个总趋势-该曲线有一条 水平渐近线 Ay -则称函数在无限远点有极限。记为： Axf x )(lim 。 3、 （1）在无穷远处的左右极限： )(lim)(xff x ， )(lim)(xff x 关系为： )(lim)(lim)(limxfAxfAxf xxx （2）在有限点处的左右极限： 0 x ， 0 0 0 (0)lim( ) xx f xf x 0 0 0 (0)lim( ) xx f xf x 关系为 000 00 lim( )lim( )lim( ) xxxxxx f xf xf x 二、函数极限的性质 1、极限的唯一性 2、函数极限的局部有界性 3、函数极限的局部保号性 4、函数极限与数列极限的关系 例 1 讨论函数在 x的极限。 x x y 0 例 2求下面函数极限： ， 。 lim n 2 21 n n33 1 1 1 1 lim() x x x 作业：见课后各章节练习。 第四讲 极限的运算法则 无穷小与无穷大 2 学时 教学目的与要求：掌握无穷小与无穷大概念；掌握极限的运算法则并能熟练求极限。 教学内容概述：本节主要讲授无穷小与无穷大的定义；性质，无穷小与无穷大之间的 关系；极限的四则运算规则，极限的求法，复合函数的极限。 教学重点（难点）：理解无穷小与无穷大的关系。 教学过程： 一、无穷小定义 定义 对一个数列 n x ，如果成立如下的命题： n xNnN0 则称它为无穷小量，即 0lim n x x 注：1） 的意义； 2） n x 可写成 0 n x ； ), 0( n x ； 3）上述命题可翻译成：对于任意小的正数，存在一个号码 N，使在这个号码以后 的所有的号码n，相应的 n x 与极限 0 的距离比这个给定的还小。它是我们在直观上对于 一个数列趋于 0 的认识。 定理 1 在自变量的同一变化过程 0 xx （或 )x 中，函数 xf 具有极限 A 的充 分必要条件是 Axf)( ，其中是无穷小。 二、无穷大定义 一个数列 n x ，如果成立： GxNnNG n 0 那么称它为无穷大量。记成： n x xlim 。 特别地，如果 GxNnNG n 0 ，则称为正无穷大，记成 n x xlim 。 特别地，如果 GxNnNG n 0 ，则称为负无穷大，记成 n x xlim 。 （也可类似地对函数定义无穷小，无穷大的定义） 注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。 三、无穷小和无穷大的关系 定理 2 在自变量的同一变化过程中，如果 )(xf 为无穷大，则 )( 1 xf 为无穷小；反之， 如果 )(xf 为无穷小，且 0)(xf 则 )( 1 xf 为无穷大。 即非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当 0 n x 时：有 n xx x 1 lim0lim 0 1 limlim n xx x 注意是在自变量的同一个变化过程中。 四、无穷小的性质 设 n x 和 n y 是无穷小量于是： 1）两个无穷小量的和差也是无穷小量： 0)(lim0lim0lim nn x n x n x yxyx 2）对于任意常数 C，数列 n xc 也是无穷小量： 0)(lim0lim n x n x xcx 3） n yxn 也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。 0)(lim0lim0lim nn x n x n x yxyx 4） n x 也是无穷小量： 0lim0lim 0 0 n xx n xx xx 5）无穷小与有界函数的积为无穷小。 五、函数极限的四则运算 1）若函数 f 和g在点 0 x 有极限，则 )(lim)(lim)()(lim 000 xgxfxgxf xxxxxx 2）函数 f 在点 0 x 有极限，则对任何常数a成立 )(lim)(lim 00 xfaxfa xxxx 3）若函数 f 和g在点 0 x 有极限，则 )(lim)(lim)()(lim 000 xgxfxgxf xxxxxx 4）函数 f 和g在点 0 x 有极限，并且 0)(lim 0 xg xx ，则 )(lim )(lim )( )( lim 0 0 0xg xf xg xf xx xx xx 极限的四则运算成立的条件是若函数 f 和 g在点 0 x 有极限。 定理 3 设函数 )(xgfy 是由函数 )(ufy 与 )(xgu 复合而成， )(xgf 在点 0 x 的某去心邻域内有定义，若 0 )(lim 0 uxg xx ， Auf uu )(lim 0，且存在 0 0 ，当 ),( 00 0 xu x 时，有 0 )(uxg ，则 Aufxgf uuxx )(lim)(lim 00 例 1下面函数在 x 趋向什么时是无穷小，又当 x 趋向什么时是无穷大： 。21,x sin 1 cos x x 例 2 求下面函数极限： 作业：见课后各章节练习。 第五讲 极限存在准则与两个重要极限 无穷小的比较 2 学时 教学目的与要求：掌握极限存在准则，透彻理解两个重要极限；理解无穷小的比较概念。 教学内容概述：本节借助例子给出极限存在的两个准则，利用极限存在准则证明 sinx/x =1 ，解释（1+1/n）n = e 并讲明其特征，注意其“型” 。借助例题说明 0 lim x lim n 无穷小之间的几种关系；学习利用无穷小的等价求极限。 9 3 lim 2 3 x x x 45 32 lim 2 1 xx x x 教学重点（难点）：极限存在准则，两个重要极限的应用；熟练应用等价无穷小求极限 教学过程： 定理 1（夹逼定理） 三数列 n x 、 n y 和 n z ，如果从某个号码起成立： 1） nnn zyx ，并且已知 n x 和 n z 收敛， 2） n x n x zax limlim ，则有结论： ayn x lim 定理 2 单调有界数列一定收敛。 单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。 极限sinx/x =1 0 lim x 该极限的证明，关键是证不等式:sinx1- 1/n=（2(1/2)+（n-2） ）/n （1/2）21n-2 n-2=（1/4）1/n 则 4 （n+1）/ n= （1+1/n）n 即数列An有上界。 于是，极限存在，并记为数 e。 例 1 求下面函数极限： x x x tan lim 0 ， 2 0 cos1 lim x x x ， x x x arcsin lim 0 例 2 证明 x x x ) 1 1 (lim 有界，并求 x x x ) 1 1 (lim 的极限。 作业：见课后各章节练习。 第六节：无穷小的比较 定义 若 , 为无穷小，且 1lim 0lim 0lim lim 0lim c c K 则与的关系，依次是高阶、低阶、同阶、k 阶、等价（） 1）若 , 为等价无穷小，则 )( 。 2）若 1 、 1 且 1 1 lim 存在，则： 1 1 limlim 例 1证明下面各无穷小量之间的关系： 与 x（x +） tanx-sinx 与 sinx（x ） 。sinxx00 例 2求下面函数极限： x x x 5sin 2tan lim 0 ， xx x x 3 sin lim 3 0 ， 1cos 1)1 ( lim 3 1 2 0 x x x 。 作业：见课后各章节练习。 第六讲 第七节：函数的连续性 2 学时 教学目的与要求：利用定义判断函数的连续或间断点。理解连续函数的性质和初等函数 的连续性，并会利用函数的连续性求函数极限。了解闭区间上连续函数的性质（有界性、 最大值和最小值定理、介值定理） ，并会应用这些性质。 教学内容概述：讲解函数在一点的连续性，间断点的几种类型；连续函数的四则运算 反函数连续定理，复合函数的连续性定理；闭区间上连续函数的性质（最大、最小值； 有界性；零点、介值定理 教学重点（难点）：函数连续性判定；利用闭区间上连续函数的性质解决问题 一、函数在一点的连续性 函数 f 在点 0 x 连续，当且仅当该点的函数值 )( 0 xf 、左极限 )0( 0 xf 与右极限 )0( 0 xf 三者相等： )0()()0( 000 xfxfxf 或者：当且仅当函数 f 在点 0 x 有极限且此极限等于该点的函数值 。 )()(lim 0 0 xfxf xx 其形式定义如下： )()()(0 00 xfxfxxx 函数在区间（a,b）连续指：区间中每一点都连续，函数在区间a,b连续时包括端点。 注：1）左右连续，在区间上连续(注意端点)； 2）连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线。 二、间断点 若： )0()()0( 000 xfxfxf 中有某一个等式不成立，就间断，分为： 1、第一类间断点 )0()0( 00 xfxf 即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。 2、第二类间断点 0 x 左极限 )0( 0 xf 与右极限 )0( 0 xf 两者之中至少有一个不存在。 例 1讨论函数在 x=0 处的连续性： ,0, ( ) 1,0. x x f x x 例 2求下面函数的间断点，判断其类型： 。 1 (1) , x yx 1 cos x yx 作业：见课后各章节练习。 第八节：连续函数的运算与初等函数的连续性 一、连续函数的四则运算 1） )()(lim 0 0 xfxf xx 且 )()(lim 0 0 xgxg xx ， )()()()(lim 00 0 xgxfxgxf xx 2） )()(lim 0 0 xfxf xx 且 )()(lim 0 0 xgxg xx ， )()()()(lim 00 0 xgxfxgxf xx 3） )()(lim 0 0 xfxf xx 且 0)()(lim 0 0 xgxg xx ， )( )( )( )( lim 0 0 0xg xf xg xf xx 二、反函数连续定理 如果函数 f Dxxfyf)(: 是严格单调增加（减少）且连续的，则存在它的反 函数 1 f ： f Dyyfx )( 1 也是严格单调增加（减少）并且连续。 注：1）反函数的定义域就是原来的值域。 2）通常惯用 X 表示自变量，Y 表示因变量。反函数也可表成 1 )( 1 f Dxxfy 三、复合函数的连续性定理： 设函数 f 和g满足复合条件 g f D ，若函数g在点 x0连续； 00) (uxg ，又若 f 函数在点 0 u 连续，则复合函数 gf 在点 0 x 连续。 注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换： )(lim()(lim 00 xgfxgf xxxx 从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函 数，并且初等函数在其定义区间内连续。 例 1求下面函数的连续区间： ， 。lnsinyx 1 1 x x y 例 2 求下面函数极限： ， 。 2 arctan sin() lim a x a logx xa 2 arctan sin() lim a x a logx xa 作业：见课后各章节练习。 第九节：闭区间上连续函数的性质 一、最大、最小值 设函数： Dxxfy, )( 在上有界，现在问在值域 DxxfyyD),( 1 中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点 Dx 0 的函数值 )( 00 xfy ， 则记 )(max 0 xfy Dx 叫做函数在 D 上的最大值。 类似地，如果 f D 中有一个最小实数，譬如说它是某个点 f Dx 2 的函数值 )( 22 xfy ，则记 )(min 2 xfy f Dx 称为函数在上的最小值 。 二、有界性 有界性定理 如果函数 f 在闭区间 ba, 上连续，则它在 ba, 上有界。 三、零点、介值定理 最大值和最小值定理 如果函数 f 在闭区间 ba, 上连续则它在 ba, 上有最大值和 最小值，也就是说存在两个点和，使得 baxfxff, )()()( 。 亦即 )(min)( , xff bax )(max)( , xff bax 若 x0使 0)( 0 xf ，则称 x0为函数的零点。 四、零点定理 零点定理 如果函数 f 在闭区间 ba, 上连续，且 f 在区间 ba, 的两个端点异号： 0)(*)(bfaf 则至少有一个零点 ),(ba ，使 0)(f 。 五、中值定理 中值定理 如果函数 f 在闭区间 ba, 上连续，则 f 在 ba, 上能取到它的最大值和最 小值之间的任何一个中间值。 例 1证明方程 x=asinx+b（a、b0）至少有一个正根，并且它不超过 a=b。 例 2（2005 年全国高考题） 已知函数。 2 47 2 ( ),0,1 x x f xx 1）求的单调区间和值域；( )f x 2）设 a1，函数，若对于任意使得 32 ( )32 ,0,1g xxa xa x 1 0,1x 成立，求 a 的取值范围。 01 ()()g xf x 作业：见课后各章节练习。 （章节练习利用每次课课前解答） 第七讲 第二章导数与微分 第一节 导数的概念4 学时 一、教学目的： 1.理解导数的定义； 2.了解导数的定义的几种形式； 3.掌握可导的充要条件； 4.理解函数可导与连续的关系； 5.知道导数的物理背景和几何意义。 二、.教学重点： 1.导数的定义及几种形式； 2.导数的几何意义. 三、教学注意点 1 要充分认识函数在一点处的导数是函数关于其自变量在该点的变化率： 切线的斜率；速度与加速度；角速度与角加速度 dx dy k dt dx dt d a dt d ；电流，等等。 dt d dt dQ i 2 要充分理解函数可导则必然连续，而连续却未必可导。 3 注意要用函数可导的充要条件：存在来判断)( 0 x f 00 ()()fxfx 分段函数在分段点处是否可导。 四、教学过程四、教学过程 一一. .导数概念的引例（导数概念的引例（以物理学中的速度问题为例，引入导数的定义） 1.1.变速度直线运动的变速度直线运动的瞬时速度瞬时速度 由物理学知道，物体作匀速直线运动时，它在任何时刻的速度可以用来计算。 s v t 当物体作变速直线运动时，上述公式只能计算某段路程的平均速度，要精确地了解物体的 运动，不仅要知道它的平均速度，还要知道它在每个时刻的瞬时速度。 设一物体作变速直线运动，物体经过的路程是时间 的函数，即；当时间st( )sf t 由变化到时，在这时间段内，物体走过的路程为 0 t 0 ttt 00 ()( )sf ttf t 于是物体在这一段时间内的平均速度为 = v 00 ()( )f ttf ts tt 显然，这个平均速度是随着的变化而变化的。一般地，当很小时，可看作是物体ttv 在时刻速度的近似值，且越小，近似程度越好，因为取得越小，那么在这段时 0 ttt 间 内物体运动的速度越是来不及有很大的变化，因而就越能接近物体在 0时刻的瞬 tvt 时速度。当时，平均速度的极限就是物体在时刻的瞬时速度，即 0t v 0 t 。这就是说，物体运动的瞬时速度就 00 0 000 ()( ) ( )limlimlim ttt f ttf ts v tv tt 是位移的增量和时间增量的比值在时间增量趋于零时的极限。stt 例如例如:自由落体运动的瞬时速度自由落体运动的瞬时速度 已知作自由落体运动的物体的位移与其时间 的函数关系是，求该st 2 2 1 )(gttss S f(t0)f(t0+t) 0 S 物体在时刻的瞬时速度 0 tt )( 0 tv 1).1). （以均匀代替非均匀）（以均匀代替非均匀）首先从物体的内的平均速度入手； 令物体移动时间 从变化到；t 0 ttt 0 在这个时间段物体的位移为t ； 2 0 2 0 2 000 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )()(tgtgttgttgtsttss 物体在这个时间段内的平均速度为t .tggt t tstts t s v ttt 2 1)()( 0 00 , 00 2).2). （以极限为手段）（以极限为手段）然后得到瞬时速度. 易见愈小，时间内的平均速度的值就愈接近时刻的速度；ttv 0 t 因此，当时，的极限自然定义为物体在时刻的瞬时速度，即定义 0tv 0 t .)( 0 tv v t0 lim t s t 0 lim 0 lim t t tstts )()( 00 0 gt 由此可见，物体在时刻的瞬时速度是函数的增量与自变量增量比值当 0 tst 的极限. 推广到一般，可以归结为一个函数一个函数的增量的增量与自变量的增量与自变量的增量0t)(xfy y 之比，当之比，当趋于零时的极限趋于零时的极限这种类型的极限我们称其为导数xx 2平面曲线的切线斜率平面曲线的切线斜率 在中学的平面几何中，圆的切线被定义为“与圆只有一个交点的直线”.对一般曲线来 说，用“与曲线只有一个交点的直线”作为切线的定义就不一定合适.例如，对于抛物线 ，在原点 O 处两个坐标轴都符合上述定义，但实际上只有轴是该抛物线在点 O 2 xy x 处的切线.而如图 4.1.2 中所示的直线由于它跟曲线相交于两点，所以就不是曲线的切线了， 这显然是不合适的.因此，需要给曲线在一点处的切线下一个普遍适用的定义。 x Oxx 00 x 0 M MT N y x y 如图，在曲线上取得与邻近的另一点( )f x 000 (,)Mxy ，作曲线的割线， ，当点 00 (,)M xx yy 0 M M 沿着曲线向点移动时，割线绕点移M 0 M 0 M M 0 M 动，当点逐渐接近于点时（） ，割线M 0 M 0 MM 的极限位置就叫做曲线在点 0 M M 0 M T( )yf x 处的切线。 0 M 设割线的倾斜角为，于是割线的斜率是 0 M M 00 ()() tan f xxf xy xx 设切线的倾角为，点沿着曲线无限趋近于点，即， 0 M TM 0 M0x 得到切线的斜率为： 0 M Ttank 00 00 ()() limtanlimlim xx f xxf xy xx 这就是说，曲线在点处的纵坐标的增量与横坐标的增量的比( )yf x 0 Myyxx 值，当时的极限为曲线在点处的切线的斜率。0x 0 M 上述两个问题，一个是物理问题，另一个是几何问题.它们的实际意义不同，但如果撇 开两个极限的实际意义，那么不外乎是把所求的量归结为：求当自变量的改变量趋向于零 时，函数的改变量与自变量的改变量之比的极限。 二、导数的定义与几何意义 1. 函数在一点处导数)(xfy 0 x 定义定义 设函数在的某一邻域内有定义，当自变量在处取得增量()(xfy 0 xx 0 xx ，点仍在该邻域内)时；相应地函数取得增量；0 0 xxx 0 y)()( 00 xfxxfy 如果与之比当时的极限yx x y 0x 0 lim x x y 0 lim x x xfxxf )()( 00 存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，)(xfy 0 x)(xfy 0 x 记为，即 . . )( 0 x f )( 0 xf 0 lim x x y 0 lim x x xfxxf )()( 00 也可记为 , 或 如果极限不存在，则称函数在点处不可导。 0 xx y 0 xx dx dy 0 )( xx dx xdf 0 x 2. 函数在任一点处导数导函数)(xfy x 将处导数定义中的换成，如果与之比当时的极限存在，则称函 0 x 0 xxyx0x 数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，)(xfy x)(xfy x)(x f 即 . .)(xf 0 lim x x y 0 lim x x xfxxf )()( 显然，当 在某区间内变化时，是的函数. 因此称之为导函数，也简称为xI)(x f x 导数. 导函数的记号还有, 或 y dx dy dx xdf)( 注意：函数在点的导数是导函数在点处的函数)(xfy 0 x）（ 0 x f ）（x f x 0 x 值即 .）（ 0 xf 0 )( xx xf 例 1 求函数（为常数）的导数。cxf)(c 解：在中，不论取何值，起其函数值总为，所以，对应于自变量的增量，cxf)(xcx 有 ，即。0y0lim0 0 x y x y x 0)(c 注：这里是指在任一点的导数均为 0，即导函数为 0。cxf)( 例例 2 求（为正整数）在点的导数。 n xxf)(nax 解：即 11221 )(limlim)( nnnnn ax nn ax naaxaaxx ax ax af ， 1 )( n naaf 亦即，若将视为任一点，并用代换，即得 1 )( n ax n naxax 1 )()( nn nxxxf 注：更一般地，（为常数）的导数为，由此可见， xxf)( 1 )( xxf , 。 x x 1 2 1 )()0( 1 ) 1 ( 2 x xx 例 3 求在点的导数。xxfsin)(ax 解： ,即a ax ax af ax cos sinsin lim)( ax ax cos)(sin 同理：若视为任意值，并用代换，使得，即。axxxfcos)(xxcos)(sin 注：同理可证：。xxsin)(cos 例例 4 求的导数。) 1, 0()(aaaxf x 解： h a a h aa h xfhxf xf h h x xhx hh 1 limlim )()( lim)( 000 aa e aaa x a x a x a x ah ln log 1 )1 (log 1 lim )1 (log lim 1 00 1 令 所以。aaa xx ln)( 注：特别地，。 xx ee ) ( 例例 5 求的导数。) 1, 0(log)(aaxxf a 解： h x h h xhx h xfhxf xf a h aa hh )1 (log lim log)(log lim )()( lim)( 000 。 ax e xx h x a h x a h ln 1 log 1 )1 (log 1 lim 0 注 1：等最后讲到反函数求导时，可将作为的反函数来求导；x a log x a 2：一般地说，求导有四步： 一、给出；二、算出；三、求增量比；四、求极限。xy x y 3导数的几何意义导数的几何意义 切线斜率：函数在点处的导数在几何上表示： 1 ( )yf x 0 x 0 ()fx 曲线在点处的切线斜率.( )yf x 000 ,()Mxf x 法线的定义：过切点且垂直于切线的直线叫做曲线在点 000 ,()Mxf x( )yf x 处的法线。 000 ,()Mxf x 切线方程： 如果存在，则曲线在处的切线方程为 2 0 ()fx( )yf x 000 ,()Mxf x 000 ()()()yf xfxxx 法线方程： 如果存在，则曲线在处的法线方程为 0 ()fx( )yf x 000 ,()Mxf x ， （） 00 0 1 ()() () yf xxx fx 0 ()0fx 当时，切线方程为平行于轴的直线，法线方程为垂直于