有限制条件的排列与组合问题.doc

莄蚁袄膈蒇袇螀膇蕿蚀肈膆芈蒃羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃膃蚆螂节莅蕿肁节蒇螅羇芁薀薇袃芀艿螃蝿荿莂薆肈莈蒄螁羄莇薆薄袀莆莆蝿袅羃蒈蚂螁羂薁袈肀羁芀蚁羆羀莂袆袂羀蒅虿螈聿薇蒂肇肈芇蚇羃肇葿蒀罿肆薁螅袅肅芁薈螁肄莃螄聿肄蒆薇羅肃薈螂袁膂芈薅螇膁莀螀蚃膀薂薃肂腿节衿羈膈莄蚁袄膈蒇袇螀膇蕿蚀肈膆芈蒃羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃膃蚆螂节莅蕿肁节蒇螅羇芁薀薇袃芀艿螃蝿荿莂薆肈莈蒄螁羄莇薆薄袀莆莆蝿袅羃蒈蚂螁羂薁袈肀羁芀蚁羆羀莂袆袂羀蒅虿螈聿薇蒂肇肈芇蚇羃肇葿蒀罿肆薁螅袅肅芁薈螁肄莃螄聿肄蒆薇羅肃薈螂袁膂芈薅螇膁莀螀蚃膀薂薃肂腿节衿羈膈莄蚁袄膈蒇袇螀膇蕿蚀肈膆芈蒃羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃膃蚆螂节莅蕿肁节蒇螅羇芁薀薇袃芀艿螃蝿荿莂薆肈莈蒄螁羄莇薆薄袀莆莆蝿袅羃蒈蚂螁羂薁袈肀羁芀蚁羆羀莂袆袂羀蒅虿螈聿薇蒂肇肈芇蚇羃肇葿蒀罿肆薁螅袅肅芁薈螁肄莃螄聿肄蒆薇羅肃薈螂袁膂芈薅螇膁莀螀蚃膀薂薃肂腿节衿羈膈莄蚁袄膈蒇袇螀膇蕿蚀肈膆芈蒃羄芅莁蚈袀芄蒃蒁螆芃膃蚆螂节莅蕿肁节蒇螅羇 有限制条件的排列与组合问题有限制条件的排列、组合应用题是高考中的重点内容，是学生学习中的难点。其实这类问题还是有其内在规律的。本文介绍处理这类问题的几个原则。一、特殊元素优先处理例1、 5人排成一排照相（1）甲不能站在中间,有多少种不同的的排法? （2）甲必须站在中间,有多少种不同的的排法?解法一： 甲是受限制的特殊元素,优先考虑他的安排。（1） 甲站在中间后，其余4人选择4个位置,共有C11A44=24种不同的排法。（2） 甲从除中间外的其它4个位置上选择一个位置后，再排其余4人，故有C41A44=96种不同的排法。解法二：把中间位置视为特殊元素（1） 中间位置只能给甲占，其余4个位置由余下其它4 人占领，故有C11A44=24种不同的排法。（2） 中间位置选甲之外4人中的一人，其余4个位置由余下4人占领，故有C41A44=96种不同的排法。例2 用五种不同的颜色给图中A,B,C,D,E五个平面区域染色,要求每个区域只染一种颜色,且相邻区域不能染相同颜色,求不同的染色方法总数。D解：五块平面区域中，A的位置特殊，与其余四块区域均相邻优先给A染色，有C51种方法,EC其余各块依次(分布)染色,故不同 的染色方法种AAA数为C51C41C31C31C21=360。B例3、在30000和60000之间有多少个无重复数字的5的倍数。 分析：依题意，万位上只能取3，4，5，个位上只能取回0或5，可列表对个位分类讨论。0123456789万位个位解：当个位取0时，有C31A83=1008种取法；当个位取5时，有C21A83=672种，故所求总数为C31A83+ C21A83=1680。当题设两个以上限制条件时，可用列表法显示对特殊元素的限制，从而通过恰当分类找到解题方法。二、定序序问题无序处理例4 从1到9这九个数字中任取4个不同的数作为函数y=ax3 +bx2 +cx+d的系数，且要求abcd，这样的函数共有多少个？分析：从9个数中取出4个作为三次函数的系数，由于规定了顺序，故每次取出后只有一种排列位置，因而实际上是一个组合问题，无异于“无序”。故所求的函数个数为：C94=126。例5 10个人坐成一排，其中甲在乙的左边，甲乙不一定相邻的坐法有多少种？分析：在所有的坐法中，“甲在乙的左边”，与“甲在乙的右边”的方法是一样多，按对称性，应该有A10102 =A1010种不同的坐法。本题可拓展为更一般的“定序”问题：将n个不同有元素排成一排，其中a1在a2的左边，a2在的a3左边，ak-1在ak的左边（a1，a2，ak不一定相邻），总共有AnnAKK=种不同的排法。三 、 多排问题直排处理例6、 8个人排成前后两排，每排4人（1）共有多少种排法？（2）若甲、乙2人要排在前排，丙要排在后排，共有多少种不同的排法？分析；（1）8个人排成前后两排，每排4人的排法数等价于8人排成一排的排法数有A88=8！种排法。 （2）此小题等价于“8个人排成一排，甲、乙要排在前4个位置之一，丙要排在后4个位置之一”。按特殊元素优先处理原则，有A42A41A55种方法。四、相邻问题“粘合”处理 例7 有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，其它书3本。若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在在一起，外文书恰好排在一起的排法共有 种。（1996年上海高考题） 分析：把3本数学书暂时看成一“本”，即暂时理解为把三本数学书“粘合”或“捆绑”在一起，有A33种排法；同理2本外文书恰好排在一起有A22种排法，然后与其它书去排，总共有A33A22A55种排法。 例8 计划展出10幅不同的，其中1幅水彩画，4幅油幅，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）种。 （1994年上海高考题） A A44A55 B A33A44A55 C C31A44A55 D A22A44A55 分析：根据特殊元素优先处理，先把一幅水彩画放在“中间”，4幅油画 “粘合”在一起，有A44 种排法；5幅国画 “粘合”在一起，有A55 种排法；最后把油画、国画两类书排列，总共有A44A55A22 种排法。所以选D。五、隔离问题“插入”处理例9 由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数，求这种五位数的个数。（1987年全国高考题）分析：为保证1，2两个数不相邻，以让它们“插空”为好。1，2两数暂不列，其它3数先排，排法有A33种。这三数排好后，前后共有4个“空位”可供1，2两数选择，不同的排法有A42。所以符合题意的不同排法共有A33A42=72种。例10 马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有多少种？分析：关灯方法的每一种都惟一对应着满足题设的亮灯与暗灯的一个排列。于是问题转化为在6盏亮灯中插入3盏暗灯，且任意两暗灯不相邻，暗灯不在两端，所以满足条件的关灯办法有C53=10种。六、多类问题“减法”处理例11 以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）个。（1990年全国高考题）A 70 B 64 C 58 D 52 分析：从正面考虑比较复杂，但其反面“四点共面不构成四面体”却比较容易计算，所以用排除法：C84=58。选C 例12 正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形有 个 （用数字作答） （1996年全国高考题）分析：点构成三角形，属于组合组合问题，其反面是共线三点不能构成三角形，正六边形的中心和顶点存在三组三点共线的情形，所以一共有三角形C73-3=32个。总结：以上六个原则代表了排列与组合的六种基本思想方法，如果把它们综合在一起，协同作战，则可解决更复杂的排列与组合问题。 肁莀莈蚃肀肀薃蕿腿膂莆袈腿芄薂螄膈蒇莄螀膇膆蚀蚆螃艿蒃薂螂莁蚈袀螂肁蒁螆螁膃蚆蚂袀芅葿薈衿莇节袇袈肇蒇袃袇艿芀蝿袆莂薆蚅袆肁荿薁袅膄薄袀袄芆莇螆羃莈薂蚂羂肈莅薈羁膀薁薄羀莃蒃袂羀肂虿螈罿膅蒂蚄羈芇蚇薀羇荿蒀衿肆聿芃螅肅膁蒈蚁肄芃芁蚇肄肃薇薃肃膅荿袁肂芈薅螇肁莀莈蚃肀肀薃蕿腿膂莆袈腿芄薂螄膈蒇莄螀膇膆蚀蚆螃艿蒃薂螂莁蚈袀螂肁蒁螆螁膃蚆蚂袀芅葿薈衿莇节袇袈肇蒇袃袇艿芀蝿袆莂薆蚅袆肁荿薁袅膄薄袀袄芆莇螆羃莈薂蚂羂肈莅薈羁膀薁薄羀莃蒃袂羀肂虿螈罿膅蒂蚄羈芇蚇薀羇荿蒀衿肆聿芃螅肅膁蒈蚁肄芃芁蚇肄肃薇薃肃膅荿袁肂芈薅螇肁