一道经典平行线问题的解答与变式.doc

一道平行线问题的解答与演变平时学习中，大家都要做大量的习题，其中不少习题的解法具有多样性，题目本身具有典型性、发展性，对这些问题的图形和条件进行一些变化，就会产生一个个颇具思维含量的考试题下面对一道有关平行线问题进行多角度求解，并进行变式训练，以发展同学们的思维能力原命题：如图，已知ABCD，BE平分ABC，CE平分BCD，射线BE与CE交于E求证：BECE分析一：由角平分线的定义易得 1、2与BCD、ABC之间的倍分关系，再利用“两直线平行，同旁内角互补”的结论进行整体代换，即可解决问题解法一：整体转化法BE平分ABC，（角平分线的定义），同理，（等式性质）又ABCD，（两直线平行，同旁内角互补），（等量代换）（三角形的内角和等于180 o）即BECE（垂直的定义）点评：解法一综合运用的知识点有：角平分线定义、垂直定义、平行线的性质、等式性质、等量代换、三角形内角和等，运用的数学思想方法是整体代换和转化思想分析二：作平行线把E分成两个角，并将这两个角与1、2联系起来，进行有效转化解法二：分解转化法如图，过点E作EFAB交BC于F，又ABCD，ABEFCD（平行线的传递性），（平行线的性质、角平分线的定义）（同上），（等量代换），又由ABCD知（两直线平行，同旁内角互补）， （等量代换）即BECE（垂直的定义）点评：解法二运用作平行线的方法把E分成两个角，并运用平行线的性质和等量代换解题运用的数学思想方法是分解思想（即化整为零）和转化思想分析三：要求E，只须求出E的邻补角即可延长BE后，出现新的CEM（如图3），CEM的三个内角与BCE的三个内角的度数之和相等，用对应思想便可解决问题 解法三：对应转化法延长BE交CD于M，ABCD，CMEABE2（平行线的性质和角平分线定义），又（三角形内角和等于180 o），而1ECM， 2CME（角平分线定义），BECCME（等式性质），又（邻补角），（等式性质）即BECE（垂直的定义）点评：解法三运用的知识点有：平行线的性质、三角形内角和、邻补角性质和等式性质等，运用的数学思想方法是对应思想和转化思想总结：把原命题概括成一句话，可说成：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直通过对原命题的多种解法的深入探讨，可以加强知识间的联系，实现方法和技能的融会贯通，从而培养思维的深刻性和灵活性如果仅从解法上进行分析和思考，就题论题，习题的功能便会大打折扣，我们还应该对原命题进行一系列的演变，这样不但可以感受到题目的发展变化，还可以进一步提高我们发现问题、分析问题、解决问题的能力变式一：探求原命题的逆命题 例1（2012黄石七年级期末考试）如图4，两条直线AB、CD被第三条直线BC所截所成的同旁内角的平分线BE和CE互相垂直，探求AB与CD的位置关系解：BECE，（三角形内角和等于180 o），又BE、CE平分ABC、BCD，（角平分线的定义），（等量代换），（等式性质），ABCD（同旁内角互补，两直线平行）说明：进一步可把原命题的条件与结论进行梳理，总结如下：在图中，直线AB、CD被BC所截，ABCD，BE平分ABC，CE平分BCD，BECE，以上任三个作为条件，都可以推出第四个变式二：在原图基础上，增加另一组同旁内角的平分线例2（2012安徽中考题）如图5，已知ABCD，BE、CE、BF、CF分别是ABC、BCD、NCB、MBC的角平分线，BC不与ND垂直，则图中与FBE相等的角共有 个解析：由原命题的解答可知，同理可得：； 又，同理可得因此. 即与FBE相等的角共有3个说明：用语言文字概括本例题，可表述为：两条平行线被第三条直线所截，两对同旁内角的平分线组成的四边形是矩形变式三：在原图基础上，增添两个相等的角或一组平行线例3（2012新希望杯试题）如图6， GEF与DFE的角平分线交于点H，ABCD，BD求证：EHHF证明：ABCD，AC（两直线平行，内错角相等），又BD， AEBDFC（三角形内角和），又AEBGEF，DFCMFE（对顶角相等），GEFMFE（等量代换），EGFD（内错角相等，两直线平行），则（两直线平行，同旁内角互补），又EH、FH为角平分线，（角平分线的定义），即BECE（垂直定义）说明：在原题的基础上添加平行线后，得到一对内错角相等，并结合其他条件进一步得出BGMD，这样就将看似复杂的问题逐步转化成已经解决过的问题（即原命题）变式四：改变部分条件，设置成有梯度的综合题例4(2012武昌区七年级期末考试)已知，如图7，直线ABCD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，EM、FN分别平分BEF、CFE（1）求证：EMFN；（2）如图8，DFE的平分线交EM于G，求EGF的度数；（3）如图9， BEG、DFG的平分线交于H点，试问： H与G的度数是否存在某种特定的数量关系？并证明你的结论；若BEH、DFH的平分线交于Q点，根据的结论猜想Q与G的度数关系 （不需证明）（1）证明：ABCD，BEF=CFE（两直线平行，内错角相等），又EM、FN分别平分BEF、CFE，2FEM2NFE（角平分线的定义），即FEMNFE（等式性质），EMFN （内错角相等，两直线平行）；（2）由原命题的解答易得：，证略；（3）解：类比（2）的解答，如图10，过H点作HKAB，同理可证 EGF=2H；同理可证：, G=4Q 说明：例4是一道一题多问的综合题，有梯度，亦有一定难度虽然改变了原命题的部分条件，但解决问题所用的知识和方法并没有改变只要我们掌握了原命题的几种解法的本质特点，解决本题也会得心应手通过上面的变化，同学们一定知道了试题是如何演变而来的是的，试题一般都是从经典习题变化而来的在平时