《高中数学解析几何》doc版.doc

第十五章 解析几何第一节 直线的倾斜角、斜率及方程A组1已知R，则直线xsiny10的倾斜角的取值范围是_解析：ksin，R，k，倾斜角0，30150，180)答案：0，30150，180)2已知直线l1的方程是axyb0，l2的方程是bxya0(ab0，ab)，则下列各示意图形中，正确的是_解析：kl1a，l1与y轴的交点为(0，b)，kl2b，l2与y轴的交点为(0，a)，可知对答案：3直线mxy2m10经过一定点，则该点的坐标是_解析：mxy2m10m(x2)(1y)0，x2时，y1，即过定点(2,1)答案：(2,1)4(2008年高考浙江卷)已知a0，若平面内三点A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a_.解析：由kABkBC，即，可得a(a22a1)0，即a1或a0，又a0，故a1.答案：15(原创题)若点A(ab，ab)在第一象限内，则直线bxayab0不经过第_象限解析：点A在第一象限内，ab0且ab0，即a0，b0，由bxayab0yxb，0，y0，得k或k.3直线l与两直线y1，xy70分别交于P、Q两点，线段PQ的中点恰为(1，1)，则直线l的斜率为_解析：设直线l与两直线的交点分别为(a,1)，(b，c)，P、Q的中点为(1，1)，c213，代入xy70可得b4，a2b2，P(2,1)，Q(4，3)，kPQ.4若直线(k21)xy12k0不过第二象限，则实数k的取值范围是_解析：由直线方程可化为y(k21)x2k1，直线不过第二象限，或或，解之得k1.5(2010年苏州模拟)若ab0，则过点P(0，)与Q(，0)的直线PQ的倾斜角的取值范围是_解析：kPQ0.又倾斜角的取值范围为0，)，所以直线PQ的倾斜角的取值范围是(，)6函数yasinxbcosx的一个对称轴方程为x，则直线axbyc0的倾斜角为_解析：令f(x)asinxbcosx，由于f(x)的一条对称轴为x，得f(0)f()，即ba，1.直线axbyc0的斜率为1，倾斜角为135.7已知两直线a1xb1y10与a2xb2y10的交点是P(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程是_解析：由条件可得2a13b110,2a23b210，显然点(a1，b1)与(a2，b2)在直线2x3y10上8直线axy10与连结A(2,3)，B(3,2)的线段相交，则a的取值范围是_解析：直线axy10过定点C(0，1)，当直线处在直线AC与BC之间时，必与线段AB相交，故应满足a或a，即a2或a1.9(2010年湛江质检)已知在ABC中，ACB90，BC4，AC3，P是AB上的一动点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是_解析：以C为坐标原点，CA，CB分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，所以A(3,0)，B(0,4)直线AB：1，设P(x，y)，所以P到AC、BC的距离乘积为xy，xyx(4x)x24x(x)23.答案：310已知直线方程为(2m)x(12m)y43m0.(1)证明：直线恒过定点M；(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，求AOB面积的最小值及此时直线的方程解：(1)证明：(2m)x(12m)y43m0可化为(x2y3)m2xy4.由得，直线必过定点(1，2)(2)设直线的斜率为k，则其方程为y2k(x1)，OA1，OBk2，SAOB|OA|OB|(1)(k2)|.k0，SAOB4()(k)4.当且仅当k，即k2时取等号，AOB的面积最小值是4，直线的方程为y22(x1)，即y2x40.11已知直线l：ay(3a1)x1.(1)求证：无论a为何值，直线l总过第三象限；(2)a取何值时，直线l不过第二象限？解：(1)证明：由直线l：ay(3a1)x1，得a(3xy)(x1)0，由，得，所以直线l过定点(1，3)，因此直线总过第三象限(2)直线l不过第二象限，应有斜率k0且0.a时直线l不过第二象限12若直线l过点P(3,0)且与两条直线l1：2xy20，l2：xy30分别相交于两点A、B，且点P平分线段AB，求直线l的方程解：设A(m,2m2)，B(n，n3)线段AB的中点为P(3,0)，A(，)，直线l的斜率k8，直线l的方程为y08(x3)，即8xy240第二节 点与直线、直线与直线的位置关系A组1(2009年高考安徽卷改编)直线l过点(1,2)且与直线2x3y40垂直，则l的方程是_解析：由题意知，直线l的斜率为，因此直线l的方程为y2(x1)，即3x2y10.2(2010年西安调研)已知两条直线yax2和y(a2)x1互相垂直，则a等于_解析：两条直线互相垂直，a(a2)1，a1.3(2010年苏州质检)直线xay30与直线ax4y60平行的充要条件是a_.解析：由两条直线平行可知a2.4若点P(a,3)到直线4x3y10的距离为4，且点P在不等式2xy30表示的平面区域内，则实数a的值为_解析：由4得a7或3，又2a330，得a0，a3.5在平面直角坐标系中，定义平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，若直线l过点A(2,3)，且法向量为n(1，2)，则直线l的方程为_解析：设P(x，y)是直线l上任意一点，则(2x,3y)，且n，故n0，即(2x,3y)(1，2)x2y80，即直线l的方程为x2y80.答案：x2y806直线y2x是ABC中C的角平分线所在的直线，若A、B的坐标分别为A(4,2)，B(3,1)，求点C的坐标，并判断ABC的形状解：设A(4,2)关于直线y2x对称的点A的坐标是(m，n)由解得即A的坐标是(4， 2)，由B、A得BC所在的直线方程，3xy100，由解得C的坐标是(2,4)，又kAC，kBC3，ACBC，即ABC是直角三角形B组1已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为_解析：kPQ1，PQ的中点为(，)，即(2,3)，kl1，直线l的方程为y3(x2)，即xy10.2若三条直线l1：xy7，l2：3xy5，l3：2xyc0不能围成三角形，则c的值为_解析：由l1，l2，l3的方程可知l1，l2，l3不平行，由解得交点(3,4)，代入l3的方程得c10.3已知两条直线l1：axbyc0，直线l2：mxnyp0，则anbm是直线l1l2的_条件解析：l1l2anbm0，且anbm0/ l1l2.答案：必要不充分4过点P(1,2)作直线l，使直线l与点M(2,3)和点N(4，5)距离相等，则直线l的方程为_解析：直线l为与MN平行或经过MN的中点的直线，当l与MN平行时，斜率为4，故直线方程为y24(x1)，即4xy60；当l经过MN的中点时，MN的中点为(3，1)，直线l的斜率为，故直线方程为y2(x1)，即3x2y70.答案：3x2y70或4xy605已知直线l经过点(，2)，其横截距与纵截距分别为a、b(a、b均为正数)，则使abc恒成立的c的取值范围为_解析：设直线方程为1，1，ab(ab)()，故c.答案：(，6(2010年苏南四市调研)若函数yax8与yxb的图象关于直线yx对称，则ab_.解析：直线yax8关于yx对称的直线方程为xay8，所以xay8与yxb为同一直线，故得，所以ab2.答案：27如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是_解析：分别求点P关于直线xy4及y轴的对称点，为P1(4,2)、P2(2，0)，由物理知识知，光线所经路程即为P1P22.答案：28设a、b、c、分别是ABC中A、B、C所对边的边长，则直线xsinAayc0与bxysinBsinC0的位置关系是_解析：由bsinAasinB0知，两直线垂直答案：垂直9(2010年江苏常州模拟)已知0k4，直线l1：kx2y2k80和直线l2：2xk2y4k240与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为_解析：l1：k(x2)2y80过定点(2,4)，l2：k2(y4)42x也过定点(2,4)，如图，A(0,4k)，B(2k22,0)，S2k24(4k4)24k2k8.当k时，S取得最小值答案：10在ABC中，BC边上的高所在直线方程为x2y10，A的平分线所在直线方程为y0，若点B坐标为(1,2)，求点A和C的坐标解：由得A(1,0)又B(1,2)，kAB1.x轴是A的平分线，kAC1.AC直线方程y(x1)又BC方程为：y22(x1)，由得C(5，6)11在直线l：3xy10上求点P和Q，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小解：(1)如图所示，设点B关于l的对称点B的坐标为(a，b)，则kBBkl1，即31.a3b120.又由于线段BB的中点坐标为，且在直线l上，310，即3ab60.解得a3，b3，B(3,3)于是AB的方程为，即2xy90.解得即l与AB的交点坐标为P(2,5)(2)如图所示，设C关于l的对称点为C，求出C的坐标为.AC所在直线的方程为19x17y930，AC和l交点坐标为，故Q点坐标为.12(2010年济南模拟)已知n条直线l1：xyC10，C1，l2：xyC20，l3：xyC30，ln：xyCn0(其中C1C2C30)与两坐标轴无公共点，那么实数k的取值范围为_解析：圆的方程为(xk)2(y1)2k21，圆心坐标为(k，1)，半径r，若圆与两坐标无公共点，即，解得1k0)，B(0，a)，C(4,0)，D(0,4)，设AOB的外接圆圆心为E.(1)若E与直线CD相切，求实数a的值；(2)设点P在圆E上，使PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的E是否存在，若存在？求出E的标准方程；若不存在，说明理由解：(1)直线CD方程为yx4，圆心E(，)，半径ra.由题意得a，解得a4.(2)|CD|4，当PCD面积为12时，点P到直线CD的距离为3.又圆心E到直线CD距离为2(定值)，要使PCD的面积等于12的点P有且只有三个，只须圆E半径5，解得a10，此时，E的标准方程为(x5)2(y5)250.11在RtABO中，BOA90，OA8，OB6，点P为它的内切圆C上任一点，求点P到顶点A、B、O距离的平方和的最大值和最小值解：如图所示，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立直角坐标系xOy，则A(8,0)，B(0,6)，内切圆C的半径r(OAOBAB)2.内切圆C的方程为(x2)2(y2)24.设P(x，y)为圆C上任一点，点P到顶点A、B、O的距离的平方和为d，则dPA2PB2PO2(x8)2y2x2(y6)2x2y23x23y216x12y1003(x2)2(y2)24x76.点P(x，y)在圆C上，(x2)2(y2)24.d344x76884x.点P(x，y)是圆C上的任意点，x0,4当x0时，dmax88；当x4时，dmin72.12(2008年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)x22xb(xR)的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论解：(1)显然b0.否则，二次函数f(x)x22xb的图象与两个坐标轴只有两个交点(0,0)，(2,0)，这与题设不符由b0知，二次函数f(x)x22xb的图象与y轴有一个非原点的交点(0，b)，故它与x轴必有两个交点，从而方程x22xb0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式44b0，即b1.所以b的取值范围是(，0)(0,1)(2)由方程x22xb0，得x1.于是，二次函数f(x)x22xb的图象与坐标轴的交点是(1，0)，(1，0)，(0，b)设圆C的方程为x2y2DxEyF0.因圆C过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C的方程，得解上述方程组，因b0，得所以，圆C的方程为x2y22x(b1)yb0.(3)圆C过定点证明如下：假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x02y022x0y0b(1y0)0.(*)为使(*)式对所有满足b0)的公共弦的长为2，则a_.解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为：y，如图，由已知|AC|，|OA|2，有|OC|1，a1.答案：12(2009年高考全国卷)已知圆O：x2y25和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于_解析：依题意，过A(1,2)作圆x2y25的切线方程为x2y5，在x轴上的截距为5，在y轴上的截距为，切线与坐标轴围成的三角形面积S5.答案：3(2009年高考湖北卷)过原点O作圆x2y26x8y200的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为_解析：圆的标准方程为(x3)2(y4)25，可知圆心为(3,4)，半径为.如图可知，|CO|5，OP2.tanPOC.在RtPOC中，OCPMOPPC，PM2.PQ2PM4.答案：44若直线3x4ym0与圆x2y22x4y40没有公共点，则实数m的取值范围是_解析：将圆x2y22x4y40化为标准方程，得(x1)2(y2)21，圆心为(1，2)，半径为1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即d1，m10.答案：(，0)(10，)5(原创题)已知直线xy2m0与圆x2y2n2相切，其中m，nN*，且nm5，则满足条件的有序实数对(m，n)共有_个解析：由题意可得，圆心到直线的距离等于圆的半径，即2m1n，所以2m1m5，因为m，nN*，所以，故有序实数对(m，n)共有4个答案：4个6(2010年南京调研)已知：以点C(t，)(tR，t0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点(1)求证：OAB的面积为定值；(2)设直线y2x4与圆C交于点M，N，若OMON，求圆C的方程解：(1)证明：圆C过原点O，OC2t2.设圆C的方程是(xt)2(y)2t2，令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t.SOABOAOB|2t|4，即OAB的面积为定值(2)OMON，CMCN，OC垂直平分线段MN.kMN2，kO C，直线OC的方程是yx.t，解得：t2或t2.当t2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC，此时圆心C到直线y2x4的距离d，圆C与直线y2x4不相交，t2不符合题意舍去圆C的方程为(x2)2(y1)25.B