探索型问题一(开放性问题).doc

薂蝿膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿袃膆芆蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈袈肄莁薄袇膆薇蒀羇艿莀螈羆羈膂蚄羅肁莈蚀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羂膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螇肈膄蒁螃肇莆芄虿肆肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀薈螀蚁羀莀蚆螀肂薆薂蝿膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿袃膆芆蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈袈肄莁薄袇膆薇蒀羇艿莀螈羆羈膂蚄羅肁莈蚀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羂膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螇肈膄蒁螃肇莆芄虿肆肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀薈螀蚁羀莀蚆螀肂薆薂蝿膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿袃膆芆蚅袃芈蒂薁袂羈芅蒇袁膀薀蒃袀节莃螂衿羂蕿蚈袈肄莁薄袇膆薇蒀羇艿莀螈羆羈膂蚄羅肁莈蚀羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羂膇蒄蚇羁芀芇薃肀罿蒃葿聿肂芆螇肈膄蒁螃肇莆芄虿肆肆蕿薅蚃膈莂蒁蚂芀薈螀蚁羀莀蚆螀肂薆薂蝿膅荿蒈蝿芇膂袇螈肇莇螃螇腿芀虿螆芁蒅薅螅羁芈蒁螄肃蒄蝿袃膆芆蚅袃芈 探索型问题一（开放性问题）【考点透视】习惯上，人们把命题者对解题者的要求，将数学问题分为两类：一类是问题的条件和结论都有确定要求的题型；另一类是条件和结论中至少有一个没有确定要求的题型，并称前者为封闭题型，后者为开放题型.开放性问题的基本形式有：条件开放题（问题的条件不完备）；结论开放题（问题的结论不确定或不唯一），这些问题的解决，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答. 现在还出现一些其他形式的开放题，如解题策略的开放题和题干结构的开放题. 前者主要侧重于解题方法或策略的选择和设计，后者主要是所给题目不完整，需要解题者把题目补充完整，然后完成解答.开放性问题对于训练和考查学生的发散思维，进而培养学生的创新意识和创新能力是十分有益的.教育部在2000年初中毕业、升学考试改革的指导意见中特别指出：数学考试“应设计一定结合情境的问题和开放性问题”.由于各地认真贯彻执行这一指导意见，所以在近年的各地中考中，开放性试题越来越受到命题者的青睐，也越来越受到广大初中教师和学生的重视.【典型例题】一、条件开放题BACD图7.1 解条件开放题，一种是直接补齐条件，使题目结论成立；另一种是需要我们作出探索去补齐条件使题目结论成立. 这两种情况所需补充的条件往往不惟一. 例1 （1）如图7.1，ABC中，AB=AC，D为AC边上的一点，要使ABCBCD，还需要添加一个条件，这个条件可以是_ _（只需填写一个你认为适当的条件即可）.（2001年淄博市中考题）ABCDEF图7.2（2）如图7.2，在ABC和FED中，AD=FC，AB=FE，当添加条件：_时，就可得到ABCFED（只需填写一个你认为正确的条件）. （2003年无锡市中考题）解：（1）BD=BC.（也可以是：ABC=BDC；或A=DBC；或BCCD=ACBC；或BC2=ACCD中的某一个）（2）A=F. （或BC=ED等）说明：开放题的一个显著特点是：答案的不唯一性. 第（1）小题中，我们只需给出能使结论成立的一个答案即可.例2 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是和，试写出符合要求的方程组_.（只要填写一个即可）（2000年安徽省中考题）分析：我们只要分别构造出一个既含x，又含y的一个二元一次方程和一个二元二次方程. 构造方程实际上就是寻找x与y之间的关系.解：说明：方程与函数有着紧密的联系，如果我们把方程组的解看作对应于平面直角坐标系中的两个点A（2，4），B（-2，-4），则我们可以写出过这两个点的一个一次函数的解析式（也是一个二元一次方程）和一个二次函数的解析式（也是一个二元二次方程，这个方程不唯一）.本题在解法上可以用代数的方法来解，也可用几何的方法来解（形数结合一种重要的数学思想方法）；可以用待定系数法，运用演绎推理的方法来解，也可用直觉思维的方法来解，所以本题既是一个条件开放题，也是一个策略开放题.例3 已知：如图7.3.1，四边形ABCD是O的内接四边形，A是的中点，过A点的切线与CB的延长线交于点E.（1）求证：ABDA=CDBE；（2）若点E在CB延长线上运动，点A在上运动，使切线EA变为割线EFA，其它条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图，注明条件，不要求证明）（2000年北京海淀区中考题）BACDOE图7.3.1ABCEDOF图7.3.2分析：本题的（2）是一个条件开放题.由于本题的结论与（1）相同，所以这一条件的获得，我们可以从（1）的证明过程中受到启示.（1）证明：连结AC.A是的中点,ACB=ACD.EA切O于A，EAB=ACB. 又ABE=D，EABACD，ABCD=EBAD，ABAD=CDBE.（2）解：如图7.3.2中，若有EABACD，则原结论成立，故我们只需探求使EABACD的条件.由于ABE=D，所以只要BAE=DAC即可，这只要即可.所以本题只要，原结论就成立.说明：探求条件的过程，是一个由果索因的过程，这是数学中的一种重要的解题方法分析法.HBAEPOCDF图7.4例4 如图7.4，AB、AC分别是O的直径和弦，D为劣弧上一点，DEAB于点H，交O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点.（1）当PCF满足什么条件时，PC与O相切？为什么？（2）点D 在劣弧的什么位置时，才能使AD2=DEDF？为什么？(2002年济南市中考题)分析：（1）连OC.要使PC与O相切，则只需PCO=900即可.由OCA=OAC，PFC=AFH，即可寻找出PCF所要满足的条件（2）要使AD2=DEDF，即，也就是要使DAFDEA，这样问题就较容易解决了.解：（1）当PC=PF（或PCF=PFC，或PCF是等边三角形）时，PC与O相切.连OC. PC=PF，PCF=PFC，PCO=PCF+OCA=PFC+OAC=AFH+AHF=900,PC与O相切.（2）当点D是的中点时，AD2=DEDF.连结AE.，DAF=DEA.又ADF=EDA，DAFDEA，即AD2=DEDF.说明：本题是探索性开放题,在解决这类问题时,我们常从要获得的结论出发来探求该结论成立的条件.如第(1)小题中,若要PC与O相切,则我们需要怎样的条件.第(2)小题也是如此.二、结论开放题结论开放题通常是结论不确定或不惟一，解题时，需作出探索来确定结论是否成立或会有那些结论. 例5 如图7.5.1，以等腰三角形ABC的一腰AB为直径的O交BC于D，过D作DEAC于E，可得结论DE是O的切线. ABOECD图7.5.1问：（1）若点O在AB上向点B移动，以O为圆心，OB长为半径的圆仍交BC于D，DEAC的条件不变，那么上述结论是否还成立？请说明理由. （2）如果AB=AC=5cm, sinA=,那么圆心O在AB的什么位置时，O与AC相切？ （2001年黑龙江省中考题）分析：（1）连OD. OB=OD，OBD=ODB=C， ODAC，从而可得ODDE，结论仍然成立. （2）若O与AC相切，设切点为F，连OF，则由RtAOF中可求得OF=，即OB=. 解：（1）结论仍然成立. 如图7.5.2，连OD，则OD=OB，OBD=ODB. 又AB=AC，B=C，ODB=C，ODAC. DEAC，ODDE，DE是O的切线. ABCOF图7.5.3AOBECD图7.5.2（2）如图7.5.3，若AC与O切于点F，连OF，则OFAC，即AOF是直角三角形，sinA=，OB=，即当OB=时，O与AC相切. 说明：本例的两小题都属于结论不确定性的开放性问题. 第（1）小题是直接从题设条件出发探求结论是否成立；第（2）小题是从题设的结论出发来探求结论成立的条件，这也是解决这类问题的常用方法. 例6 如图7.6.1，O的直径AB，过半径OA的中点G作弦CEAB，在上取一点D，分别作直线CD、ED，交直线AB于点F、M. DAFCEDMOGBAFCEMOGB图7.6.1图7.6.2（1）求COA和FDM的度数；（2）求证：FDMCOM；（3）如图7.6.2，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、M. 试判断：此时是否仍有FDMCOM？证明你的结论. （2003年苏州市中考题）（1）解：AB是O的直径，CEAB，CG=EG. 在RtCOG中，OG=OC，OCG=，COA=. 又CDE的度数=的度数=的度数=COA=，FDM=-COA=. （2）证明：COM=-COA=，COM=FDM. 在RtCGM和RtEGM中，GM=GM，CG=EG，RtCGMRtEGM，GMC=GME. 又DMF=GME，OMC=DMF，FDMCOM. （3）解：结论仍然成立. FDM=-CDE，CDE的度数=的度数=的度数=COA，FDM=-COA=COM. AB为直径，CEAB，在RtCGM和RtEGM中，GM=GM，CG=EG，RtCGMRtEGM，GMC=GME，FDMCOM. 说明：本题的第（3）小题是在第（2）小题改变条件的情况下，探求结论是否还成立. 在探求时应寻着（2）的解题思路来进行. 三、解题策略开放题 解题策略开放题，现在更多的是以要求解题者设计解题方案来设计题目. 例7 一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含300的直角三角形组成，利用这副三角板构成一个含150角的方法很多，请你画出其中两种不同构成的示意图，并在图上作出必要的标注，不写作法.（2000年荆州市中考题）ABCDEFG图7.7.1图7.7.1分析：本题可利用这副三角板中的角做“加减运算”：600-450，或450-300，或600+450-900等来得到150的角.解：如图所示. 图7.7.1中就包含有两中构造方法，ABD和ACD都等于；图7.7.2中，EFG=. 请同学们试着拼出其它的图形.说明：这类拼图组合，给出了一定的条件，但解决问题的办法需要我们自己来寻找. 通常解决这类问题的方法不惟一. 用现有的工具去解决问题，这在实际生产和生活中常会遇到.例8 如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形.请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法仿照图1按实际大小画在方格纸内（方格为1cm1cm）.图7.8（1）不是正方形的菱形（一个）；（2）不是正方形的矩形（一个）；（3）梯形（一个）；（4）不是矩形和菱形的平行四边形（一个）；（5）不是梯形和平行四边形的凸四边形（一个）；（6）与以上画出的图形不全等的其他凸四边形（画出的图互不全等，能画出几个画几个，至少画三个）. （2001年徐州市中考题）解：（1） （2） （3）（4）（5） （6） 说明：本例是一道设计图形的开放性试题，这类题近几年在全国各地的中考试题中经常出现.设计型开放题，有利于培养学生的发散性思维能力，有利于充分发挥学生的想象力和创造力，这对培养学生的创新意识和创新精神具有着积极的作用，例9 有一种“二十四点”游戏，其规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24.例如对1，2，3，4，可以运算得（123）424（注意上述运算与4（123）应视作相同方法的运算）.现有四个有理数3，4，6，10，用上述规则写出三种不同方法的算式，使其结果等于24，运算如下：（1）_；（2）_；（3）_.另有四个有理数3，5，7，13，可通过运算式（4）_，使其结果等于24. （2001年杭州市中考题）分析：“二十四点”游戏，小学生也可参加. 本题将数的范围扩大到整数范围，变成新的游戏，其实就是有理数的运算.本题具有开放性，答案是不唯一的.解：（1）34（6）1024；（2）4（6）31024；（3）（104）3（6）24. （4）（5）（13）7324.说明：本题将有理数的运算与学生熟知的游戏结合起来，使数学学习更具趣味性.四、题目结构开放题以看作是一个条件开放题.例10 某一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为45千米/时，运货汽车的速度为35千米/时， ？”（涂黑部分表示被墨水覆盖的若干文字）请将这道作业题补充完整，并列方程解答.（2001年吉林省中考题）分析：这里“距离”和“速度”都有了，故我们可以考虑从时间上去把本题补完整.解一：摩托车和运货汽车同时从甲地驶向乙地，则摩托车比运货汽车早到几分钟？设摩托车比运货汽车早到x分钟，则，x=.答：摩托车比运货汽车早到分钟.解二：摩托车和运货汽车分别从甲地和乙地同时相向而行，则几分钟后它们相遇？设摩托车与运货汽车出发x分钟后相遇，则（45+35）= 40，x=30.答：摩托车与运货汽车出发30分钟后相遇.解三：运货汽车从甲地出发10分钟后，摩托车从甲地出发去追赶运货汽车，问在到达乙地前，摩托车能否追上运货汽车？运货汽车走完全程需小时，摩托车走完全程需小时，摩托车比运货汽车少用小时.，摩托车在运货汽车到达乙地前能追上.解四：摩托车和运货汽车分别从甲、乙两地沿由甲地往乙地的方向同向而行，问经过几小时摩托车可追上运货汽车？设经过x小时摩托车可追上运货汽车，则45x=40+35x，解得x=4. 答：经过4小时摩托车可追上运货汽车. 说明：由于行程问题是大家比较熟悉的应用问题，所以我们还可以编出很多这样的问题来，同学们不妨试试.习题七一、填空题1（1）写出和为6的两个无理数_.（2003年绍兴市中考题）（2）若关于x的方程x2+kx-12=0的两根均是整数，则k的值可以是_.（只要求写出两个） （2001年浙江省中考题）2如图，在ABC中，以AB为直径的O交BC于点D，连结AD，请你添加一个条件，使ABDACD，并说明全等的理由. 你添加的条件是_.（2002年金华市中考题）二、解答题图1 图2 图3 图4第3题3.做一做:用四块如图1的瓷砖聘成一个正方形,使拼成的图案成轴对称图形.请你在图2、图3图4中各画出一种拼法（要求三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）. （2003年无锡市中考题）4先根据要求编写应用题，再解答你所编写的应用题. 编写要求：（1）编写一道行程问题的应用题，使得根据题意列出的方程为；（2）所编应用题完整，题意清楚，联系生活实际且解符合实际. （2001年青岛市中考题）5同学们知道：只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等.你如何处理和安排这三个条件，使这两个三角形全等.请你仿照方案（1），写出方案（2）、（3）、（4）.解：设有两边和一角对应相等的两个三角形.ABPTOO1第6题方案（1）：若这角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等.（2000年广东省中考题）6如图，O与O1完外切于点T，PT为其内公切线，AB为其外公切线，A、B为切点，AB与TP相交于点P，根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证明.（2001年杭州市中考题）ABDCE第7题7如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，给出5个论断：CDAB；BEAC；AE=CE；ABE=；CD=BE. （1）如果论断都成立，那么论断一定成立吗？答：_;（2）从论断中选取3个作为条件，将论断作为结论，BACDEF第8题组成一个真命题，那么你选的3个论断是_（只需填论断的序号）；（3）用（2）中你选的3个论断作为条件，论断作为结论，组成一道证明题，画出图形，写出已知、求证，并加以证明. （2003年徐州市中考题）8如图，AB=AE，ABC=AED，BC=ED，点F是CD的中点. （1）求证：AFCD；（2）在你连接BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个（不要求证明）. （2002年江西省中考题）9已知在直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，以AB为一边的等腰ABC的底角为300，请在坐标系中画出ABC，并求出点C的坐标. （2000年北京市崇文区中考题）ABCMN第10题10如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，A=. （1）求ACM的度数；（2）在MN上是否存在点D，使ABCD=ACBC？为什么？（2001年广州市中考题）参考答案：1. （1）和6-（有无数多个）（2） 1,-1(或4，-4；或11，-11) 2答案不唯一. 添加的条件可以是：AB=AC；B=C；BD=DC（或D是BC中点）；BAD=CAD（或AD平分BAC）等. 3略. 4所编应用题符合编写要求. 正确设未知数、列方程，正确求出方程的解. 5方案（2）：若这角是直角，则这两个三角形全等.方案（3）：在两个钝角三角形中，有两边和一角对应相等的两个三角形.方案（4）：在两个锐角三角形中，有两边和一角对应相等的两个三角形.ACBDEF第7题6AB=2PT. 证明略. 7（1）一定. （2）、. （3）已知，如图，在ABCD、E分别在AB、AC上，CDAB，AE=CE，ABE=3. 求证：CD=BE. 证明：作EFCD交AB于F. AE=CE，AF=FD，CD=2EF. CDAB，EFAB. 在RtEFB中，EFB=，