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关于弹性碰撞的反思吴爱俊（南京师范大学附属扬子中学）物体间的一维弹性碰撞过程同时满足动量守恒定律和能量守恒定律，那么这种规律是否具有普遍性，在其中是否还有什么特别之处，这种规律在同类过程中能否使用呢？那么我们来看一下它的推导过程。如图1，由动量守恒定律和能量守恒定律得：m1v1 + m2v2 = m1v1 + m2v2 m1v12 + m2v22 = m1v12 + m2v22 联解以上两个方程得两组解：v11 = v1、v21 = v2 或=,= 从实际意义可知：、两式分别表示碰撞前后两个物体的速度。从 式可知，如果 = 0，能得到：=,=再进一步可从二者的质量大小关系及实际结合推导。可得出质量不同时二者碰后的速度方向可能性与大小的取值范围。即：结论一：若被碰球最初静止：当入射球的质量大于被碰球的质量时，入射球运动速度变小，但方向不变。而被碰球的速度满足：；当入射球的质量小于被碰球的质量时，入射球的运动方向将反向。由 式可知，如果两个物体的质量相等，能得到：=，=即：结论二：相等质量的物体在弹性碰撞前后二者相互交换速度矢量。当二物体压缩最大时，速度相同，令为，由动量守恒定律可得：m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)v 故v = (m1v1 + m2v2)/( m1 + m2) 由得：v = (v11 + v12)/2 = (v21 + v22)/2 结论三：发生弹性碰撞前后，同一物体的速度平均等于系统内的物体能达到的相同速度。由实际情况分析可知，当物体间压缩最大时弹性势能最大，对应系统的总动能最小。其减小量为 =+-(+) 由得：=/(+)结论四：弹性碰撞物体间压缩形变最大时总动能减少最多，即发生弹性碰撞的物体的速度从不同到相同过程，总动能减小。其减小量满足=/(+)以下就结论三与四举例说明其应用.例1 在光滑的水平地面上有两个相同的弹性小球A、B，质量都为 m，现B球静止，A球向B球运动，发生正碰。已知在碰撞过程中总机械能守恒。两球压缩最紧时弹性势能为EP，则碰前A球的速度等于 （ ）A B C D.分析：此过程属于合二为一的过程，由结论四可得=，故选C。例2 如图2所示，质量分别为 m1和 m2的小车A和B放在水平面上，小车A的右端连着一水平轻弹簧，处于静止。小车B从右面以某一初速度驶来，与轻弹簧相碰，之后，小车A获得的最大速度为V，如果不计摩擦，也不计相互作用过程中的机械能的损失，求小车B的初速度大小v0。分析：此过程两车通过弹簧相互作用，同样满足动量守恒定律和能量守恒定律。由分析可知，当弹簧再次恢复为自然长度时A的速度达最大，由结论三得A、B能达到的相同速度v与A在作用前、后的速度间满足v = V/2，结合m2v0 = (m1 + m2)v，得v0 =( m1 + m2) V/2。例3 如图3，A、B、C三物块质量均为 m，置于光滑水平面上，B、C间夹有已完全压紧不能再压缩的弹簧，两物块用细绳相连，使弹簧不能伸展，物块A以速度v0沿B、C连线方向向B运动，相碰后，A和B、C粘合在一起，然后连接B、C的细绳因受扰动而突然断开，弹簧伸展从而使C与A、B分离，脱离弹簧后C的速度为v0。求弹簧所释放的势能。分析：由题意可知分离时A、B的速度相同，令为vAB，对三者组成的系统，在全过程中由动量守恒定律可得mv0 = 2mvAB + m v0，又由于A、B与C的分离属于一分为二的过程，是合二为一的过程的逆过程，同样由结论四可得：=。例4 一轻质弹簧，两端连接两滑块A和B，已知mA = 0.99kh，mB = 3kg，静止放在光滑水平桌面上，开始时弹簧处于原长。现滑块A被水平飞来的质量mC = 10g，速度v0 = 400m/s的子弹击中，且没有穿出，如图4所示，试求： 以后运动过程中弹簧的最大弹性势能； A在运动过程中能达到的最小速度和B能达到的最大速度。分析：C、A结成整体时速度相同，令为vA，由动量守恒定律得mC v0 = (mA + mC) vA，故vA = 4m/s，此时vB = 0，A、C与B作用,由结论四可得最大弹性势能E= = 6J，当弹性势能最大时，三者速度相同，令为v，由三者组成的系统满足动量守恒定律，mC v0 = (mA + mC + mB) v，故v = 1m/s，当弹簧第一次恢复原长时，弹簧对B无向右的弹力，此时B的速度有最大值vB，由结论三得vB = 2v - vB = 2m/s，此时A的速度vA = 2v - vA = - 2m/s；说明A的运动已经反向，故A的速度在此之前已达最小值0。例5 如图5所示，长木板质量为M，长l，位于光滑水平地面上，以速率v1向左运动。质量为 m的小木块从左侧以某一速率v0冲上长木板且没有滑下来，已知长木板与小木块之间的动摩擦因数为，求小木块的初速v0。分析：