二次型的矩阵表示.doc

羂莃蚈螃肅薈薄螂膇莁蒀螁艿膄衿螀聿荿螅蝿膁节蚁螈芄蒈薇螇羃芀蒃螇肆蒆螁袆膈艿蚇袅芀蒄薃袄羀芇葿袃膂薃蒅袂芄莅螄袁羄薁蚀袁肆莄薆袀腿蕿蒂罿芁莂螁羈羁膅蚇羇肃莀蚃羆芅膃蕿羆羅蒈蒅羅肇芁螃羄膀蒇虿羃节芀薅肂羂蒅蒁肁肄芈螀肀膆蒃螆肀莈芆蚂聿肈薂薈蚅膀莄蒄蚄芃薀螂蚃羂莃蚈螃肅薈薄螂膇莁蒀螁艿膄衿螀聿荿螅蝿膁节蚁螈芄蒈薇螇羃芀蒃螇肆蒆螁袆膈艿蚇袅芀蒄薃袄羀芇葿袃膂薃蒅袂芄莅螄袁羄薁蚀袁肆莄薆袀腿蕿蒂罿芁莂螁羈羁膅蚇羇肃莀蚃羆芅膃蕿羆羅蒈蒅羅肇芁螃羄膀蒇虿羃节芀薅肂羂蒅蒁肁肄芈螀肀膆蒃螆肀莈芆蚂聿肈薂薈蚅膀莄蒄蚄芃薀螂蚃羂莃蚈螃肅薈薄螂膇莁蒀螁艿膄衿螀聿荿螅蝿膁节蚁螈芄蒈薇螇羃芀蒃螇肆蒆螁袆膈艿蚇袅芀蒄薃袄羀芇葿袃膂薃蒅袂芄莅螄袁羄薁蚀袁肆莄薆袀腿蕿蒂罿芁莂螁羈羁膅蚇羇肃莀蚃羆芅膃蕿羆羅蒈蒅羅肇芁螃羄膀蒇虿羃节芀薅肂羂蒅蒁肁肄芈螀肀膆蒃螆肀莈芆蚂聿肈薂薈蚅膀莄蒄蚄芃薀螂蚃羂莃蚈螃肅薈薄螂膇莁蒀螁艿膄衿螀聿荿螅蝿膁节蚁螈芄蒈薇螇羃芀蒃螇肆蒆螁 第五章 二次型1 二次型的矩阵表示分析：一个系数在数域P中的含有n个变量的二次齐次多项式称为数域P上的一个n元二次型或简称二次型。只含平方项的二次型称为二次型的标准形。本章主要解决：n元二次型二次型的标准形并讨论标准形的系数中几个大于零，几个小于零，且数目是否不变及正定二次型的条件等。 定义1 设是两组文字，系数在域P中的一组关系式：称为由到的一个线性替换。令，则。若，则线性替换称为非退化的。分析：设二次型经过一个非退化的线性替换，则。由于，即。所以，系数矩阵经一次非退化的线性替换，系数矩阵依然是对称的。关于它们之间的关系，可引入一定义。定义2 域P上nn 矩阵A、B称为合同的，如果有数域P上可逆的nn矩阵C，使。合同关系具有1）反身性；2）对称性；3）传递性，故合同关系是等价关系。分析：，矩阵A与B是合同的，且C可逆，故有Y=C-1X，则。即所谓的新的二次型可以还原，故可从所得的新的二次型的性质，推知原来二次型的一些性质。下面就将讨论如何将二次型经非退化的线性替换，化简为标准形。2 标准形现介绍用拉格朗日配方法将二次型化简为标准形。定理1 数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成标准形。分析定理1即说：， （C可逆），使=。即，即对称矩阵合同于对角矩阵。定理1解决了二次型标准形的求法（配方法、矩阵法）但太复杂与麻烦，现介绍另一种方法：（初等变换法）A对解形矩阵B。由于C可逆，故C可表示为若干个初等矩阵的乘积，故设（为初等矩阵），故有=。由于左乘行变换，右乘列变换，且与是同一个初等矩阵，故A可通过对相同的行与列的初等变换得到，称A为A的合同变换。由上分析可知，一系列合同变换必可将对称矩阵A化为对角矩阵，与此同时，对n阶单位矩阵E，只进行相应的列变换（行变换）则E化为C（）。由此，或（AE）对A进行合同变换，对E施行列（行）变换，故有，。3 唯一性分析：A与B合同，则可逆阵C，使，则 ，即合同的矩阵有相同的秩。即二次型矩阵在经非退化线性替换后，其秩不变。由于二次型矩阵与二次型是互为决定的，故矩阵的秩亦称为二次型的秩。又由于任一对称矩阵与对角矩阵合同，而对角矩阵的秩等于它对角线上不为零的元素的个数。故由上综合分析知，在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的。但标准形中的系数是不唯一确定的，而是与所作的非退化线性替换有关。如，令，则。但若令，则。可见替换不同，系数可能不同。在实数域上，系数正负的个数是唯一确定的惯性定理本节需重点介绍和证明的。定义3 在实二次型的规范形中，正平方项的个数P称为正惯性指数，负平方项的个数称为负惯性指数，它们的差称为符号差。分析：（1）二次型矩阵的秩唯一； （2）标准形不唯一； （3）复或实数域上的二次型的规范形唯一。或说实系数二次型的正、负惯性指数唯一。 （4）两个n元实二次型等价的充要条件是它们有相同的秩及正惯性指数。4 正定二次型定义4 若对任意恒有，则实二次型称为正定二次型，正定二次型的矩阵A称为正定矩阵。例 仅当所有n个系数时，才正定 。设为实二次型，作非退化线性替换，则。若为正定二次型，则若，由于（没有非零解），则，则，即亦正定。若正定，则有，则0，即正定，所以非退化的线性替换不改变实二次型的正定。又由惯性定理可知：任一实二次型均可经非退化的线性替换化成规范形，所以n 元实二次型是正定的充要条件是它的正惯性指数为n，或说它的规范形为或说实对称矩阵正定的充要条件为它与单位矩阵合同，即使，则。以上即为定理5及其推论。定理5 n元实二次型是正定的它的正惯性指数为n。推论 正定矩阵的行列式大于零。分析：但行列式大于零的实对称矩阵不一定正定。如：不正定，但。是否可以让推论加强条件使其逆成立？定义6 ,称为矩阵的顺序主子式。定理6 实二次型是正定的矩阵A的顺序主子式全大于零。分析：定理5、定理6及推论可有如下等价关系。设A为n级实对称方阵，则以下命题等价：1）A是正定的。2）A与单位矩阵合同（即正惯性指数P=n）3），其中为可逆矩阵。4）A的n个顺序主子式均为正数。5）A的所有主子式均为正数。每个主子式均可经对换矩阵的合同变换变为顺序主子式，而合同变换不改变A的正定性。例：判别二次型是否正定。与正定性平行，还有如下的概念：定义7 设是一实二次型，若对任意，恒有，称负定的；恒有，称为半正定的；恒有，称为半负定的。若既不是半正定又不是半负定的，称为不定的。分析：由于二次型负定-正定，故也可列出如下的等价关系。设A为n阶实对称矩阵，则以下命题等价：1）A是负定的。2）A与-E合同（即负惯性指数）。3），其中为可逆矩阵。4）A的一切奇数阶顺序主子式为负，一切偶数阶顺序主子式为正。关于半正定性，亦有如下等价关系。设A为n阶实对称矩阵，则以下命题等价：1）A是半正定的。2）它的正惯性指数与秩相等。3）有实矩阵C使。可逆矩阵P 使 ，其中，则。令，则。4）A的所有主子式皆大于或等于零（顺序主子式大于或等于零，不能保证半正定性）。如顺序主子式等于零，但半负定。同理可有半负定的等价关系。设A为n阶实对称方阵，则以下命题等价：1）A半负定的。2）它的负惯性指数与秩相等。3）有可逆矩阵C，使，其中。4）有实矩阵C使。5）A的所有主子式皆小于或等于零。 芈薁蚁肀芈蚃袇羆芇莂蚀羂芆薅羅袈芅蚇螈膇芄莇羃肃芃葿螆罿节薁羂袅莂蚄螅膃莁莃薇聿莀薆螃肅荿蚈蚆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莆薂衿肂蒆蚅蚂羈蒅莄袈袄蒄蒆蚁膂蒃虿袆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅羃膅肆莅螅肁膅蒇羁羇膄薀螄袃膄螂薇节膃蒂袂膈膂薄蚅肄膁蚆袀罿膀莆蚃袅腿蒈衿膄芈薁蚁肀芈蚃袇羆芇莂蚀羂芆薅羅袈芅蚇螈膇芄莇羃肃芃葿螆罿节薁羂袅莂蚄螅膃莁莃薇聿莀薆螃肅荿蚈蚆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莆薂衿肂蒆蚅蚂羈蒅莄袈袄蒄蒆蚁膂蒃虿袆膈蒂螁蝿肄蒁蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅羃膅肆莅螅肁膅蒇羁羇膄薀螄袃膄螂薇节膃蒂袂膈膂薄蚅肄膁蚆袀罿膀莆蚃袅腿蒈衿膄芈薁蚁肀芈蚃袇羆芇莂蚀羂芆