2019版高考数学第2章函数概念与基本初等函数2第2讲函数的单调性与最值教案.docx

第2讲函数的单调性与最值1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数yf(x)的单调区间2函数的最值与值域(1)最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值(2)值域函数的值域是函数在定义域内对应的函数值的取值范围，其求解关键是确定相应的最值因此，求解函数的值域时要求出定义域内的所有极值和端点处的函数值，并进行比较，得到函数的最值常见函数的值域一次函数的值域为R；二次函数利用配方法，结合定义域求出值域；反比例函数的值域为yR|y0；指数函数的值域是y|y0；对数函数的值域是R；正、余弦函数的值域是1，1，正切函数的值域是R. 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(1) Bm Dm解析：选B.使y(2m1)xb在R上是减函数，则2m10，即m. (教材习题改编)函数f(x)x22x，x 2，4的单调递增区间为_，f(x)max_解析：函数f(x)的对称轴为x1，单调增区间为1，4，f(x)maxf(2)f(4)8.答案：1，48 设定义在1，7上的函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的增区间为_解析：由图可知函数的单调递增区间为1，1和5，7答案：1，1，5，7确定函数的单调性(区间) 典例引领 (1)试讨论函数f(x)(a0)在(1，1)上的单调性；(2)求函数f(x)x22|x|1的单调区间【解】(1)(定义法)设1x1x21，f(x)aa，f(x1)f(x2)aa，由于1x1x21，所以x2x10，x110，x210，故当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1，1)上单调递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1，1)上单调递增(2)(图象法)f(x)画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(，1和0，1，单调递减区间为1，0和1，) 若将本例(2)中函数变为f(x)|x22x1|，如何求解？解：函数y|x22x1|的图象如图所示由图象可知，函数y|x22x1|的单调递增区间为(1，1)和(1，)；单调递减区间为(，1)和(1，1)提醒对于函数yf(x)的单调性可以利用口诀“同增异减”来判断，即内外函数的单调性相同时为增函数；单调性不同时为减函数通关练习1判断函数y的单调性解：因为f(x)2x，且函数的定义域为(，0)(0，)，而函数y2x和y在区间(，0)上均为增函数，根据单调函数的运算性质，可得f(x)2x在区间(，0)上为增函数同理，可得f(x)2x在区间(0，)上也是增函数故函数f(x)在区间(，0)和(0，)上均为增函数2作出函数y|x21|x的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间解：当x1或x1时，yx2x1；当1x0时，f(x)x24，当且仅当x2时取等号；当x0时，f(x)2xa(a，1a，因此要使f(x)有最小值，则必须有a4，故选B.(2)法一(换元法)：令t，且t0，则xt21，所以原函数变为yt21t，t0.配方得y，又因为t0，所以y1，故函数yx的最小值为1.法二：因为函数yx和y在定义域内均为增函数，故函数yx在1，)内为增函数，所以ymin1.【答案】 (1)B(2)1求函数最值的五种常用方法通关练习1函数f(x)在2，0上的最大值与最小值之差为()ABCD1解析：选B.易知f(x)在2，0上是减函数，所以f(x)maxf(x)minf(2)f(0)(2)，故选B.2函数f(x)|x1|x2的值域为_解析：因为f(x)|x1|x2，所以f(x)作出函数图象如图，由图象知f(x)|x1|x2的值域为.答案：函数单调性的应用(高频考点)函数单调性结合函数的图象以及函数其他性质的应用已成为近几年高考命题的一个新的增长点，常以选择、填空题的形式出现高考对函数单调性的考查主要有以下三个命题角度：(1)比较两个函数值或两个自变量的大小；(2)解函数不等式；(3)求参数的值或取值范围典例引领角度一比较两个函数值或两个自变量的大小已知函数f(x)的图象关于直线x1对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)abBcbaCacbDbac【解析】 因为f(x)的图象关于直线x1对称由此可得ff.由x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，知f(x)在(1，)上单调递减因为12ff(e)，所以bac.【答案】 D角度二解函数不等式(2016高考天津卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增若实数a满足f(2|a1|)f()，则a的取值范围是()A(，)B(，)(，)C(，)D(，)【解析】 由f(x)是偶函数得f()f()，再由偶函数在对称区间上单调性相反，得f(x)在(0，)上单调递减，所以由2|a1|，得|a1|，即a.【答案】 C角度三求参数的值或取值范围设函数f(x)若函数yf(x)在区间(a，a1)上单调递增，则实数a的取值范围是()A(，1B1，4C4，)D(，14，)【解析】 作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a1)上单调递增，需满足a4或a12，即a1或a4，故选D.【答案】 D利用函数单调性求解四种题型 通关练习1已知f(x)满足对任意x1x2，都有0成立，那么a的取值范围是()A(1，2) B.C. D.解析：选C.由已知条件得f(x)为增函数，所以解得a2，所以a的取值范围是.故选C.2(2018甘肃肃南调研)已知函数f(x)ln x2x，若f(x24)2，则实数x的取值范围是_解析：因为函数f(x)ln x2x在定义域上单调递增，且f(1)ln 122，所以由f(x24)2得，f(x24)f(1)，所以0x241，解得x2或2x0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k0)在公共定义域内与yf(x)，y的单调性相反(4)函数yf(x)(f(x)0)在公共定义域内与y的单调性相同 函数最值的有关结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)(3)函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在(4)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间上端点值就是函数的最值 易错防范(1)区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集(2)函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“”例如，函数f(x)在区间(1，0)上是减函数，在(0，1)上是减函数，但在(1，0)(0，1)上却不一定是减函数，如函数f(x).(3)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：对变量所在区间的讨论；保证各段上同增(减)时，要注意端点值间的大小关系；弄清最终结果是取并集还是取交集 1下列四个函数中，在(0，)上为增函数的是()Af(x)3xBf(x)x23xCf(x)Df(x)|x|解析：选C.当x0时，f(x)3x为减函数；当x时，f(x)x23x为减函数，当x时，f(x)x23x为增函数；当x(0，)时，f(x)为增函数；当x(0，)时，f(x)|x|为减函数2函数f(x)|x2|x的单调减区间是()A1，2B1，0C0，2D2，)解析：选A.由于f(x)|x2|x结合图象可知函数的单调减区间是1，23“a2”是“函数f(x)x23ax2在区间(，2内单调递减”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选D.若函数f(x)x23ax2在区间(，2内单调递减，则有2，即a，所以“a2”是“函数f(x)x23ax2在区间(，2内单调递减”的既不充分也不必要条件4定义新运算“”：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2，2的最大值等于()A1B1C6D12解析：选C.由已知得，当2x1时，f(x)x2；当1g(1)，则x的取值范围是()A(0，10)B(10，)C D(10，)解析：选C.因为g(lg x)g(1)，g(x)f(|x|)，所以f(|lg x|)f(1)，所以f(|lg x|)f(1)又因为f(x)在0，)上是增函数，所以|lg x|1，所以1lg x1，所以xf(a3)，则实数a的取值范围为_解析：由已知可得解得3a3，所以实数a的取值范围为(3，1)(3，)答案：(3，1)(3，)8若函数f(x)(a0且a1)在R上单调递减，则实数a的取值范围是_解析：因为函数f(x)(a0且a1)在R上单调递减，则a0，x0)(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值解：(1)证明：设x2x10，则x2x10，x1x20，因为f(x2)f(x1)0，所以f(x2)f(x1)，所以f(x)在(0，)上是增函数(2)因为f(x)在上的值域是，又由(1)得f(x)在上是单调增函数，所以f()，f(2)2，易知a.10已知f(x)(xa)(1)若a2，试证明f(x)在(，2)内单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，)内单调递减，求a的取值范围解：(1)证明：任设x1x20，x1x20，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在(，2)内单调递增(2)任设1x10，x2x10，所以要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，所以a1.综上所述知0a1.1(2018石家庄市教学质量检测(一)已知函数f(x)，则f(f(x)2的解集为()A(1ln 2，)B(，1ln 2)C(1ln 2，1)D(1，1ln 2)解析：选B.因为当x1时，f(x)x3x2，当x1时，f(x)2ex12，所以f(f(x)2等价于f(x)1，即2ex11，解得x1ln 2，所以f(f(x)f(x)，则实数x的取值范围是_解析：函数yx3在(，0上是增函数，函数yln(x1)在(0，)上是增函数，且x0时，ln(x1)0，所以f(x)在R上是增函数，由f(2x2)f(x)，得2x2x，解得2x0)，F(x)若f(1)0，且对任意实数x均有f(x)0成立(1)求F(x)的表达式；(2)当x2，2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求k的取值范围解：(1)因为f(1)0，所以ab10，所以ba1，所以f(x)ax2(a1)x1.因为对任意实数x均有f(x)0恒成立，所以所以所以a1，从而b2，所以f(x)x22x1，所以F(x)(2)g(x)x22x1kxx2(2k)x1.因为g(x)在2，2上是单调函数，所以2或2，解得k2或k6.故k的取值范围是(，26，) .6已知函数f(x)lg(x2)，其中a是大于0的常数(1