高一数学《1.1.1任意角》.doc

1.11 任意角教学目标（一） 知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念.（二） 过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写（三） 情感与态度目标1 提高学生的推理能力；2培养学生应用意识教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写教学难点终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写教学过程一、引入：1回顾角的定义角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形二、新课：1角的有关概念：角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形始边终边顶点AOB角的名称：角的分类：负角：按顺时针方向旋转形成的角 正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角注意：在不引起混淆的情况下，“角 ”或“ ”可以简化成“ ”；零角的终边与始边重合，如果是零角 =0；角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角练习：请说出角、各是多少度?2象限角的概念：定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角例1如图中的角分别属于第几象限角？B1yOx45B2OxB3y3060o例2在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角 60； 120； 240； 300； 420； 480；答：分别为1、2、3、4、1、2象限角3探究：教材P3面终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同在内，可构成一个集合S | = + k360 ，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整个周角的和注意： kZ 是任一角； 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同终边相同的角有无限个，它们相差360的整数倍； 角 + k720 与角终边相同，但不能表示与角终边相同的所有角例3在0到360范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角120；640 ；95012答：240,第三象限角；280,第四象限角；12948,第二象限角；例4写出终边在y轴上的角的集合(用0到360的角表示) 解: | = 90+ n180,nZ例5写出终边在上的角的集合S,并把S中适合不等式360720的元素写出来4课堂小结角的定义；角的分类：负角：按顺时针方向旋转形成的角 正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角象限角；终边相同的角的表示法5课后作业：教材P5练习第1-5题；教材P.9习题1.1第1、2、3题思考题：已知角是第三象限角，则2，各是第几象限角？解：角属于第三象限， k360+180k360+270(kZ)因此，2k360+36022k360+540(kZ)即(2k +1)3602(2k +1)360+180(kZ)故2是第一、二象限或终边在y轴的非负半轴上的角又k180+90k180+135(kZ) 当k为偶数时，令k=2n(nZ)，则n360+90n360+135(nZ) ，此时，属于第二象限角当k为奇数时，令k=2n+1 (nZ)，则n360+270n360+315(nZ) ，此时，属于第四象限角因此属于第二或第四象限角1.1.2 弧度制教学目的：1、 了解弧度概念及用弧度度量角的方法。2、 掌握弧度与角度的换算关系，能进行弧度与角度的互化（可借助计算器）。重点：了解弧度的概念，掌握弧度与角度的换算关系，进行二者之间的互化。难点：弧度的概念教学过程：1、 创设故事情境一个生病的小男孩得知自己的体温是“102”时，十分忧伤地独自一个人躺在床上“等死”。而他的爸爸对此却一无所知，他以为儿子是想休息，所以才没有陪伴他，等他从外面打猎回来，发现儿子还不见好转时，才发现儿子没有吃药。一问才知道，他儿子在学校里听同学说一个人的体温是“44”度时就不能活。当他爸爸告诉他就像英里和千米一样，有两种不同的体温测量标准，一种37度是正常，而另一种98度是正常时，他才一下子放松下来，委屈的泪水哗哗地流了下来。在生活、生产和科学研究中，一个量可以有几种不同的计量单位（可让学生说出如长度、面积、质量等一些量的不同计量单位），并指出对于“角”仅用“度”做单位就很不方便。因此，我们要学习角的另一种计量单位弧度。如此引入一新的名词“弧度”，一方面给学生打下一个认识基础，另一方面可以创设一种学习情境，以利于激发学生的求知欲。2、 新课学习回顾已知的角度制，将圆周分成了360份，其中每一份所对圆心角的度数就是。然后提出问题“拿”圆上不同的圆弧度量圆周时，得到的数值是否一样？那么“拿”圆的半径来度量圆周，结果会是什么呢？半径大小不同是否影响度量结果呢？能不能以圆上任意弧长来度量圆心角？（可介绍密位制）弧度的概念：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度（radian）的角，用符号rad表示，读作弧度。进一步探讨弧长、半径和圆心角之间的关系，学生独立完成书P6的探究。一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。师生共同探讨得到“弧度”与“度”的换算关系式。例1、 例2、引导学生完成换算，会用计算器换算。用特殊角的度与弧度的相互转换快速熟悉弧度度量角的结果。例3、 引导学生得出在弧度制下的弧长公式。最后可对弧度制与角度制作下比较。通过比较，让学生具体看到弧度制与角度制相比的诸多优点，应用起来将更加简便，同时指出，它对我们学习的意义还在于用它研究三角函数的方便，从而对“弧度制”进一步增加感性认识，提高学习兴趣。课堂小结：什么叫1弧度角? 任意角的弧度的定义“角度制”与“弧度制”的联系与区别课后作业：阅读教材P6 P8；教材P9练习第1、2、3、6题；教材P10面7、8题及B2、3题4-1.2.1任意角的三角函数（1）教学目的：知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角终边上一点，会求角的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。 德育目标： （1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。 教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来. 教学过程：一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？在RtABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。二、讲解新课： 1三角函数定义在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么（1）比值叫做的正弦，记作，即；（2）比值叫做的余弦，记作，即；（3）比值叫做的正切，记作，即；说明：的始边与轴的非负半轴重合，的终边没有表明一定是正角或负角，以及的大小，只表明与的终边相同的角所在的位置； 根据相似三角形的知识，对于确定的角，四个比值不以点在的终边上的位置的改变而改变大小；当时，的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以无意义；除以上两种情况外，对于确定的值，比值、分别是一个确定的实数，正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。函 数定 义 域值 域2三角函数的定义域、值域注意：(1)在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.(2) 是任意角，射线OP是角的终边，的各三角函数值（或是否有意义）与ox转了几圈，按什么方向旋转到OP的位置无关.(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积.其余五个符号也是这样.(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.3例题分析例1求下列各角的四个三角函数值： （通过本例总结特殊角的三角函数值）（1）； （2）； （3） 解：（1）因为当时，所以， ， ， （2）因为当时，所以， ， ， （3）因为当时，所以， ， 不存在， 例2已知角的终边经过点，求的四个函数值。解：因为，所以，于是； ； 例3已知角的终边过点，求的四个三角函数值。解：因为过点，所以， 当；当； 4三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。练习： 确定下列三角函数值的符号：（1）； （2）； （3）； （4）例4求证：若且，则角是第三象限角，反之也成立。5诱导公式由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：，其中，这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为02间角的三角函数值问题例5求下列三角函数的值：（1）， （2），四、小 结：本节课学习了以下内容：1任意角的三角函数的定义；2三角函数的定义域、值域；3三角函数的符号及诱导公式。五、巩固与练习1、教材P15面练习；2、作业P20面习题1A组第1、2、3（1）（2）（3）题及P21面第9题的（1）、（3）题。 4-1.2.1任意角的三角函数（2）教学目的：知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式； 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值； 3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。 能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。 德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神； 教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。 教学过程：一、复习引入：1. 三角函数的定义2. 诱导公式练习1. D练习2. B练习3. C2、 讲解新课： （引导学生一步步的想到用线段表示函数值，而这个线段又必须是有正负的，适当的引导，让学生觉得一切都理所当然。） 当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示三角函数线。1有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。有向线段：带有方向的线段。2三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.（）（）由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有， ，我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。说明：（1）三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。4例题分析：例1作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。（1）； （2）； （3）； （4）解：图略。例2. 例5. 利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围 答案：（1）；（2）；三、巩固与练习：P17面练习四、小 结：本节课学习了以下内容：1三角函数线的定义； 2会画任意角的三角函数线；3利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。五、课后作业： 作业4 4-1.2.2同角三角函数的基本关系教学目的：知识目标：1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。能力目标： 牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力；教学重点：同角三角函数的基本关系式教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用教学过程：一、复习引入：1任意角的三角函数定义：设角是一个任意角，终边上任意一点，它与原点的距离为，那么：， 2当角分别在不同的象限时，sin、cos、tg的符号分别是怎样的？3背景：如果，A为第一象限的角，如何求角A的其它三角函数值；4问题：由于的三角函数都是由x、y、r 表示的，则角的三个三角函数之间有什么关系？二、讲解新课： （一）同角三角函数的基本关系式：（板书课题：同角的三角函数的基本关系）1. 由三角函数的定义（也可从形的角度去看），我们可以得到以下关系：（1）商数关系： （2）平方关系：说明：（1）注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等；（2）对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：， ， 等。2例题分析：一、求值问题例1（1）已知，并且是第二象限角，求（2）已知，求解：（1）， 又是第二象限角， ，即有，从而， （2）， ，又， 在第二或三象限角。当在第二象限时，即有，从而，；当在第四象限时，即有，从而，总结：1. 已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。2. 解题时产生遗漏的主要原因是：没有确定好或不去确定角的终边位置；利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。例2已知为非零实数，用表示解：，即有，又为非零实数，为象限角。当在第一、四象限时，即有，从而， ；当在第二、三象限时，即有，从而， 例3、已知，求 解： 强调（指出）技巧：1 分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以,将分子、分母转化为的代数式；2 “化1法”可利用平方关系，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系化归为的分式求值；小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧妙的变形，二、化简练习1化简解：原式练习2三、证明恒等式例4求证：证法一：由题义知，所以左边=右边原式成立证法二：由题义知，所以又，证法三：由题义知，所以，总结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边； （2）证明左右两边同等于同一个式子；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。四、小 结：本节课学习了以下内容：1同角三角函数基本关系式及成立的条件；2根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；参考资料化简解：原式 思考1已知，求 解：1 由 由 联立： 2 2、已知 求解：sin2a + cos2a = 1 化简，整理得：当m = 0时，当m = 8时，13 三角函数的诱导公式（一）教学目标1、知识目标：（1）识记诱导公式。（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明。2、能力目标：（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法。（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式。（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力。3、情感目标：（1）通过诱导公式的推导，培养学生的创新意识和创新精神。（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯。三、过程分析（一）创设问题情景，引导学生观察、联想，导入课题I 重现已有相关知识，为学习新知识作铺垫。1、提问：试叙述三角函数定义2、提问1：试写出诱导公式（一）诱导公式（一）sin(k2+)=sin cos(k2+)=cos tan(k2+)=tan（kZ）3、提问2：试说出诱导公式的结构特征结构特征：终边相同的角的同一三角函数值相等把求任意角的三角函数值问题转化为求0360角的三角函数值问题。4、问题3：试求下列三角函数的值3002100（1）sin1110 （2）sin12906、引导学生观察演示（一），并思考下列问题一：演示（一）（1）210能否用（180+）的形式表达？（090（210=180+30）（2）210角的终边与30的终边关系如何？（互为反向延长线或关于原点对称）（3）设210、30角的终边分别交单位圆于点p、p，则点p与p的位置关系如何？（关于原点对称）（4）设点p（x，y），则点p怎样表示？ p（x,y）（5）sin210与sin30的值关系如何？7、师生共同分析：在求sin210的过程中，我们把210表示成（180+30）后，利用210与30角的终边及其与单位圆交点p与p关于原点对称，借助三角函数定义，把180270角的三角函数值转化为求090角的三角函数值。8、导入课题：对于任意角，sin与sin（180+）的关系如何呢？试说出你的猜想。（二）运用迁移规律，引导学生联想类比、归纳、推导公式（I）1、引导学生观察演示（二），并思考下列问题二：1800300180018001800设为任意角 演示（二）（1）角a与（180+a）的终边关系如何？（互为反向延长线或关于原点对称）（2）设a与（180+a）的终边分别交单位圆于p，p，则点p与p具有什么关系？ （关于原点对称）（3）设点p（x,y），那么点p坐标怎样表示？ p（x,y）（4）sina与sin（180+a）、cosa与cos（180+a）、tana与tan（180+a）关系如何？（5）经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗？其公式特征如何？2、教师针对学生思考中存在的问题，适时点拨、引导，师生共同归纳推导公式。（1）板书诱导公式（二）sin（180+）=sin cos（180+）=cos tan（180+）=tan（2）结构特征：函数名不变，符号看象限（把看作锐角时）把求（180+）的三角函数值转化为求的三角函数值。3、用相同的方法归纳出公式：sin（）=sin cos（）=cos tan（）=tan4、例1：求下列各三角函数值（可查表）cos225 tan（） sin5、引导学生观察演示（三），并思考下列问题三：300300演示（三）（1）30与（30）角的终边关系如何？ （关于x轴对称）（2）设30与（30）的终边分别交单位圆于点p、p，则点p与p的关系如何？（3）设点p（x,y），则点p的坐标怎样表示？ p(x,y)（4）sin（30）与sin30的值关系如何？6、师生共同分析：在求sin（30）值的过程中，我们利用（30）与30角的终边及其与单位圆交点p与p关于原点对称的关系，借助三角函数定义求sin（30）的值。（）导入新问题：对于任意角 sin与sin（）的关系如何呢？试说出你的猜想？1、引导学生观察演示（四），并思考下列问题四：O设为任意角 演示（四）（1）与（）角的终边位置关系如何？ （关于x轴对称）（2）设与（）角的终边分别交单位圆于点p、p，则点p与p位置关系如何？（关于x轴对称）（3）设点p(x,y)，那么点p的坐标怎样表示？ p(x,y)（4）sin与sin（）、 cos与cos、 tg与tg（）（）关系如何？（5）经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗？其公式结构特征如何？2、学生分组讨论，尝试推导公式，教师巡视及时反馈、矫正、讲评3、板书诱导公式（三）sin（）=sin cos（）=cos tan（）=tan结构特征：函数名不变，符号看象限（把看作锐角）把求（）的三角函数值转化为求的三角函数值4、例2：求下列各三角函数值（可查表） sin（） tan（210） cos（2040）（三）构建知识系统、掌握方法、强化能力四、课堂小结：（以填空形式让学生自己完成）1、诱导公式（一）、（二）、（三）sin（k2+）=sin cos（k2+）=cos tan（k2+）=tan(kZ)sin（+）=sin cos（+）=cos tan（+）=tansin()=sin cos()=cos tan()=tan2、公式的结构特征：函数名不变，符号看象限（把看作锐角时）13诱导公式（二）教学目标（一）知识与技能目标理解正弦、余弦的诱导公式培养学生化归、转化的能力（二）过程与能力目标（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明（三）情感与态度目标通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质教学重点掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式教学难点运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明教学过程一、复习：诱导公式（一）诱导公式（二）诱导公式（三）诱导公式（四）对于五组诱导公式的理解 ：这四组诱导公式可以概括为：总结为一句话：函数名不变，符号看象限练习1：P27面作业1、2、3、4。2：P25面的例2：化简二、新课讲授：1、诱导公式（五） 2、诱导公式（六） 总结为一句话：函数正变余，符号看象限例1将下列三角函数转化为锐角三角函数：练习3：求下列函数值：例2证明：（1）（2）例3化简： 解：小结：三角函数的简化过程图：公式一或二或四任意负角的三角函数任意正角的三角函数003600间角的三角函数00900间角的三角函数查表求值公式一或三三角函数的简化过程口诀：负化正，正化小，化到锐角就行了.练习4：教材P28页7三课堂小结熟记诱导公式五、六；公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限；运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数13诱导公式（三）教学目标（一）知识与技能目标理解正弦、余弦的诱导公式培养学生化归、转化的能力（二）过程与能力目标（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明（三）情感与态度目标通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质教学重点掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式教学难点运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明教学过程一、复习：诱导公式（一）诱导公式（二）诱导公式（三）诱导公式（四）sin(pa)=sina cos(p a)=cosa tan (pa)=tana诱导公式(五)诱导公式（六）二、新课讲授：练习1将下列三角函数转化为锐角三角函数：练习2：求下列函数值：例1证明：（1）（2）例2化简： 解：例4. 小结：三角函数的简化过程图：公式一或二或四任意负角的三角函数任意正角的三角函数003600间角的三角函数00900间角的三角函数查表求值公式一或三三角函数的简化过程口诀：负化正，正化小，化到锐角就行了.练习3：教材P28页7化简:例5. 三课堂小结熟记诱导公式五、六；公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限；运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数1.4.1正弦、余弦函数的图象教学目的：知识目标：（1）利用单位圆中的三角函数线作出的图象，明确图象的形状；（2）根据关系，作出的图象；（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题；能力目标：（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法；（2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法； 德育目标：通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神；教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象； 教学难点：作余弦函数的图象。 教学过程：一、复习引入：1 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。2.正、余弦函数定义：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离r()则比值叫做的正弦 记作： 比值叫做的余弦 记作： 3.正弦线、余弦线：设任意角的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有，向线段MP叫做角的正弦线，有向线段OM叫做角的余弦线二、讲解新课： 1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识（1）函数y=sinx的图象第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x值弧度制下角与实数的对应）.第二步：在单位圆中画出对应于角，,，2的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）. 第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x0，2的图象根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2，就得到y=sinx，xR的图象. 把角x的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象. （2）余弦函数y=cosx的图象 探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象？根据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移单位即得余弦函数y=cosx的图象. （课件第三页“平移曲线” ）正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？2用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x0，2的图象中，五个关键点是：(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)余弦函数y=cosx x0,2p的五个点关键是哪几个？(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以3、讲解范例：例1 作下列函数的简图(1)y=1+sinx，x0，2， （2）y=-COSx 探究2 如何利用y=sinx，0，的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到（1）y1sinx ,0，的图象；（2）y=sin(x- /3)的图象？小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。 探究如何利用y=cos x，0，的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y-cosx ，0，的图象？ 小结：这两个图像关于X轴对称。探究 如何利用y=cos x，0，的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y2-cosx ，0，的图象？小结：先作 y=cos x图象关于x轴对称的图形，得到 y-cosx的图象，再将y-cosx的图象向上平移2个单位，得到 y2-cosx 的图象。探究 不用作图，你能判断函数y=sin( x - 3/2 )和y=cosx的图象有何关系吗？请在同一坐标系中画出它们的简图，以验证你的猜想。小结：sin( x - 3/2 )= sin( x - 3/2 ) +2 =sin(x+/2)=cosx这两个函数相等，图象重合。例2分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合： 三、巩固与练习四、小 结：本节课学习了以下内容：1正弦、余弦曲线 几何画法和五点法 2注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)教学目的：知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。 德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。 教学重点：正、余弦函数的周期性教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用教学过程：一、复习引入：1问题：（1）今天是星期一，则过了七天是星期几？过了十四天呢？ （2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？2观察正（余）弦函数的图象总结规律：自变量函数值 正弦函数性质如下：（观察图象） 1 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；2 规律是：每隔2p重复出现一次（或者说每隔2kp,kZ重复出现）3 这个规律由诱导公式sin(2kp+x)=sinx可以说明结论：象这样一种函数叫做周期函数。文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；符号语言：当增加（）时，总有也即：（1）当自变量增加时，正弦函数的值又重复出现； （2）对于定义域内的任意，恒成立。余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。二、讲解新课： 1周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。问题：（1）对于函数，有，能否说是它的周期？（2）正弦函数，是不是周期函数，如果是，周期是多少？（，且）（3）若函数的周期为，则，也是的周期吗？为什么？ （是，其原因为：）2、说明：1周期函数x定义域M，则必有x+TM, 且若T0则定义域无上界；T0则定义域无下界； 2“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)） 3T往往是多值的（如y=sinx 2p,4p,-2p,-4p,都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y=sinx, y=cosx的最小正周期为2p （一般称为周期） 从图象上可以看出，；，的最小正周期为；判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （没有最小正周期）3、例题讲解 例1 求下列三角函数的周期： （3），解：（1），自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现， 所以，函数，的周期是（2），自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，所以，函数，的周期是（3），自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，所以，函数，的周期是练习1。求下列三角函数的周期：1 y=sin(x+) 2 y=cos2x 3 y=3sin(+)解：1 令z= x+ 而 sin(2p+z)=sinz 即：f (2p+z)=f (z)f (x+2)p+ =f (x+) 周期T=2p2令z=2x f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2p)=cos(2x+2p)=cos2(x+p)即：f (x+p)=f (x) T=p 3令z=+ 则：f (x)=3sinz=3sin(z+2p)=3sin(+2p)=3sin()=f (x+4p) T=4p 思考：从上例的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中的哪些量有关？说明：（1）一般结论：函数及函数，（其中 为常数，且，）的周期；（2）若，如：； ； ，则这三个函数的周期又是什么？一般结论：函数及函数，的周期思考： 求下列函数的周期： 1y=sin(2x+)+2cos(3x-) 2 y=|sinx| 解：1 y1=sin(2x+) 最小正周期T1=p y2=2cos(3x-) 最小正周期 T2=yxo1-1p2p3p-pT为T1 ,T2的最小公倍数2p T=2p 2 T=p 作图 三、巩固与练习P36面四、小 结：本节课学习了以下内容：周期函数的定义，周期，最小正周期1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二)教学目的：知识目标：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；能力目标：掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。 德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。 教学重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；教学难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用教学过程：一、 复习引入：偶函数、奇函数的定义，反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？二、讲解新课： 1. 奇偶性 请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？(1)余弦函数的图形当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。例如：f(-)=,f()= ,即f(-)=f()； 由于cos(x)=cosx f(-x)= f(x). 以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=cosx的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。 (2)正弦函数的图形观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。也就是说，如果点（x,y）是函数y=sin