2019届高考数学二轮复习第二篇通关攻略专题4立体几何考题预测.docx

2.4.3 用空间向量的方法解立体几何问题考题预测精准猜押一、选择题1.在正方体A1B1C1D1-ABCD中,AC与B1D所成角的大小为()A. B. C. D. 【解析】选D.以A点为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),C(1,1,0),B1(1,0,1),D(0,1,0).所以 =(1,1,0), =(-1,1,-1),因为 =1(-1)+11+0(-1)=0,所以 ,所以AC与B1D所成的角为 .2.如图,在一个60 的二面角的棱上有两个点A,B,线段AC,BD分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱AB,且AB=AC=a,BD=2a,则CD 的长为()A.2aB. aC.aD.3 a 【解析】选A.因为CAAB,BDAB,所以 = =0,因为=60,所以=120.因为 = + + ,所以 = + + +2 +2 +2 =a2+a2+4a2+0+2a2acos 120+0=4a2,所以| |=2a.3.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为()A.45B.135C.45或135D.90【解析】选A.cos=m路n|m|n| = = ,即=45.所以两平面所成二面角为45.4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为()A. B.25 C. D. 【解析】选C.由题意,以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设直三棱柱的棱长为2,则可得A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,2),N(1,0,2),所以 =(1,-1,2), =(-1,0,2).所以cos= =-1+412+(-1)2+22脳(-1)2+02+22 = = .二、填空题5.已知三棱锥ABCD中,ABCD,且AB与平面BCD成60角.当 的值取到最大值时,二面角A -CD -B的大小为_.【解析】过A作AO平面BCD,连接BO并延长交CD于E,连接AE,则BE是AB在底面BCD上的射影,则ABE=60,因为ABCD,AOCD,ABAO=A,所以CD平面ABE,所以AECD,则AEB是二面角A-CD-B的平面角,则 = =BEAE ,要使 的值取到最大值,则BEAE 取得最大值,由正弦定理得BEAE = ,所以当sinBAE取得最大值,即当BAE=90时取最大值,此时AEB=30.答案:306.如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,点M,N分别在AB1,BC1上,且AM= AB1,BN=13 BC1,则下列结论:AA1MN;A1C1MN;MN平面A1B1C1D1;BD1MN.其中正确命题的序号是_.(写出所有正确命题的序号)【解析】建立以D为坐标原点,DC,DA,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系.令正方体的棱长为3,可得D(0,0,0),A(0,3,0),A1(0,3,3),C1(3,0,3),D1(0,0,3),B(3,3,0),M(1,3,1),N(3,2,1).中, =(0,0,3), =(2,-1,0),因为 =0,所以正确;中, =(3,-3,0),与 不成线性关系,所以错;中,易知平面A1B1C1D1的一个法向量为 =(0,0,3),而 =0,且MN平面A1B1C1D1,所以正确;中, =(-3,-3,3),因为 0,所以错误.答案:三、解答题7.如图,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,ACBC,D为PC的中点,E为AD的中点,点F在线段PB上,PA=AC=4,BC=2.(1)求证:AD平面PBC.(2)若PFPB =34 ,求证:EF平面ABC.(3)求PE与平面ADB所成角的正弦值.【解析】(1)因为PA平面ABC,BC平面ABC,所以PABC.因为ACBC,PAAC=A,所以BC平面PAC.因为AD平面PAC,所以BCAD.因为PA=AC,D为PC的中点,所以ADPC.因为PCBC=C,所以AD平面PBC.(2)依题意,PA平面ABC,ACBC,如图,以A为原点,分别以 , , 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.可得A(0,0,0),B(2,4,0),C(0,4,0), P(0,0,4),D(0,2,2), E(0,1,1), F .因为平面ABC的一个法向量 =(0,0,4), = ,所以 =0,即APEF.因为EF平面ABC,所以EF平面ABC.(3)设平面ADB的法向量为n=(x,y,z),则n =0,n =0.由 =(0,2,2), =(2,4,0),得2y+2z=