高中数学知识点总结导数的应用.doc

导数的应用、复数1.用导数研究函数的单调性。在区间内可导，若0，则在上递增;若0，则在上递减. 注意：为正（负）是函数递增（减）充分不必要条件。如果函数f(x)在区间（a,b）内可导且不是常函数，上述结论可以改进为：f(x)在区间（a,b）上单调递增0在（a,b）上恒成立；f(x)在区间（a,b）上单调递减0在（a,b）上恒成立举例1已知函数若在是增函数，求实数的范围。解析：0在上恒成立在上恒成立而在上的最小值为16，故。举例2已知定义在R上的函数y=f(x)的导函数f/(x)在R上也可导，且其导函数f/(x)/0，则y=f(x)的图象可能是下图中的 （ C ）OxyOxyA B C DOxyOxy解析：由f/(x)/0知f/(x)在R上递减，即函数y=f(x)的图象上从左到右各点处的切线斜率递减，不难看出图象满足这一要求。举例3 f(x)是定义在（0，+）上的非负可导函数，且满足xf/(x)+f(x)0,对任意正数a、b,若ab，则必有 （ ） （07陕西理11）A.af(b) bf(a) B.bf(a) af(b)C.af(a) f(b) D.bf(b) f(a)解析：xf/(x)+f(x)0xf(x)/ 0函数F(x)= xf(x) 在（0，+）上为常函数或递减，又0g/(x),若ab，则 （ ）Af(a)g(b) Bg(a)f(b)Cf(a) -f(b) g(a)- g(b)2“极值点”不是“点”，而是方程的根。是函数极值点则；但是，未必是极值点（还要求函数在左右两侧的单调性相反）；若 （或）恒成立，则函数无极值。举例1 已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，且（1）证明；（2）若z=a+2b,求z的取值范围。解析：函数的导数（）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根所以；当时，为增函数，由，得（）在题设下，等价于即化简得此不等式组表示的区域为平面上三条直线：所围成的的内部，由“线性规划”的知识容易求得：的取值范围为举例2 已知函数在处有极值10,则 解析： ，= 由得：或当时，此时函数无极值，舍去；当时，函数在处左减右增，有极小值；此时18 。注：在解决“已知函数的极值点求参变量”的问题时，为避免“增根”，需将求出的参变量的值代入检验其是否为完全平方式，若是则函数无极值（单调），否则有极值；也可以对再次求导，看的值，为0则无极值，为正则有极小值，为负则有极大值。巩固1已知在区间0,1上是增函数,在区间上是减函数,又()求的解析式; ()若在区间(m0)上恒有x成立,求m的取值范围.举例2设函数，其中证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值（07高考山东文21）3.求在闭区间内的最值的步骤：（1）求导数（2）求导数方程=0的根（3）检查在根的左右值的符号，列表求得极值；也可通过解不等式0及0确定函数在给定区间内的单调情况，再确定函数的极值；最后将极值与区间端点的函数值比较以确定最值。举例1 设函数在及时取得极值（）求a、b的值；（）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围解析：（），由，解得，（）在0，3上恒成立即，由（）可知，当时，；当时，；当时，即在0，1上递增，1，2上递减，2，3上递增；当时，取得极大值，又故当时，的最大值为于是有：，解得或，因此的取值范围为。举例2 已知定义在正实数集上的函数，其中设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同用表示，并求的最大值；解析：设与在公共点处的切线相同，由题意，即由得：，或（舍去）即有令，则于是当，即时，；当，即时，故在为增函数，在为减函数，在的最大值为巩固1 设函数，求在区间的最大值和最小值巩固2 已知函数，其图象为曲线C（1） 直线l:y=x+1与曲线C相切于x轴上一点，求的a、b的值（2）是否存在实数a、b，使f(x)在-1、2上取得最大值为3，最小值为-29。若存在，求出a、b的值，并指出函数y=f(x)的单调递增区间；若不存在，请说明理由。4复数包括实数和虚数，实数是虚部为0的复数；-1的“平方根”为，= -1，=1，；复数运算遵循有理式的运算法则；复数的商一般将分母“实数化”（分子分母同乘分母的共扼复数）；两个虚数不能比较大小；两个复数相等当且仅当它们的实部相等，虚部也相等；复数（R，R）在复平面内唯一对应点（，）。举例1 设是实数，且是实数，则（ ）ABCD解析：=R，则1举例2 已知，且（是虚数单位）是实系数一元二次方程 的两个根，那么的值分别是（）A 解析：分别将代入方程得： 对整理得：；解得：。本题也可以用“韦达定理”求解： ， 对整理得：。巩固1在复平面内，复数z=对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第在象限（D）第四象限巩固2 设复数满足，则（ ）ABCD 答案1、巩固1，巩固2