第八章热力学基础习题解答.pdf

第第 8 章章 热力学基础热力学基础 8.13 一系统由如图所示的状态 a沿 abc到达c， 吸收了 350J 的热量同时系统对外做功 126J。 （1）如经 adc 过程，系统对外做功 42J，问系统吸热多少？ （2）当系统由状态 c 沿曲线 ac 回到状态 a 时，外界对系统做功为 84J，问系统是吸热 还是放热，在这一过程中系统与外界之间传递的热量为多少？ 解解 （1）当系统由状态 a 沿 abc 到达 c 时，根据热力学第一定 律，吸收的热量 Q 和对外所做的功 W 的关系是：Q = E + W， 其中 E 是内能的增量Q 和 W 是过程量，也就是与系统经历 的过程有关，而 E 是状态量，与系统经历的过程无关。 当系统沿 adc 路径变化时，可得：Q1 = E1 + W1， 这两个过程的内能的变化是相同的，即：E1 = E= QW， 则系统吸收的热量为：Q1 = Q W + W1 =350126+42= 266J。 （2）当系统由状态 c 沿曲线 ac 回到状态 a 时，可得：Q2 = E2 + W2， 其中，E2 = E，W2 = 84J，可得：Q2 = (Q W) + W2 =(350126) 84=308J， 可见：系统放出热量，传递热量的大小为 308J。 8.14 一气缸内贮有 10mol 的单原子理想气体， 外力压缩气体做功 209J， 气体温度升高 1。 试计算气体内能增量和所吸收的热量。 解解 单原子分子的自由度为 i = 3，1mol 理想气体内能的增量为 2 i ER T= 3 8.31 1 2 =12.465J 10mol 气体内能的增量为 124.65J 气体对外所做的功为 W = -209J，所以气体吸收的热量为 Q = E + W =124.65-209= -84.35J 8.15 一圆柱形汽缸的截面积为 22 2.5 10 m ，内盛有0.01kg的氮气，活塞重10kg，外部大 气压为 5 1 10 Pa，当把气体从300K加热到800K时，设过程进行无热量损失， 也不考虑摩擦， 问（1）气体做功多少？（2）气体容积增大多少？（3）内能增加多少？ 解解 （1）系统可以看成等压准静态过程， V WpdVp V 由理想气体状态方程 m pVRT M 得 3 3 0.01 8.31 (800300)1.48 10 J 28 10 m Wp VR T M （2）因气体压强 55 0 2 10 9.8 101.04 10 2.5 10 mg ppPa S 活塞 由状态方程 m pVRT M 可得 23 5 0.01500 8.311.42 10 281.04 10 mT VRm Mp （3）氮气的自由度为 5，由理想气体内能公式 2 i ERT可得内能增加 3 0.015 8.31 5003.7 10 J 2282 i ER T V O p a b c d 习题 8.13 图 8.16 1mol 氧气由状态 1 变化到状态 2， 所经历的过程 如图所示，一次沿 1a2 路径，另一次沿 12 直线 路径试分别求出这两个过程中内能的变化 E、对外 界所作的功 W 以及系统吸收的热量 Q。 解解 根据1mol 的理想气体状态方程 pV = RT，可得气 体在状态 1 和 2 的温度分别为 T1 = p1V1/R 和 T2 = p2V2 氧气是双原子气体，自由度 i = 5，由于内能是状态量， 所以其状态从 1 到 2 不论从经过什么路径，内能的变化都是 21221 1 ()() 22 ii ER TTp VpV 5252 5 (105 102 1010 ) 2 = 7.5 103J 系统状态从 1a 的变化是等压变化，对外所做的功为 2 1 21 () V V WpdVp VV 522 2 10(5 101 10 ) = 8.0 103J 系统状态从 a2 的变化是等体变化，对外不做功因此系统状态沿 1a2 路径变化时， 对外做功为 8.0 103J；吸收的热量为 Q = E + W =7.5 103+8.0 103= 1.55 104J 系统状态直接从 12 的变化时所做的功就是直线下的面积，即 2121 1 ()() 2 WppVV= 6.0 103J 吸收的热量为 Q = E + W =7.5 103+6.0 103=1.35 104J 8-17 气缸内贮有 2mol 的空气，温度为 27。若保持压强不变，而使空气的体积膨胀到原 体积的 3 倍，求空气膨胀时所作的功。 解解 已知 121 2,27327300 ,3 m mol TK VV M ，因压强不变，由物态方程有 12 12 VV TT ，则 2 211 1 3900 V TTTK V 由等压过程做功公式 m Wp VR T M 有 3 2 8.31 (900300)9.97 10 JW 8.18 容器内贮有 3.2g 氧气，温度为 300K，若使它等温膨胀到原来体积的两倍，求气体对 外所做的功及吸收的热量。 解解 气体对外所做的功 2 1 2 1 3.2 18.31 300 ln2173J 32 V V V VdVm WpdVRTRT n VMV 因等温过程内能增量为 0，所以由热力学第一定律可得气体吸收的热量为 173J。 8.19 64g 氧气的温度由升至 50， （1）保持体积不变； （2）保持压强不变。在这两个过 程中氧气各吸收了多少热量？各增加了多少内能？对外各做了多少功？ 解解 （1）等体过程中氧气吸收的热量为 3 , 645 8.31 (500)2.08 10 J 322 VV m QCT 因体积保持不变，所以对外所做的功0W V/10-2m3 O p/105Pa 2 a 1 2 1 1 5 习题 8.16 图 由热力学第一定律可得内能增量 3 2.08 10EQJ （2）等压过程中氧气吸收的热量为 3 , 6452 8.31 (500)2.91 10 J 322 pp m QCT 因理想气体内能是温度的单值函数，温度增量相同时，内能的增量也相同，所以压强不 变而温度升高 50时的内能增量和体积不变而升高相同温度时的一样，均为 3 2.08 10 JE 而由热力学第一定律可得等压过程对外所做的功 33 (2.91 2.08) 100.83 10 JWQE 8.21 1mol 氢在压强为 1.013 105Pa，温度为 20时的体积为 V0，今使其经以下两种过程达 同一状态： （1）先保持体积不变，加热使其温度升高到 80，然后令其作等温膨胀，体积变为原 体积的 2 倍； （2）先使其作等温膨胀至原体积的 2 倍，然后保持体积不变，升温至 80。 试分别计算以上两过程中气体内能的增量、所做的功和吸收的热量，并在同一 p-V 图 中作出表示两过程的曲线。 解解 氢气是双原子气体，自由度 i = 5，由于内能是状态量，所以不论经过什么路径从初态 到终态，内能的增量都是 21 () 2 i ER TT= 1.2465 103J （1）气体先做等体变化时，对外不做功，而做等温变化时，对外所做的功为 2 1 2 22 1 3 1 8.31 353 ln2 2.0333 10 J V V VdV WRTRT n VV 所吸收的热量为 Q2 = E + W2 = 3.2798 103J （2）气体先做等温变化时，对外所做的功为 2 1 2 11 1 3 1 8.31 273 ln2 1.6877 10 J V V VdV WRTRT n VV 所吸收的热量为 Q1 = E + W1 = 2.9242 103J 从以上结果可知，气体在高温下做等温膨胀时，吸收的热量多些，p-V 曲线图下面的面 积也大一些。 8.22 0.02 kg 的氦气(视为理想气体)，温度由 17升为 27若在升温过程中，(1) 体积保 持不变；(2) 压强保持不变； （3）不与外界交换热量；试分别求出气体内能的改变、吸收 的热量、外界对气体所做的功。 解解 氦气的自由度数 i=3，物质的量 200 5 4 m mol M ，温度的增量 21 30029010TTTK （1）等体升温过程体积不变，做功 W =0，吸收的热量与内能增量相等，即 3 58.31 10623J 22 i QER T （2）等压升温过程吸收的热量为 3 ,21 25 ()58.31 101.04 10 J 22 p m i QCTTR T 内能的增量只与温度的变化有关，故等压过程内能增量和等体过程相同，均为623JE 由热力学第一定律可得气体对外做功 3 1.04 10623417JWQE。 （3）绝热升温过程吸收的热量为 0，内能增量与等体和等压过程相同，仍为623JE， 由热力学第一定律可得此过程气体对外做功0623623JWQE ，负号表示外 界对气体做功。 8.23 一定量的单原子分子理想气体， 从初态 A 出发， 沿如图所 示直线过程变到另一状态 B， 又经过等容、 等压过程回到状态 A。 （1）AB，BC，CA，各过程中系统对外所做的功 W， 内能的增量 E 以及所吸收的热量 Q （2）整个循环过程中系统对外所做的总功以及从外界吸收 的总热量（各过程吸热的代数和） 解解 单原子分子的自由度 i = 3。 （1）在 AB 的过程中，系统对外所做的功为直线 AB 下的面积，即 WAB = (pA + pB)(VB VA)/2 = 200J 内能的增量为： () 2 ABBA i ER TT() 2 BBAA i p Vp V= 750J 吸收的热量为：QAB = EAB + WAB = 950J BC 是等体过程，系统对外不做功。内能的增量为 () 2 BCCB i ER TT() 2 CCBB i p Vp V= -600J 吸收的热量为：QBC = EBC + WBC = -600J，即放出 600J 的热量 CA 是等压过程，系统对外做的功为 WCA = pA(VA VC) = -100J 内能的增量为：() 2 CAAC i ER TT() 2 AACC i p Vp V= -150J 吸收的热量为：QCA = ECA + WCA = -250J，也就是放出 250J 的热量 （2）对外做的总功为：W = WAB + WBC + WCA = 100J 吸收的总热量为：Q = QAB + QBC + QCA = 100J 由此可见：当系统循环一周时，内能不变，从外界所吸收的热量全部转化为对外所做 的功。 8.24 有kg1008 3 .的氧气，原来的体积为 34m 10104 .，温度为 300K；作绝热膨胀后体 积 变 为 33m 10104 ., 问 气 体 做 功 多 少 ？ （ 已 知 氧 气 的 定 体 摩 尔 容 11 , 21.0 V m CJ mol K ） 解解 根据理想气体在绝热过程中对外做功的公式 V/10-3m3 p/105Pa 3 2 1 1 2 B A C 习题 8.22 图 O ,21,12 ()() v mv m mm WCTTCTT MM 如果求出终态温度 T2, 即可得所求的功。由绝热过程中 T 与 V 的关系式 1 11 122 TVTV 可得 10.4 1 21 2 1 ()300()119 10 V TTK V 所以 ,12 8 ()21.0 (300 119)950.25J 32 v m m WCTT M 8.25 1mol 氧气， 温度为 300K 时体积是 2 10-3m3， 若氧气经 （1） 绝热膨胀到体积为 2 10-2m3； （2）等温膨胀到体积 2 10-2m3后，再等体冷却到绝热膨胀最后达到的温度。试计算两种过 程中氧气作的功。 解解 （1）由绝热膨胀的过程方程 1 VT 恒量可得 1 3 0.4 1 21 2 2 2 10 ()()300119 2 10 V TTK V 则 ,21 () V m WECTT 5 18.31 (119300)3760J 2 （2）等温膨胀后再冷却，后一过程为等体过程，气体不做功，所以整个过程中做功为 2 1 1 ln8.31 300 ln10 5740J V WRT V 8.26 0.32kg 的氧气作如图所示的循环，若 21 2VV， 1 300TK， 2 200TK求此循环的 效率。 解解 由循环循环效率定义式 1 W Q ，其中W为循环过程对外所作的净功， 1 Q为循环过程 从外界吸收的热量。两个等体过程均不做功，那么 abcd WWW，而在等温膨胀和等体升 压两过程才从外界吸热，故 1abcd QQQ，这样可得 21 12 12 2 1 112 1 2 12 1 2 112 1 lnln 5 ln() 2 ()ln 100ln2 15% 55 300ln2100ln() 22 abcd abcd VV RTRT WWVVW V QQQ RTR TT V V TT V V TTT V 习题 8.25 图 8.28 1 mol 理想气体在 T1 = 400 K 的高温热源与 T2 = 300 K 的低温热源间作卡诺循环（可 逆的） ，在 400 K 的等温线上起始体积为 V1 = 0.001 m3，最终体积为 V2 = 0.005 m3，试求此 气体在此循环中从高温热源吸收的热量 Q1、 气体传给低温热源的热量 Q2和气体所做的净功 W。 解解 卡诺循环由气体的四个变化过程组成，即等温膨胀、绝热膨胀、等温压缩和绝热压缩。 气体在等温膨胀过程内能不改变，所吸收的热量全部转化为对外所做的功，即 22 11 2 1111 1 18.31 400 ln5 VV VV VdV QWpdVRTRT n VV = 5.35 103J 气体在等温压缩过程内能也不改变，所放出的热量是由外界对系统做功转化来的，即 42 1 4 2222 3 3 1 VV VV VdV QWpdVRTRT n VV 利用两个绝热过程，可以证明：V4/V3 = V2/V1， 可得：Q2= 8.31 300 ln5 = 4.01 103J 气体在整个循环过程中所做的功为：W = Q1-Q2 =5.35 103-4.01 103= 1.34 103J 8.29 一热机在 1000K 和 300K 的两热源之间工作，如果高温热源提高 100K 或低温热源降 低 100K，理论上哪种方案提高的热效率更高一些？ 解解 （1）由热机效率公式 = 1 T2/T1可得： 提高高温热源时，效率为 1 = 1 T2/(T1 + T)， 提高的效率为 22 11 11 TT TTT 2 11 3 ()110 TT T TT = 2.73% （2）降低低温热源时，效率为 2 = 1 (T2 - T)/T1， 提高的效率为 22 22 11 TTT TT = T/T = 10% 由上述结果可见，降低低温热源更能提高热机效率。对于温度之比 T2/T1，由于 T2 T1， 显然，分子减少一个量比分母增加同一量要使比值降得更大，因而效率提高更多。 8.30 一卡诺循环的热机，高温热源温度是 400 K每一循环从此热源吸进 100 J 热量并向一 低温热源放出 80 J 热量。求： (1) 低温热源温度； (2) 这循环的热机效率。 解解 (1)因卡诺热机效率 1212 111 QQTTW QQT ， 由题意可得 2 400100 80 100400 T ，解得低温热源的温度 2 320TK (2) 此循环的热机效率 12 11 10080 20% 100 QQW QQ 8.35 设以氮气(视为刚性分子理想气体)为工作物质进行卡诺循环，在绝热膨胀过程中气体的 体积增大到原来的两倍，求循环的效率。 解解 对绝热膨胀过程应用绝热过程方程，有 11 2132 VTVT 刚性双原子气体氮气的比热容比 7 1.40 5 ，依题意可知 32 2VV 代入上式可得： 1 0.4 22 1 13 1 ( ) 2 TV TV ，则循环的效率 2 1 124% T T 8.37 设想利用海水表面和深处的温度差来制成热机，已知海水表面温度约 25，水深 300m 处温度约 5，求 （1）在这两个温度之间工作的卡诺热机的效率是多大？ （2）若此卡诺热机工作时获得的机械功率是 1MW，它将以什么速率排出废热？ 解解 （1）卡诺热机的效率 2 1 278 116.7% 298 T T （2）由 22 12 11 QQ QWQ 可得 6 6 2 (1)10(1 0.067) 14 10 J 0.067 W Q 即电站将以 14MW 的速率排出废热。 8.38 一卡诺热机低温热源温度为 7，效率为 40%，若要把它的效率提高到 50%，高温热 源的温度应提高多少？ 解解 由卡诺热机效率 212 11 1 TTT TT 可得 1 280 40%1 T 及 1 280 50%1 TT ，联立两式解得93TK 8.39 当室外气温为 32时，用空调器维持室内温度为 21。已知漏入室内热量的速率是 3.8 104kJ/h，求所用