整式分式复习资料.doc

整式乘除与因式分解一、重点难点：重点是整式的乘法运算，因式分解运算难点是乘法公式的灵活运用和分解因式的方法。二、知识要点【知识点一】幂的运算（1）同底数幂的乘法:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.即 (,都是正整数)（2）幂的乘方:幂的乘方:底数不变, 指数相乘.即 (,都是正整数)（3）积的乘方:先把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的结果相乘.即(是正整数)（4）同底数幂的除法:同底数幂相除,底数不变,指数相减.（这个也可以看做分式的运算）即(0, ,都是正整数，且) 零指数幂:不等于零的数的零次幂等于1. 即1(0).推导过程： （这里面注意：a0，因为分母中有a）负整数指数幂: 不等于零的数的负整数次幂等于这个数的正整数次幂的倒数.即 (0,是正整数).例1. 计算解:=点评:在整式运算中同样应遵循有括号先算括号（先小括号，再中括号，后大括号，），然后算乘方、再算乘除、最后算加减的原则.例2：0. 2520094200981000. 5300解： 0. 2520094200981000. 5300（0. 254）2009（23）1000. 530012009（20. 5）300113000【知识点二】整式乘法(1) 单项式乘单项式单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因数.即：3a2b4c2x3bc6=(32)(b4b)(cc6)a2x3=6a2x3b5c7(2)单项式乘多项式单项式与多项式相乘,就是根据乘法对加法的分配律,用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加.即：a(m+n)=am+an（单项式计算部分与上面原理相同）(3)多项式乘多项式多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.（就是反复多用几次乘法分配律）。即：（a+b）(m+n)=am+an+bm+bn。（单项式计算部分与上面原理相同）例3.计算：(1)； (2) （2a3-3a+5）（3-a2）；解:(1)=(2)（2a3-3a+5）（3-a2）=点评：为防止“漏项”，应注意将一个多项式的每一项“遍乘”另一个多项式的每一项；要正确确定积中每项的符号；如有同类项，则应合并同类项，得出最简结果；通常情况下，最后结果应按某一字母的降幂排列.【知识点三】：乘法公式(1)平方差公式:两个数的和与这两个数的积,等于这两个数的平方差. 即.(2)完全平方公式:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍.即:, 例4.利用乘法公式计算:解:=点评:巧妙的将看作一个整体是解决本题的关键.【知识点四】：整式除法（了解即可，这几年几乎不从这部分里出题）(1) 单项式除以单项式:单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式.(2)多项式除以单项式:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加.【知识点五】因式分解1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化. 2因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.（前三个较常考，第四个较难理解，而且大纲里不作要求，近几年不常考，但是用好了会简化许多计算）一、提公因式法. am+an=a(m+n)二、运用公式法. a2-b2=(a+b)(a-b)；a22ab+b2=(ab)2；三、分组分解法. 把需要分解的式子改变顺序，对其中某部分提公因式或运用公式，然后再进行下一步的因式分解（一）分组后能直接提公因式例5、分解因式：分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式= = 每组之间还有公因式！ =【注】分组的选择是不唯一的，这道题还可以选择其他的分组方式，试试看。（二）分组后能直接运用公式 例6、分解因式：分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就不能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式= = =例7、分解因式： 解：原式= = =四、十字相乘法.（这是因式分解的最精华部分，但是大纲里不做要求，是课本中的思考题部分，所以了解即可，但是如果学会了，解题会快很多）（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式进行分解。特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。 例8、分解因式：分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。 由于6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有23的分解适合，即2+3=5。 1 2解：= 1 3 =例6、分解因式：解：原式= 1 -1 = 1 -6 （-1）+（-6）= -7（二）二次项系数不为1的二次三项式条件：（1） （2） （3） 分解结果：=例7、分解因式：分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：=（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= =（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、 例10、 1 -2y 把看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=【典型题】例1. 设m2m20，求m33m22000的值分析：由m2m20无法求m，所以要把m33m22000及m2m20变形解：由m2m20，得m22m，m2m2，原式m2m3m22000（2m）m3m220002mm23m220002（m2m）20002220002004 评析：要多探索方法，寻求新颖简捷的方法例2. 化简求值：5（mn）（mn）2（mn）23（mn）2，其中m2，n分析：先应用乘法公式化简，再代入求值解：5（mn）（mn）2（mn）23（mn）25（m2n2）2（m22mnn2）3（m22mnn2）5m25n22m24mn2n23m26mn3n210n22mn当m2，n时，原式10n22mn2n（5nm）2（52）（3）评析：本题用到平方差及完全平方公式，注意应用公式要准确【注】这类习题一定要先化简，在代数求值，以后的分式部分也要这样做例3. 已知（ab）211，（ab）25，求（1）a2b2；（2）ab分析：利用完全平方公式变形即可解：由（ab）211，得a22abb211由（ab）25，得a22abb25，得2a22b216故a2b28，得4ab6故ab例4 abc的三边a、b、c有如下关系式：c2a22ab2bc0，求证这个三角形是等腰三角形。 分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解（还有些题是对某部分因式分解）。 证明：c2a22ab2bc0，（ac）（ac）2b（ac）0，（ac）（a2bc）0 又a、b、c是abc的三条边，a2bc0，ac0， 即ac，abc为等腰三角形。 例5 简便计算2001199920011999=（2000+1）（2000-1） =20002-12000+12000+1（-1） =20002-1 （用平方差公式也可以直接得到这一步） =4000000-1 =3999999例6计算am+5bn+1a-m+6bn-1 解：am+5bn+1a-m+6bn-1 分析：无论指数多繁杂同底数幂结合是关键。=(am+5a-m+6)(bn+1bn-1) =am+5-m+6 bn+1+n-1 =a11b2n 例7计算(-1)2k+1(- )2k 解：(-1)2k+1(- )2k 分析：(-1)的奇次幂是-1 =(-1)(- )2k （-1）的偶次幂是+1 =-1( )k利用amn (am)n将(- )2k =-( )k = 变形(- )2k=(- )2k=( )k例8用简便方法计算：(1) (-9)3(- )3( )3分析：本题逆用积的乘方公式，即同指数的若干个幂的积等于它们底数乘积之幂。ambmcm=(abc)m 解：(1) (-9)3(- )3( )3 =(-9)( - )( )3 =(9 )3=23=8例9 如果28n16n=222, 求n的值分析：依据相等的2个幂，如其底数相同，则其指数相等的原理解方程。 解： 28n16n=222 又 左边=28n16n=2(23)n(24)n=223n24n=21+3n+4n =21+7n 21+7n=222, 1+7n=22 n=3 例10 已知 求的值解：（）2=x2-2x+()2= x2-2+()2=4 =4+2=6例11 如果ab2a 4b 50 ，求a、b的值解：ab2a 4b 5（a-1）2+（b+2）2=0 所以 a-1=0 b+2=0 所以 a=1 b=-2例12 两个连续整数的平方差必是奇数 解：设这两个连续整数是n和n+1 则 这两个数的平方差是 （n+1）2-n2=(n+1+n)(n+1-n)=2n+1 因为 n是整数 所以2n+1 是奇数 则结论成立。分式一、重点难点：重点是提高分式部分化简求值的运算能力，注意分式什么时候无意义，什么时候值为0；会解分式方程，会用分式方程解决实际问题。难点是计算要快速准确，解方程记得检验是否是增根。二、知识要点【知识点一】分式的基础知识1. 分式：整式A除以整式B，可以表示成 的形式，如果除式B中含有字母，那么称 为分式若B0，则 有意义；若B=0，则 无意义；若A=0，B0，则 0. 2分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变用式子表示为, (C0).3. 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分4通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.【注】通分的关键是确定n个分式的最简公分母，约分的关键是确定分式的分子与分母中的最大公因式例1 下列各式，哪些是整式，哪些是分式？例2 分别求出使下列式子有意义的x的值。解:分式有意义，只要分母不为0就可以 第一个：x-30 x3 第二个：-30 x3 第三个：x20 x0例3 如果分式的值为零，那么 等于 解：依题意得3x-90 x3 -3=0 x=3 综合起来，x=-3（x=3的时候分式分母为0，无意义）例4 例5不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中的各项系数化为整数。 【知识点二】 分式的运算【注：这部分中考必有一道题，计算一定要大量练习，要保证准的基础上，提高速度。】（1）分式乘除法：概括：与分数乘除法的法则类似，分式的乘除法的法则是：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘。经观察、类比不难发现例6解：原式=例7. 先化简，再求值。【中考题型，一定要先化简，再代数，切记。】 （2）分时加减法同分母的分式加减法与同分母分数加减法的法则类似，同分母的分式加减法的法则是：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 异分母的分式加减法与异分母分数加减法的法则类似，异分母的分式加减法的法则是：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。例8例9【知识点三】 分式方程 概念：含有分式的等式（方程）叫分式方程。【注】对于分式方程，当分式中分母的值为零时没有意义，所以分式方程不允许未知数取那些分母为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了。换言之，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。因为解分式方程可能会出现增根，所以解分式方程时，验根是必要步骤。（验跟是只有分式方程中才特有的，但是必须的）验根的方法有两种，一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法道理简单，而且可以检查解方程时有无计算错误；另一种是把求得未知数的值代入分式的分母，看分母的值只否为零，这种方法不能检查解方程过程中出现的计算错误。 例10 解：方程两边同时乘以得整理，得 解这个方程，得 经检验，是原方程的增根，应舍去.所以原方程的根是例11 年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨1/3。小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元。已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5m3，求该市今年居民用水的价格。主要的等量关系是： 小丽家今年7月份的用水量小丽家去年12月份的用水量=5m3 所以，首先要表示出小丽家这两个月的用水量，而用水量可以用水费除以水的单价得出。解：设该市去年居民用水的价格x元/ m3 ，则今年的水价为（1+1/3）x元/ m3，根据题意，得解这个方程，得x=1.5经检验，x=1.5是所列方程的根。1.5（1+1/3）=2（元）所以，该市今年居民用水的价格2元/ m3。 例12 解：原方程变为（）2+（）-2=0 所以=-2 x1=x2=-1或=1 这个方程无解经检验，x1=x2=-1是这个方程的跟。 例13 如果方程有增根,则k=_ 解：解这种题，不要先带x的值，因为带进去分母为0，分式无意义，所以，先通分，在通分时，等式两边乘以0，对等式是没有影响的，所以，原方程可化为：（x+k）-x(x+1)=2(x2-1) 整理3x2-k-2=0 此时，带入x=1， 求k的值， k=1例14 若 ，求的值.解：因为 所以 y-x=3xy=【巩固练习】【整式部分】1、计算：（1）（3a）（2a）； （2）3xyz（xy）（3）21ab7ab； （4）7a5bc（3ab）；（5）x （6）（）（）2、若5n2，4n3，则20n的值是 ；若2n+116，则x_.3、已知求m、n的值4、（提示：用平方差公式）5、已知，求的值6、在长为m，宽为m的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路，则余下草坪的面积可表示为 ；现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路（如图6），则此时余下草坪的面积为 7、若a、b、c为ABC的三边，且满足a2b2c2abacbc，试判断ABC的形状。8、已知，求：（1）（2）（3）的值。9、利用因式分解说明：能被140整除10、因式分解（1） （2）（3）； （4） （5） （6）（7） （8）(9)2x2-7x3； (10)6x2-7x-5；(11)-3x27x-2； (12)5x26xy-8y2【注】后四个是用十字相乘法因式分解，尽量做11、已知，求的值。12、已知：a、b、c为的三边，并且满足求证：是等腰三角形。【分式部分】1、 已知：3x-4y-z = 0, 2x+y-8z = 0,求的值.2、化简：