概率论与数理统计测验三答案.doc

第三章测验题答案第三章测验题答案(2010-05-11)班级_ 姓名_ 学号_ 做题时间_分钟*一. 填空(共17分)1. （5分）设随机变量且，则= .解：因为，属离散型随机变量，故.由题设条件可知，所以又因为所以= .2. （12分，每空2分）根据定义完成下列各式：二. 选择(共20分，每题5分)1. 设随机变量X的绝对值不大于1，且，则 A (A) 0.625 (B) 0.5 (C) 0.425 (D)0.375 解：因为随机变量X的绝对值不大于1，所以必定有X的所有取值只可能在-1到1之间，即，所以2. 设X与Y相互独立且同分布，在下列各式中成立的是 A (A) (B) (C) (D) 解：因为所以X和Y的取值只能是1或-1，因此利用X与Y的边缘分布律和两者独立性的条件可知(X, Y)的联合分布律，如下表所示：X Y-11-111因此 ，故选项(A)正确，(B)错误； ，故选项(C)错误； ，故选项(D)错误.3. 已知，且，则 C . (A) (B) (C) (D) 解：本题关键是分析max函数的含义，从而利用概率的加法公式来解. 具体过程如下： 4. 设随机变量，则随着的增大， .(A)增大 (B)减小 (C)保持不变 (D)增减不定解：，与无关，所以选(C).三. 解答题（请写明求解过程，共63分）1. （18分，每小题6分）已知随机变量X的分布函数为 求(1) A; (2); (3). 解：(1)利用分布函数的右连续性可知，在点，右连续性表现为 ，根据定义可知，当时，所以左边=，右边，故A=1.所以得到(2) 注意到这个在整个实轴都是连续的，根据第二章的结论：只要分布函数是连续函数，那么随机变量在单点处的概率就为0，因此有 =.(3)已知分布函数求概率密度，只需要在密度函数的连续点处对x求导即可： 因此有（此题没有无定义的点，否则需要修改相应区间，例如第二章测验解答题第一题.）2. （15分）某元件寿命X服从参数为的指数分布，则三个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是多少？ 解：随机变量X表示元件寿命，由题意可知其概率密度为又因为即元件能够使用超过1000小时的概率是，又因为三个元件的寿命是相互独立的，所以最后所求概率值即为.3. （10分）已知二维随机向量(X, Y)的联合密度函数为 求(X, Y)的关于Y的边缘密度函数.解： 通过以下四个步骤求边缘密度：写定义：定区间： 化积分： 求积分： .4. （10分）设求的概率密度函数.解：因为所以有因为函数是严格单调函数，所以可以利用书中第52页定理直接求Y的密度函数. ，且所以.又注意到，所以由定理可知 （10分）已知(X, Y)的概率密度为求.解：本题所求的是二维随机变量(X, Y)落在某区域中的概率，则现要将此二重积分化成累次积分，则要确定这个区域与的区域的交集，如下图所示故四. 选做题(10分,100分以外)设(X, Y)的分布函数为, 求(1) A,B,C; (2); (3)X和Y是否相互独立？解：(1)法一：利用二维随机变量的分布函数的性质：得到.由(3)式可知，. 又因为,所以故则又（）（）式可知因此法二：利用一维随机变量的分布函数的性质来做：因为边缘分布作为一维随机变量的分布函数是满足上述性质的，故 解此方程组得到.(2)(3)要判断独立性，就要先求边缘分布；法一：因为此题给出的条件是分布函数，所以这里我们先求X和Y的边缘分布函数. 根