用Mathematica研究自然对数的底数e.doc

用Mathematica研究自然对数的底数e作 者：陈 龙 摘要：是一个奇妙有趣的无理数，它取自瑞士数学家欧拉的英文字头。与被认为是数学中最重要的两个超越数，、及（为虚数单位）三者间存在的关系。本文利用Mathematica软件研究了自然对数的底数，介绍了的一些相关知识、与自然对数的关系以及的值的计算方法等。关键词：Mathematica，自然对数一、引言 远在公元前，圆周率就被定义为“周长与直径之比”。自古以来，的近似值一直取为3.14或。通过许多数学家的努力，的近似值位数不断增加。目前用电脑计算圆周率。由于电脑速度等功能不断改进，今后的近似值位数会越来越多。 另外一个奇妙有趣的无理数是，它取自瑞士数学家欧拉（Euler，1707-1783）的英文字头。欧拉首先发现此数并称之为自然数。但是，这种所谓的自然数与常见正整数1，2，3，截然不同。确切地讲，应称为“自然对数的底数”。 与被认为是数学中最重要的两个超越数（transcendental number，若一数为之根，其中为某一至少一次的整系数多项式，则此数称为代数数（algebraic number），否则称为超越数）。、及（为虚数单位）三者间存在的关系。本文主要介绍的一些知识以及用Mathematica软件来计算。二、欧拉数 考虑数列，=，其中=，应用下述关于级数收敛的基本定理之一可证明出其极限存在。 定理1.设数列为单调且有界，则当时，（为一有限数）。 首先，对=，显然为单调递增数列。其次，=2，=，而时， =1+1+ 1+1+ = 1+3，即数列以3为一上界。故有定理1知，数列收敛至一实数，由于此极限值与圆周率一样在许多数学的公式中出现，所以不可避免的需要给它一个特别的符号。欧拉似乎是第一个体会到此数之重要性的数学家，他并以来表示此数。后来符号就被广为采用，后人并称为欧拉数（Eulers number）以纪念他。由于为时之极限，故可表示为（1） = 。以下说明如何以来求之近似值，事实上收敛至的速度极快。这里借助一几何级数，对任意，= + + + = +故对，（2） + 。若令，则上式为（3） + 。即对，与之差最多为。由于随着增长速度极快，故为的一个很好的估计值。例如，若=10，则与之差小于，因此经由计算，得到=2.718281。 Na10,50 2.7182818011463844797178130511463844797178130511464 NE,50 2.7182818284590452353602874713526624977572470937000 Na10-E,50 True当然若取大一些便可再更精确些，如=2.71828182845904523536028。这是欧拉用笔算得到的之小数前23位。欧拉22岁时，在一篇论文中写着“这个数的对数是1，以命名之，它的值为2.71828，它的常用对数为0.4342944”。是无理数的证明（这是欧拉在1737年所证出），可利用前述（3）对的估计式。设=为一有理数，其中，为二互质正整数。易见，此因介于2与3之间，故不可能为整数。现由（3）式知 + 。将上式每项各乘以得 +。而由之定义知，为一整数，如此则得整数介于两相邻整数及+之间的矛盾结果。故不是有理数。下面我们来看另一种常见的引进的方法。考虑数列 = ，。则由二项式定理（Binomial Theorem）可得 = = = 1+1+ = 3 。又由上面第三个等号的右侧可看出，的每一项对递增，且比多一正的项，故为一单调递增且有界数列必有极限。故得证存在。接着证明。对，仍由前述第三个等号之右侧可得 。若先固定，而令，则上式左侧趋近于，而右侧趋近于。即此时有，而又有，因此， 。令，由夹逼定理，便得。也就是我们得到下述重要的极限结果：（4） 。定理2.（夹逼定理）若三个数列，从某项开始成立 ，且，则。我们发现这个奇妙的数居然可用两种完全不同的方式来导出，事实上尚有许多方式皆可导出。三、与自然对数中学学的对数以10为底，称为常用对数，记作。但科学上常用的对数却以一个无理数=2.71828为底，称为自然对数，记作或。早在公元17世纪纳皮尔（J. Napier）发明对数时，其目的是简化天文数据的计算，将乘法转化为加法来计算。他希望将每个正实数表示为某个给定的正实数的幂：=。如果=，=，则=，的乘法变成了，的加法。根据这种思想可编制出相应的对数表，列出幂（即真数）与指数（即对数）之间的对应关系。但要使得表中相邻两个真数比较接近，就应当取低接近1。比如取=1.001。幂（真数）N1.0011.0020011.0030031.0090360841.010045121.020191145指数（对数）n12391020不难看出,用接近于1的=1.001为底编制对数表要比以10为底优越。同时为了提高精确度，还可以取更接近1的1.0001来代替1.001。一般地，可以考虑=作为对数的底，越大越好。应用Mathematica软件：观察当趋于无穷大时数列=和=的变化趋势：DoPrintN(1+10(-m)(10m),m,1,7/求，其中 Out1：=2.59374 2.70481 2.71692 2.718152.71827 2.71828 2.71828DoPrintN(1+10(-m)(10m+1),m,1,7/求，其中 Out2：=2.85312 2.73186 2.71964 2.71842 2.7183 2.71828 2.71828由Out1和Out2观察出它们的变化趋势：随着的增大而增大，随着的增大而减小。pic1=Plot(1+10(-x)(10x),x,1,4,PlotStyleRGBColor0,0,1 Graphicspic2=Plot(1+10(-x)(10x+1),x,1,4,PlotStyleRGBColor1,0,0 Graphicspic3=PlotE,x,1,4,PlotStyleRGBColor0,0,1 GraphicsShowpic1,pic2,pic3 Graphics通过观察可以看到，当增大时=递增，=增减。随着的无穷增大，无限接近，趋于共同的极限=2.71828，以这个为底的对数称为自然对数。上面是通过对数表的编制来说明自然对数是怎样自然产生的。虽然当初纳皮尔编制对数表的时候还没有这样明确地提出自然对数，但他一开始编制的决不是以10为底的常用对数表，他以0.99999为底编制的对数表从本质上接近于自然对数表。只是到后来，为了使用的方便，才采用换底公式将已编成的对数表改成了以10为底的常用对数表。在科学中广泛应用以为底的自然对数的更直接的理由是：它使涉及到对数的微分和积分公式变得最为简单。下面来研究与有关的极限。计算当，时，的值。DoPrintLog10,1.0+10.0(-n)/(10(-n),n,1,7 0.413927 0.432137 0.434077 0.434273 0.434292 0.4342940.434294通过观察可以看到，当趋于0时，趋近于某一个极限值。就是常用对数在处的导数。它不是一个简单的数。定义，则在处的导数而是以为底的对数。计算DoPrint10Log10,1.0+10.0(-n)/(10(-n),n,1,7 11. 101. 1001. 10001. 100001. 计算当，时，的值。DoPrintLog1.0+10.0(-n)/(10(-n),n,1,7 0.953102 0.995033 0.9995 0.99995 0.999995 0.999999 1.通过观察可以看到当时，趋于一个极限值。四、的计算上述的、也是的计算中的一种方法。下面再介绍几种方法。1、求极限法由于无理数值是无限增大时，的极限，通常书写为：时，或。亦可写为时，或。Limit(1+x)(1/x),x0 NLimit(1+x)(1/x),x0,50 2.71828182845904523536028747135266249775724709370002、泰勒级数法欧拉认为，一切函数均可展开为无穷级数。在此，利用指数函数的泰勒级数= 来计算。将代入上面的级数可以得到（5） =泰勒级数是无穷级数，实际计算时必然只能取它的前项，导致截断误差 但因为无穷级数（5）收敛迅速（极快地趋近于某一定值），所以计算起来相当顺利，且实际截断误差比较小。用Mathematica计算 n=100taylor=NSum1/k!,k,0,n,50 1002.71828182845904523536028747135266249775724709370003、数值积分法利用定积分计算出这个积分的数值，再加上也就得到了的值。要计算定积分=，也就是计算轴和平行轴的直线以及它们之间的曲线与轴所包围着的曲边梯形的面积。为此，用一组平行于轴的直线将曲边梯形分成个小曲边梯形，总面积分成这些小曲边梯形的面积之和。如果取很大，使每个小曲边梯形的宽度都很小，可以将它的上方的边界近似地看作直线段，将每个小曲边梯形近似地当作梯形来求面积，就得到梯形公式。如果更准确些，将每个小曲边梯形的上边界近似地看作抛物线段，就得到辛普森公司。具体公式如下：梯形公式：设分点将积分区间=等分，即=，所有的曲边梯形的宽度都是。记。则第个曲边梯形的面积近似地等于梯形面积。将所有这些梯形面积加起来就得到这就是梯形公式。辛普森公式：仍用分点= 将区间=分成等份，直线将曲边梯形分成个小曲边梯形。再作每个小区间的中点。将第个小曲边梯形的上边界近似地看作经过三点的抛物线段，则可求得其中=。于是得到 这就是辛普森公式。Mathematica程序a=0;b=1;yx_:=Ex;n=1000;tixing=N(b-a)/n*(Sumya+i*(b-a)/n,i,1,n-1+(ya+yb)/2),50+1simpson=N(b-a)/6/n*(ya+yb)+2*Sumya+i*(b-a)/n,i,1,n-1 +4*Sumya+(i-1/2)*(b-a)/n,i,1,n),50+1 2.7182819716491952204449077130791851392005128194662 2.7182818284590458319859045962507336985392014058638参 考 文 献1 李尚志等著，数学实验，高等教育出版社，1999年9月第1版2 （日）堀场芳数 著，e的奥秘，科学出版社，1998年2月第1版3 黄文璋 著，数学欣赏，中国统计出版社, 2001年12月第1版4 张韵华 著，符号计算系统Mathematica教程，科学出版社，2001年11月第1版Studying number e by MathematicaAuthor：Chen Long Abstract：e is a fantastic and interesting irrational number，which derives from the beginning letter of Euler who is a Swiss mathematicianIt is thought that the e and pi are the most important transcendental number in mathematicsThe e，pi，i (i is an imag