无穷级数单元测试题答案.pdf

海文钻石卡学员专用内部资料数学部分 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 单元测试题答案单元测试题答案 一、选择题 1、设级数收敛于 2，则级数 1 n n u = 1 5 (3) 2 n n n u = 的和为 （ C ） ( )A 0( )B 1( )C 1( )D + 分析：因为 111 1 51 2 (3)353 251 1 22 1 2 nn nn nnn uu = = =。 2、现有四个命题： 若发散，则 123456 ()()uuuuuu+ n u 发散； 若，发散，则发散； n u n v ( nn uv ) 若收敛，则 n u 1 n u 发散； 若发散，则 n u 1 n u 收敛。 以上四个命题中正确的个数是（ ） B ( )A 1( )B 2( )C 3( )D 4 分析：正确。由级数的基本性质知：若级数 n u 收敛，则添加括号后的级数收敛， 与已知矛盾，故正确； 错误。不成立的反例： 1 n ， 1 n 都发散，但 11 ( nn ) + 收敛； 正确。因为由级数收敛的必要条件知：lim0 n n u =，有 1 lim n n u = ，故 1 n u 发散； 错误。反例：发散，且n 1 n 也发散。 3、下列级数中，收敛的是 （ D ） ( )A 1111 . 36912 + ( )B 1357 . 2468 + ( )C .(0) 481216 aaaa a+ ( )D 22 111111 ()().(). 232323 nn + 分析： 1 3n 发散，故不选( )A； 12 1 limlim( 1)0 2 n n nn n u n =故不选；( )B 1 海文钻石卡学员专用内部资料数学部分 1 44 aa nn = 发散，故不选(；)C( )D是两收敛级数之和，故收敛。 4、设正项级数收敛，则下列级数收敛的是 （ ） n u B ( )A n u ( )B 2 n u ( )C 1 n u ( )D () nn uu+ 分析：因为收敛， 从而 n u lim0 n n u =， 故存在NN ， 当时nN1 n u + ) 分析： 因为 11 212nn ， 而 1 11 2 n n = 发散， 所以 1 1 21 n n = 发散； 又 22 11 1 nn nnn 1 n + = + ， 故 2 1 1 1 n n n = + + 也发散；至于( )D， 11 ()anbab n + ，所以 1 1 n anb = + 发散。对于(,由)C ()() 2 11 14nnn ，即，注意到lnln1x )(, + 应填：。 01a ) + 8、 246 1 0 (1.) 1!2!3! xxx xdx+= 。 应填： 1 1 (1) 2 e。 分析：原式 2222 3 1 0 ()()() 1. 1!2!3! xxx xdx =+ 222 1 11 1 00 0 111 ()(1 222 xxx )xedxd eee = = = 。 9、设( )f x是周期为 2 的周期函数，它在区间( 1,1上的定义为，则 3 2, 10 ( ) ,01 x f x xx 是绝对收敛、条件收敛还是发散？ 分析： 先考虑其绝对值级数 1 1 1 n n a na = + 。 当时，1a 1 1 n aa naa + ，则 2 11n a a = + 发散。此时令 8 ( )(1) x xxa=+，则( )1ln xx fxaxa= +fa，从而当x充分大时( )0fx，( )f x单增， 那么n充分大时， (1) n a na+ 单调增， 且lim0 (1) n n a na = + ， 故原级数 1 ( 1) 1 n n n a na = + 收敛， 即原级数条件收敛。 5、求级数的和函数，并求该和函数的极 大值。 22 1(1)(1).(1). nn xxxxxx+( )S x 分析：此级数为公比的等比级数，由等比级数和函数的公式得(1)qxx= 2 11 ( ) 1(1)1 S x xxxx = + ，设 2 ( )1f xxx= +