大学物理20相对论习题解答.pdf

狭义相对论 习 题 解 答 20.1 填空 (1) 长度收缩公式 22 /1 cv L L =成立的条件是 。 解： L必须是固有长度（本征长度） 。 (2) 时钟变慢公式 22 /1 cv t t =成立的条件是 。 解： t必须是固有（本征）时间。 (3)实验测得某粒子静止时的平均寿命是，它以很低的速度 v 运动时的平均飞行距离为v。但若 v 接 近光速， 实验测得， 绝大多数粒子的飞行距离远大于v， 这个实验结果说明 。 解：说明了高速运动中的时间膨胀效应。 (4) 对某观察者来说，发生在同一地点、同一时刻的两个事件，对其他一切观察者来说，它们是 发生的(回答“同时”或“不同时”)。有两事件，在 S 惯性系发生于同一时刻、不同的地点，它们在其 它惯性系 S中 发生(回答“同时” ， “不一定同时”或“不同时”)。 解：由同时性的相对性应该回答“不一定同时” 。 (5) 从 S系的坐标原点 O沿 X正向发射一光波，已知 S系相对于 S 系以 0.8c 沿 X 负方向运动，则 S 系 中测得此光波的速度为 。 解：光速不变，仍然是 c。 (6) 在速度 v= 情况下粒子的动量等于非相对论动量的两倍。 解：当粒子以速度 v 运动时，相对论动量为： vmmv 0 =， 若等于非相对论动量的两倍，则有： vmvm 00 2=，即 2=，所以 cv866 . 0 =。 (7) 在速度 v= 情况下粒子的动能等于它的静能。 解：在动能等于静能的情况下，有 2 0 2 0 2 2cmcmEmc k =+= 所以，2=，故有，cv866. 0=。 20.2 选择正确答案 (1) 迈克尔逊莫雷在 1887 年做的实验是最著名的，这个实验： (A) 证明了以太不存在；(B)观察不到地球相对于以太运动； (C)表明了以太过于稀薄，以致观察不出来；(D)证明了狭义相对论是正确的。 （2） 根据相对论力学，动能 0.25MeV 的电子(电子静能为 0.51MeV)，其运动速度约等于 (A) 0.1c；(B) 0.5c；(C) 0.75c；(D) 0.85c。 （3） 一电子的运动速度cv99 . 0 =，它的动能是 (A) 3.5MeV；(B) 4.0MeV；(C) 3.1MeV；(D) 2.5Me V。 解：略。 20.3 判断下列叙述是否正确。正确的，在后面的括号画“” ，错误的画“” 。 (1) 若子弹飞出枪口的事件为 A，子弹打中靶为事件为 B，则在任何运动着的参照系中测量 a、 子弹飞行的距离都小于地面观察者测出的距离， b、 事件 A 总是早于事件 B。 (2) 2 mcE =这个公式说明物体的质量和能量可以相互转化； (3) 某一星作远离地球的相对运动，其光谱线比它相对地球静止时的光谱线要向紫端移动。 解：略。 20.4 观察者甲和乙分别静止在两个惯性系 S 和 S中，甲测得在同一地点发生的两个事件的时间间隔 为 4s，而乙测得这两个事件的时间间隔中为 5s。求： (1) S相对于 S 的运动速度； (2) 乙测得这两个事件发生地之间的距离。 解： （1）同一地点发生的两个事件的时间间隔是本征时间，等于 4s，而膨胀后时间是 5s。由时间膨胀公式 可得 25 . 1 =，v=0.6c。 （2）乙测得两事件发生地的距离为： 8 1095= vl 20.5 在 S 惯性系中观测到相距m109 8 =x的两地点相隔s5=t发生两事件，而在相对于 S 系沿 x 方向以匀速运动的 S系中发现该两事件发生在同一地点。试求 S系中该两事件的时间间隔。 解：在 S系中看是发生在同一地点的两事件，其时间间隔是本征时间，所以， /tt= 而25 . 1 ,6 . 0= =c t x v， 所以：st4=。 20.6 火箭相对地面以cv6 . 0=匀速向上飞离地球。在火箭上记录发射s10=t后，该火箭向地面发射 一导弹，其速度相对于地面为cv3 . 0 1= ，问地上记录火箭发射后多长时间导弹到达地球？ 解：火箭上记录的 10s 时间在地面上看，为s 5 . 1210 =，火箭飞行的高度为sc 5 . 126 . 0，再以 0.3c 的速度落向地面（忽略重力） ，需要的时间为s c sc 25 3 . 0 5 .126 . 0 = ，所以总时间为 37.5s。 20.7 介子静止时的半衰期为s1077. 1 8 =T，当它们以速度cv99 . 0 =从加速器中射出时，问经过多 远的距离其强度减少一半？ 解：当介子运动时，其半衰期变为 2 8 99 . 0 1 1 1077 . 1 = T，在半衰期内飞行距离为 mc3999. 0 99. 01 1 1077 . 1 2 8 = ，此时强度减少一半。 20.8 介子的平均寿命是s106 . 2 8 。如果这种粒子具有速度 0.8c，那么，在实验室测量的平均寿命 为多少？衰变前飞行多远？ 解：s106 . 2 8 可以看成是本征时间，在实验室中的平均寿命是膨胀后的时间，所以由时间膨胀公式， s106 . 2 6 10 8 =tt 飞行距离为：mtvl4 .100.8c106 . 2 6 10 8 = 。 20.9 一米尺相对于你以cv6 . 0=的速度平行于尺长方向运动， 你测得该米尺为多少？米尺通过你得花 少时间？ 解：由长度收缩公式可得运动米尺长度为：mLL8 . 025. 1/1/ = 0.8m 的运动米尺以 0.6c 的速度通过所需要的时间为：s10444. 0 6 . 0 8 . 0 8 = c 20.10 一列车以速度 v 通过站台，在站台上两个相距 1 米的机械手同时在列车车厢上刻上划痕。试求 列车上的观察者测量这两个划痕的距离是多少？ 解：在地面参照系理解，划痕收缩后的距离是 1 米，因而，列车上看到的划痕是没有收缩的，由长度 收缩公式可得： 22 /1 1 1 cv L =。 20.11 惯性系中的观察者 A 测得与他相对静止的 xoy 平面上一个圆的面积是 12cm2，另一观察者 B 以 cu8 . 0=相对于 A 平行 xoy 一面作匀速直线运动，问 B 测得该图形的面积是多少？ 解：由于长度收缩只发生在运动方向，运动面积为： 2 2 . 7/12cm=。 20.12 设 S系相对于惯性系 S 以匀速 u 沿 x 轴运动， 一静止在 S 系中的米尺分别(1) 沿 x 轴； (2) 垂直 x 轴；(3) 与 x 轴成角放置。求 S系中观察者测得的米尺长度。 解： （1）此时在 S系看来，发生长度收缩，所以长度为： 22 /1/1cuL=。 （2）此方向与运动方向垂直，没有长度收缩，故长度仍为 1。 （3）此时只有在 x 轴方向的投影发生收缩，y 方向投影不变， 即： sin /1cos/ 22 = = yy cuxx 长度为： 22222 /cos1cuyx=+。 20.13 S系中的一个观察者在间隔为100= L 光分的 A，B二点的联线中点 c处。他使灯发出闪光，并 当闪光灯发出的闪光到达 A，B时，让置于二处的时钟从零开始走动。S系向右运动，相对于 S 系的观察 者的速度为 0.6c。当闪光灯发出闪光时，观察者在 A和 B连线中点之相应点 C 处(在 S 系中)，同时使他的 时钟指到零点。 (1) 照 S 系的观察者看来，时钟 A和 B之间的距离是多少？ (2) 当从闪光灯发出的光脉冲向 A和 B传播并到达 A时，S 系在该处的时钟之读数是多少？ (3) 当闪光到达 B时，S 系在该处的时钟之读数是多少？ （4）S 系测得 A处的时钟比 B处的时钟超前多少？ 解： （1）由长度收缩公式可得：8025. 1/100/ =LL光分。 （2） 在S系看来， 光传播的距离是40光分减去A的运动距离， 即：tctcc=6 . 040所以25=t 分。此即是该处时钟的度数。 （3）在 S 系看来，光传播的距离是 40 光分加上 B的运动距离，即：tctcc=+6 . 040所以 100=t分。此即是该处时钟的度数。 （4）75 分。 20.14 两只固有长度均为 100m 的宇宙飞船 A、B 沿相反方向擦过，位于 A 前端的宇航员测得 B 经过他 的时间为s1050 . 2 6 ，试问： (1) A、B 间的相对速度是多少？ (2) 在 A 上测量时，B 上一定点从 A 的前端飞到后端的时间是多少？ 解： （1）在 A 上的宇航员看来 B 的长度已经收缩为/100/ =L，设相对速度为 v，则通过时间 为：sv 6 105 . 2)/(100 =，解之可得：v=3.96107m/s。 （2）在 A 上的宇航员看来 A 自身的长度仍为 100m，所以 B 上一点从 A 的头部到尾部的时间为 100/v 2.52510-8s。 20.15 一发射台和东西两侧距离均为 0 L的两个接收站 E 和 W 发射讯号，今有一飞机以匀速 v 沿发射 台与两接收站的联线由西向东飞行，试问在飞机上测得两接收站接收到发射台同一讯号的时间间隔是多 少？哪一个站先收到？ 解：在地面上看接收站 E 和 W 同时接收到信号是异地同时事件，在飞机上看是不同时的，由洛伦兹差 值变换我们有： 222 0 2 /1 2 cvc vL x c v t =。 由于飞机是由西向东运动，所以是 E 先。 20.16 在 S 惯性系中，相距m105 6 =x的两个地方发生两事件，时间间隔s10 2 =t，而在相对于 S 系沿 x 轴正方向匀速运动的 S系中观测到这两个事件却是同时发生的。试求在 S系中发生这两事件的地 点间的距离 x 是多少？ 解：由洛伦兹差值变换，若 S系中两事件是同时发生的，则可以得到： 0)( 2 =x c v tt，即：v=0.6c，25 . 1 =。 又由：mtvxx4000000)(=。 20.17 假定在地面上相距 3000km 的 A、B 两地各自生下一个婴儿，地上记录 A 地婴儿比 B 地婴儿早 出生s100 . 6 3 。现有一宇宙飞船沿从 A 到 B 的方向从上空飞过，已知飞船速度分别为c8 . 0，问飞船中的 宇航员测出哪一个婴儿早出生？早生多长时间？ 解：由洛伦兹时间差变换可得结果：sx c v tt0033 . 0 )( 2 =，B 先。 20.18 已知光在折射率为 n 的水中传播时，相对于水的光速为nc/，设水管中水的流速为 v，问光在管 中的传播速度是多少？ 解：水作为一个参照系，管作为另一个参照系。由速度变换可得 cvn nvc cvnc vnc cuv vu c /)/(1 / /1 22 + + = + + = + + =。 20.19 一观察者看到两导弹同向飞行，速度分别为c9 . 0和c7 . 0，求两导弹的相对速度。若两导弹反向 飞行，相对速度又是多少？ 解：由速度变换（x 方向） ，一个导弹作为 S系，另一个作为研究对象，则 c cuv vu u54. 0 /1 2 = =， 若是反向飞行，则： c cuv vu u981 . 0 /1 2 = =。 注意速度的正负关系！ ！ 20.20 一粒子速度 0.9c 沿 K系的正 X方向运动。K相对于 K系以 0.9c 沿正 X方向运动。K相对于 K 系以 0.9c 沿正 X 方向运动。(1) 求出该粒子相对于 K系之速度，(2) 求出该粒子相对于 K 系的速度。 解：由速度变换可得： （1）c cvu vu u994 . 0 / 1 2 = + + = （2）c cvu vu u9997 . 0 /1 2 = + + = 20.21 一束光在 S系里以速度 c 沿 y轴正向运动，而 S系以速度 v 相对于 S 系沿 X 轴正向运动。 (1) 求出光速在 S 系里的 X 分量和 Y 分量。 (2) 证明在 S 系里光速之值仍为 c。 (3) 求光在 S 系中传播的方向。 解：由速度变换： （1） v cvu vu u x x x = + + = 2 /1 c cvu u u x y y = + = )/1 ( 2 （2）在 S 系中光的速度值：ccvuuu yx =+=+= 22222 / （3）传播方向与 x 轴的夹角的正切值为： 22 /1 tan cvc v u u y x =。 20.22 两艘宇宙飞船相互靠近 (1) 若每艘飞般相对于地球之速度为 0.6c，那么一艘飞船相对于另一艘之速度各为多少？ (2) 若每艘飞船相对于地球之速度为m/s103 4 (约为声速的 100 倍)，那么，一艘飞船相对于另一艘的 速度为多少？ 解： （1）此时速度大应该考虑相对论效应，由洛伦兹速度变换公式可得： c cvu vu u x x x 882 . 0 /1 2 = + + =。 （2）此时可以不考虑相对论效应，所以相对速度为m/s106 4 。 20.23 你必须朝着发出红光(nm650=)的光源运动得多快，才能使其显示为绿色(nm525=)？ 解：由光的多普勒效应： vc vc + = 0 可知， vc vc + = 0 ，整理并代入数值可得 ccv21 . 0 /1 /1 2 0 2 2 0 2 = + = 。 20.24 一遥远星系背离地球运动着， 以致于使每种波长的辐射都按 z 的比列发生频移， 即有z=。 那么，该星系相对于地球的速度大小是多少？ 解：由上题结论可得 c z z cv 1 1 /1 /1 2 2 2 0 2 2 0 2 + = + = 。 20.25 一长方体静止时的边长分别为 x、y 和 z，质量为 0 m。一观察者沿平行其 x 边的方向运动，运 动速度为 v，求观察者测得的长方体的 (1) 体积； (2) 密度。 解： （1）由于长度收缩只发生在运动方向，所以体积只有一个边长变化，故体积变为： V=xyz/ （2）立方体运动时质量会增加，所以密度变为： xyzmVm/ 2 0 =. 20.26 一个静止能量MeV511 . 0 2 0 =cm的电子以速度 0.6c 运动。求： (1) ?/1/1 22 =cv (2) 动量 P=？ (3) 能量 E=？ (4) 动能?= k E 解：25 . 1 /1 1 22 = = cv )/(383 . 0 6 . 0511 . 0 25 . 1 0 cMevvmmvp= )(639. 0511 . 0 25 . 1 2 0 2 MevcmmcE= )(128 . 0 2 0 2 MevcmmcEk= 20.27 把质量为 0 m的粒子从静止加速到 (1) 0.5c； (2) 0.9c； (3) 0.99c 各需多少能量？(把答案表示为静能的倍数) 解：所需要的能量就是粒子的动能，由动能公式： 2 0 2 0 2 ) 1(cmcmmcEk= （1）0.5c 时： 2 0 2 0 154. 0) 1(cmcm=； （2）0.9c 时： 2 0 2 0 29 . 1 ) 1(cmcm= （3）0.99c 时： 2 0 2 0 09 . 6 ) 1(cmcm= 20.28 证明 2 1 22 0 22 0 )/1 (cmPcmE+=。并证明，当 2 0c mPc ， 0 22 0 2/ mPcmE+=。 证明：由能量动量关系： 22422 0 cPcmE+=，立即可得： 2 1 22 0 22 0 )/1 (cmPcmE+=。 另外将 2 1 22 0 2 )/1 (cmP+展开成泰勒级数，保持前两项，即： +=+ 22 0 2 2 1 22 0 2 2/1)/1 (cmPcmP 当 2 0c mPc 时，只取这前面两项，代入上面 E 的表达式中即得： 0 22 0 2/ mPcmE+= 证毕。 20.29 一静能为 0.511MeV 的电子具有总能量 5MeV。 (1) 求出该电子的动量； (2) 求出cv/。 解：由能量公式：MevcmmcE5 2 0 2 =，可得511. 0/5=、995 . 0 /=cv 所以动量为：)/(97 . 4 )/( 2 cMevcMev c v mcmvp=。 20.30 一个电子和一个质子都通过V 6 10的电压而加速。求出每个粒子的因子的值，动量、速率。 解：电子和质子通过V 6 10的电压加速而获得的动能都是eV 6 10，但电子和质子的静能不同，由动 能公式 2 0 2 0 2 ) 1(cmcmmcEk=分别可得：两个粒子的因子的值为：2.96 和 1.001； 由动量公式：)/( 2 cMev c v mcmvp=，可得： 电子动量：)/(42 . 1 cMevmvp=； 质子动量：)/(32 . 4 cMevmvp= 由 22 /1 1 cv =可得他们的速率分别是：0.94c 和 0.0316c。 20.31 氢原子的结合能(从氢原子移去电子所需的能量)为 13.6eV。那么，当电子和质子结合为氢原子 时损失了多少质量？ 解：由质量亏损与结合能的关系： 2 mcEB=，可得电子和质子结合为氢原子时损失的质量为： kgcEm B 352 104 . 2/ =。 20.32 试证：一粒子的相对论动量可以写为 c EEE P kk 2 1 2 0 )2(+ = 式中)( 2 00 cmE=和 k E各为粒子的静能和动能。 证明：由相对论能量动量关系和能量与动能和静能的关系可得： c EEE P cPEEE cPEEE cPcmE kk kk k 2/1 0 2 22 0 2 222 0 2 0 2242 0 2 )2( 2 )( + = =+ +=+ += 证毕。 20.33 试计算轴(U)裂变 n3KrBaU)n( 1 0 92 36 141 56 235 92 1 0 +慢中子 时释放的能量。已知各核的静止质量为：n 1 0 ：1.0087u、U 235 92 ：235.0439u、Ba 141 56 ：140.9139u、Kr 92 36 ： 91.8970u。 解：先计算质量亏损： )0087. 138970.919139.140()0439.2350087