2016_2017学年高中数学第2章推理与证明章末分层突破学案苏教版选修.docx

第2章 推理与证明章末分层突破自我校对由部分到整体，由个别到一般 类比推理 演绎推理由一般到特殊 综合法 执果索因 反证法 数学归纳法_合情推理1.归纳推理的特点及一般步骤2.类比推理的特点及一般步骤(2016温州月考)下面四个图案都是由小正三角形构成的，设第n个图形中有n个正三角形，且所有小正三角形边上黑点的总数为f(n).图21(1)求f(2)，f(3)，f(4)，f(5)；(2)找出f(n)与f(n1)的关系，并求出f(n)的表达式.【精彩点拨】(1)根据图案推导计算f(2)，f(3)，f(4)，f(5)及它们之间的关系.(2)利用(1)推导出的关系归纳出f(n)与f(n1)的关系，然后再求f(n)的表达式.【规范解答】(1)由题意有f(1)3，f(2)f(1)33212，f(3)f(2)33427，f(4)f(3)33648，f(5)f(4)33875.(2)由题意及(1)知，f(n1)f(n)332nf(n)6n3，即f(n1)f(n)6n3，所以f(2)f(1)613，f(3)f(2)623，f(4)f(3)633，f(n)f(n1)6(n1)3，将上面n1个式子相加，得f(n)f(1)6123(n1)3(n1)63(n1)3n23，又f(1)3，所以f(n)3n2.再练一题1.已知函数ysin4xcos4x(xR)的值域是，则(1)函数ysin6 xcos6x(xR)的值域是_；(2)类比上述结论，函数ysin2n xcos2nx(nN*)的值域是_.【解析】(1)ysin6xcos6x(sin2xcos2x)(sin4xsin2 xcos2 xcos4 x)sin4xsin2xcos2 xcos4x(sin2 xcos2 x)23sin2xcos2x1sin2(2x)1(1cos 4x)cos 4x.(2)由类比可知，ysin2nxcos2nx的值域是21n,1.【答案】(1)(2)21n,1综合法与分析法1.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式.2.分析法和综合法是两种思路相反的推理方法.分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件.设a0，b0，ab1，求证：8.试用综合法和分析法分别证明.【精彩点拨】(1)综合法：根据ab1，分别求与的最小值.(2)分析法：把变形为求证.【规范解答】法一：(综合法)a0，b0，ab1，1ab2，ab，4.又(ab)24，8(当且仅当ab时等号成立).法二：(分析法)a0，b0，ab1，要证8，只要证8，只要证8，即证4.也就是证4.即证2，由基本不等式可知，当a0，b0时，2成立，所以原不等式成立.再练一题2.(1)已知a，b，c为互不相等的非负数.求证：a2b2c2().(2)用分析法证明：2cos().【证明】(1)因为a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，又因为a，b，c为互不相等的非负数，所以上面三个式子中都不能取“”，所以a2b2c2abbcac，因为abbc2，bcac2，abac2，又a，b，c为互不相等的非负数，所以abbcac()，所以a2b2c2().(2)要证原等式成立，只需证：2cos()sin sin(2)sin ，因为左边2cos()sin sin()2cos()sin sin()cos cos()sin cos()sin sin()cos sin 右边，所以成立，即原等式成立.反证法反证法是间接证明的一种基本方法，用反证法证明时，假定原结论的对立面为真，从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定结论.反证法的思路：反设归谬结论.设an是公比为q的等比数列.(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明：数列an1不是等比数列.【精彩点拨】(1)利用等比数列的概念及通项公式推导前n项和公式；(2)利用反证法证明要证的结论.【规范解答】(1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)证明：假设an1是等比数列，则对任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾.假设不成立，故an1不是等比数列.再练一题3.设an，bn是公比不相等的两个等比数列，cnanbn.证明：数列cn不是等比数列.【证明】假设数列cn是等比数列，则(anbn)2(an1bn1)(an1bn1).因为an，bn是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，所以aan1an1，bbn1bn1.代入并整理，得2anbnan1bn1an1bn1anbn，即2，当p，q异号时，2，与相矛盾.故数列cn不是等比数列.数学归纳法1.关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.2.关注点二：由nk到nk1时，除等式两边变化的项外还要利用nk时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明.已知正数数列an(nN*)中，前n项和为Sn，且2Snan，用数学归纳法证明：an.【规范解答】(1)当n1时，a1S1，所以a1(an0)，所以a11，又1，所以n1时，结论成立.(2)假设nk(k1，kN*)时，结论成立，即ak.当nk1时，ak1Sk1Sk，所以a2ak110，解得ak1(an0)，所以nk1时，结论成立.由(1)(2)可知，对nN*都有an.再练一题4.已知f(n)1，g(n)，nN*.(1)当n1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明.【解】(1)当n1时，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；当n2时，f(2)，g(2)，所以f(2)g(2)；当n3时，f(3)，g(3)，所以f(3)g(3).(2)由(1)猜想f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明：当n1,2,3时，不等式显然成立；假设当nk(k3)时不等式成立，即1.那么，当nk1时，f(k1)f(k).因为0，所以f(k1)0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2，当且仅当ab1时等号成立.(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾.故a2a2与b2b0，b0，c0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值.【解】(1)因为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当axb时，等号成立.又a0，b0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值为abc.又已知f(x)的最小值为4，所以abc4.(2)由(1)知abc4，由柯西不等式，得(491)2(abc)216，即a2b2c2.当且仅当，即a，b，c时等号成立，故a2b2c2的最小值是.6.(2016北京高考)设数列A：a1，a2，aN(N2).如果对小于n(2nN)的每个正整数k都有aka1，则G(A)；(3)证明：若数列A满足anan11(n2,3，N)，则G(A)的元素个数不小于aNa1. 【导学号：01580056】【解】(1)G(A)的元素为2和5.(2)因为存在an使得ana1，所以iN*|2iN，aia1.记mminiN*|2iN，aia1，则m2，且对任意正整数ka1.由(2)知G(A).设G(A)n1，n2，np)，n1n2np.记n01，则an0an1an2anp.对i0,1，p，