多维随机变量题库.doc

#00001已知F(x,y)=A(B+arctg, 1)求常数A，B，C。2)求P0X2,0Y2X ； 3)求F(0.5,0.5)*00003解：1) 如图所示区域D为(X,Y)的非0定义域由归一性 图3)由F(x,y)的几何意义，可将F(0.5,0.5)理解为(X,Y)落在X0.5,Y0.5区域（见如图G1）上的概率。故有#00004已知(X,Y)的分布函数为 求FX(x)与FY(y)。*00004解：FX(x)=F(x,)=FY(y)=F(,y)= #00005(X,Y)的分布函数如 2.1.求X及Y的边缘概率密度。*00005解法1：可先求出(X,Y)的概率密度，再由式(3.2.1)和(3.2.2)求出X与Y的边缘概率密度解法2： 2.1.已算出了FX(x)及FY(y)，则fX(x)=FX(x,)= fY(y)=FY(y)= #00006已知(X,Y)的分布律为xy1011/103/1001/103/10求X、Y的边缘分布律*00006解：由式(3.2.5)可得：xy10pi.11/103/102/503/103/103/5p.j2/53/5#00007已知(X,Y)的分布函数为 问X与Y独立吗？*00007解：FX(x)=F(x,)=FY(y)=F(,y)= 故与不独立。 #00008已知随机变量(X,Y)的分布律为x1200.150.151ab 且知X与Y独立，求a、b的值。*00008解：首先，a+b=1-0.15-0.15=0.7又X与Y独立，由定理3.2.3.a=(a+b)(0.15+a)a=0.35b=0.7-0.35=0.35#00009甲乙约定8:009:00在某地会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最多等待15分钟，过时不候。求两人能见面的概率。*00009解：设甲于8点零分钟到达、乙于8点另分钟到达。由题意，与独立且U(0,60)（分）,YU(0,60)（分）,两人能见面等价于15。为求p|X-Y|1/3|X=-1/3*00012解:(1)由式(3.3.5)当-1x1，x1时#00013已知随机变量X与Y独立，其分布律分别为X10Y-101pX0.40.6PY0.20.30.5分别求随机变量Z=max(X,Y)，与W=X-Y的分布律。并求(Z,W)的分布律。*00013解:作下表，表中第一行是自变量(X,Y)的全部可能取值点；第二行是第一行各取值相应的概率；第三、第四行分别是第一行各取值点相应的Z、W的取值。（X，Y）(1,-1)(0,-1)(1,0)(0,0)(1,1)(0,1)Pi,j0.080.12,0.120.180.20.3Z=max(X,Y)101011W=X+Y0-11021从上表可以确定Z的取值域为0,1,W的取值域为-1,0,1,2.函数变量取某值的概率等于该值在表中相应概率之和。例如PZ=0=0.12+0.18=0.3于是，Z、W的分布律分别为：Z01W-1012PZ0.30.7PW0.120.260.420.2#00014设二维随机变量(X,Y)在矩形域G=(x,y)|0x2,0y1上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度。*00014解：此题显然是已知(X,Y)的分布，求S=XY的概率密度问题。(X,Y)的概率密度为 图3.4S的分布函数为FS(s)=PSs=PXYs当s0时，FS(s)=0当s2时，FS(s)=1现在，设0ss, 位于曲线xy=s下方的点满足xy0，b0,试写出L的寿命Z的概率密度*00017解：由于当L1，L2中有一个损坏时，系统L就停止二作，所以这时L的寿命为Z=min(X,Y)由已知得，X、Y得分布函数分别为 Zmin(X，Y)的分布函数为于是，Zmin(X，Y)的概率密度为#00018设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2并联而成并，设L1,L2的寿命分别为X与Y，已知它们的概率密度分别为 其中a0，b0,试写出L的寿命Z的概率密度*00018解：由于当且仅当都损坏时，系统L才停止工作，所以这时L的寿命Z为Z=max(X,Y)Z的分布函数为FZ(z)=FX(z)FY(z) =于是，Z=max(X,Y)的概率密度为 #00019(12分)设随机变量（X，Y）的联合密度函数为（1）求常数C；（2）求关于X和关于Y的边缘密度函数； *00019解（1）根据得（4分）（2）（8分）（12分）#00020(12分)设随机变量（X，Y）的联合密度函数为（1）求常数C；（2）求；（4）求（X，Y）的联合分布函数；（5）求Z=X+Y的密度函数；（6）求M=max（X，Y）和m=max（X，Y）的密度函数；（7）求P（X+Y1）。*00020解（1）根据得（4分）（2）（8分）（12分）#00021(16分)设随机变量（X，Y）的联合密度函数为（1）求常数C；（2）求（X，Y）的联合分布函数；*00021解（1）根据得（4分）（2）当x0或y0时，（6分）当时，（8分）当时（12分）因此（X，Y）的联合分布函数为（16分）#00022(12分)设随机变量（X，Y）的联合密度函数为（1）求常数C；（2）求Z=X+Y的密度函数*00022解（1）根据得（4分）（2）根据两个随机变量和的密度函数公式（6分）得当z0时，而当z0时（10分）因此（12分）#00023(14分)设随机变量（X，Y）的联合密度函数为（1）求常数C；（2）求M=max（X，Y）和m=max（X，Y）的密度函数*00023解（1）根据得（4分）（2）当x0时，。当x0时，（6分）即（8分）所以随机变量M=max（X，Y）的密度函数为当x0时，当x0时，（12分）因此m的密度函数为（14分）#00024(14分)设随机变量（X，Y）的联合密度函数为（1）求常数C；（2）求M=max（X，Y）和m=max（X，Y）的密度函数*00024（1）根据得（4分）（2）当x0时，。当x0时，（6分）即（8分）所以随机变量M=max（X，Y）的密度函数为当x0时，当x0时，（12分）因此m的密度函数为（14分）#00025(10分)设随机变量（X，Y）的联合密度函数为（1）求常数C；（2）求P（X+Y1）。*00025解（1）根据得（4分）（10-分#00026设随机变量X与Y相互独立，且同服从0，1上的均匀分布，试求：Z=|X-Y|的分布函数与密度函数*00026解:先求Z的分布函数Z的密度函数为（12分）#00027设随机变量X与Y相互独立，且同服从0，1上的均匀分布，试求：求（U，V）关于U和关于V的边缘密度函数；*00027解：关于U的边缘密度为（9分）