高中数学几何变换与矩阵2.5特征值与特征向量章末分层突破学案苏教版.docx

2.5 特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量的求解与应用设A是一个二阶矩阵，是矩阵A的一个特征值，是属于的一个特征向量.欲求及，可令A的特征多项式等于0，即可求出的值，将的值代入方程组得到一组非零解，即为矩阵A的属于特征值的一个特征向量.求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.【解】矩阵M的特征多项式为f()(1)(1)4223.令f()0，得矩阵M的特征值为1和3.当1时，联立，解得xy0所以矩阵M的属于特征值1的一个特征向量为.当3时，联立，解得xy所以矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为.二、An的表示(计算)设1，2是二阶矩阵M的两个不同特征值，矩阵M的属于特征值1，2的特征向量分别为1，2，则平面上任一非零向量可表示为s 1t 2(其中s，t为实数)，则MnMn(s 1t 2)s1t2(nN*).若矩阵A有特征值12，21，它们所对应的特征向量分别为1，2.(1)求矩阵A和其逆矩阵A1；(2)已知，试求A100.【解】(1)设矩阵A，其特征多项式为f().当12时，其特征向量为1，同理当21时，其特征向量为2，A，det(A)2，A1.(2)设s 1t 2，则st，s1，t16.A1001210016(1)100.三、函数方程思想的应用本章不论是由矩阵求特征值，还是已知矩阵的特征值与特征向量求该矩阵，都需要解方程(组)或构建方程(组)求解.已知二阶矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为，属于特征值8的一个特征向量为，求矩阵A. 【导学号：30650054】【解】设A，由题意知3，8，即解得A.章末综合检测(五)1.求矩阵M的特征值和特征向量.【解】矩阵M的特征多项式f()(1)(6).令f()0，解得矩阵M的特征值11，26.将11代入方程组易求得为属于11的一个特征向量.将26代入方程组易求得为属于26的一个特征向量.综上所述，M的特征值为11，26，属于11的一个特征向量为，属于26的一个特征向量为.2.已知矩阵M的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量. 【导学号：30650055】【解】矩阵M的特征多项式为f()(1)(x)4因为13为方程f()0的一根，所以x1由(1)(1)40得21，设21对应的一个特征向量为，则由得xy令x1，则y1.所以矩阵M的另一个特征值为1，对应的一个特征向量为.3.已知矩阵M，向量，.(1)求向量23在矩阵M表示的变换作用下的象；(2)向量是矩阵M的特征向量吗？为什么？【解】(1)因为2323，所以M(23)，所以向量23在矩阵M表示的变换作用下的象为.(2)向量不是矩阵M的特征向量.理由如下：M，向量与向量不共线，所以向量不是矩阵M的特征向量.4.已知矩阵A，设向量，试计算A5的值.【解】矩阵A的特征多项式为f()2560，解得12，23.当12时，得1；当23时，得2，由m1n2，得，得m3，n1，A5A5(312)3(A51)A523(1)232535.5.已知矩阵A，其中aR，若点P(1，1)在矩阵A的变换下得到点P(0，3)(1)求实数a的值；(2)求矩阵A的特征值及特征向量.【解】(1)，a4.(2)A，f()223.令f()0，得11，23，对于特征值11，解相应的线性方程组得一个非零解，因此1是矩阵A的属于特征值11的一个特征向量.对于特征值23，解相应的线性方程组得一个非零解，因此2是矩阵A的属于特征值23的一个特征向量.矩阵A的特征值为11，23，属于特征值11，23的特征向量分别为，.6.已知矩阵A，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量1，属于特征值1的一个特征向量2，求矩阵A，并写出A的逆矩阵.【解】由矩阵A属于特征值6的一个特征向量1，可知6，所以cd6，由矩阵A属于特征值1的一个特征向量2，可知，所以3c2d2.联立可得解得即A，A的逆矩阵A1.7.已知矩阵A对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90.(1)求矩阵A及A的逆矩阵B；(2)已知矩阵M，求M的特征值和特征向量；(3)若在矩阵B的作用下变换为，求M50.(结果用指数式表示)【解】(1)A；BA1.(2)设M的特征值为，则由条件得0，即(3)(4)62760.解得11，26.当11时，由，得M属于1的特征向量为1；当26时，由6，得M属于6的特征向量为2.(3)由B，得，设m1n2mn，则由解得所以122.所以M50M50(122)M5012M5022650.8.已知二阶矩阵M的一个特征值8及与其对应的一个特征向量1，并且矩阵M对应的变换将点(1，2)变换成(2，4).(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值及与其对应的另一个特征向量2的坐标之间的关系；(3)求直线l：xy10在矩阵M的作用下的直线l的方程.【解】(1)设矩阵M，则8，故由题意得，故联立以上两方程组可解得故M.(2)由(1)知矩阵M的特征多项式f()(6)(4)821016.令f()0，解得矩阵M的另一个特征值2.设矩阵M的属于特征值2的一个特征向量2，则M22，解得2xy0.(3)设点(x，y)是直线l上的任一点，其在矩阵M的作用下对应的点的坐标为(x，y)，则，即代入直线l的方程并化简得xy20，即直线l的方程为xy20.9.给定矩阵M，N及向量1，2.(1)求证M和N互为逆矩阵；(2)求证1和2都是矩阵M的特征向量. 【导学号：30650056】【证明】(1)因为MN，NM，所以M和N互为逆矩阵.(2)向量1在矩阵M的作用下，其象与其共线，即，向量2在矩阵M的作用下，其象与其共线，即，所以1和2都是M的特征向量.10.给定矩阵M及向量.(1)求矩阵M的特征值及与其对应的特征向量1，2；(2)确定实数a，b，使向量可以表示为a1b2；(3)利用(2)中的表达式计算M3，Mn；(4)从(3)中的运算结果，你能发现什么？【解】(1)矩阵M的特征多项式f()(2)(1)30(7)(4).令f()0，解得矩阵M的特征值14，27.易求得属于特征值14的一个特