《金融数学》读书报告.doc

金融数学读书报告研一下学期，我开始上荣老师金融数学这门课，其实我的专业是关于调度方面的研究，可以说和金融经济是没有关系的。当初，我的导师王老师强烈推荐我学习金融数学这门课。她认为，在现实生活中，每个人都应该会一点金融经济方面的知识，因为在现代社会中，金融经济是无处不在的，而金融数学不仅和金融经济有关，而且和数学也有着千丝万缕的关系。从第一节可到现在，课程差不多已经上完了。这门课的安排是这样的，最开始的两节课是有荣老师亲自授课的，他是为了让我们对这门课有个大概的了解，接下来的课程是由我们完成的，荣老师来当我们的指导者，改正我们的错误，拓宽我们的知识面，加深我们对金融数学的了解。现在我想谈一下金融数学中关于测度变换，定理和布朗鞅表示定理的一点感受。这部分内容主要是对第三章开始讲到的股票模型，通过应用定理，将它变成鞅，然后用布朗鞅表示定理，对每一个未定权益，构造出一个复制策略，在这个过程中，伊藤准则将发挥重要作用，而这一切都是为了在框架下定价和对冲。在前面讲到的随机过程从本质上说并不是一个严格的布朗运动，它只是关于某个测度布朗运动。一个-布朗运动。因随机微分法描述的是过程使得（或）成为布朗运动的测度下的行为，而现有的工具并不能给我们任何启示。在测度变换下，布朗运动将发生简单的变化，通过推广到它们的微分也使随机过程也相应的发生变化。对于测度变换-导数，先是从离散过程的一个简单的两步重组树开始的，把从这个轨道到对应轨道概率的映射看作对测度的编码，如下图所示。01-1110222222222222202=若假定有另一个不同的测度，概率为。再次对轨道概率进行编码设为。当每个严格属于0和1之间的时候，唯一决定了测度。定义在离散情况下测度关于测度的导数时，会出现两种编码，很自然地对测度和测度的差别进行编码，即对每个轨道，得到比率后，就可以把轨道到此比率的映射看为了。这种定义方法是比较简单的，也是比较容易理解的。但是这种定义也是有缺陷的，比如说当和为0或1时，会出现两种情况。第一种情况就是若 为0，那么和为0。故关于的信息丢失了，那么也不可能得到对应于，的轨道（概率为0），因此，从某种意义上讲，实际上已经无关紧要了。如果我们限定只对可能的轨道给出，就可以修复相应的了。第二个问题，假设某个为0。但所有的都不为0，那么当所有的都不为0时，至少一个为0，此时，并不是所有的比率都有定义，故不存在。我们可以删除那些概率为0的轨道，但是这样的就失去了某些信息，在测度下不可能有的一些轨道，在测度下却有可能存在，如果把它们抛弃掉，我们就失去了一些和测度有关的信息。如果在测度下允许出现某些情况而在测度下不允许出现，那么就不能定义。为了防止这两种情况发生，规定两个测度有导数的前提是这两个测度等价，即当测度和测度等价时，就可以在-可能的轨道上定义和了。对于离散过程，未定权益关于测度的期望为，其中未定权益在离散的二叉树上时刻2的值是已知的。有了以上式子的推广，期望从测度到测度的转换也很简单：，尽管这一点很有吸引力，但是它只代表了一种简单的情况：在一个特殊的时间范围轨道的末端，才有定义。从而还可以给出无条件期望即，其中为的时间范围，在时刻是已知的。上面所说的都是在离散过程下轨道末端的，而大家感兴趣的是每一处的，那么我们可以让时间变动来实现这一点，如果令为直到时刻为止的导数，即为遵循直到时刻的轨道的导数，并且只知道此时刻以前轨道的概率之比。例如，在时刻1的可能轨道为0,1,0，-1，导数在它们上的值分别为，在0时刻，导数过程恰为1，这是因为唯一的轨道为点0,。在测度和测度下，其概率均为1。当然还有另外一种表达方式，即作为时间范围的导数的条件期望：对任意。从这个式子可以看出关于测度的期望正确拆分了，而过程表述了我们所求沿着当前轨道考虑直到时刻的测度变化量。如果要求，实际上它就是，其中在时刻为已知的。要求出，只需知道从时刻到时刻测度的变化量就可以了，它恰好是，这是直到时刻的变化中去掉了时刻的变化，换句话说是。其实上面说的都是在离散过程下的测度变换，而我们要研究的是连续随机过程（例如布朗运动）的测度变换是如何变化的。有了以上准备，对于连续的导数的定义就很容易了。我们仍可以用概率密度函数来表示概率。比如说在实数子集上的取值，然后用布朗运动的联合似然函数：如果取和为0，记为，为，那么布朗运动的第二个条件：增量相互独立，那么。写出一个对应于测度的连续有限时间子集上的似然函数，在连续极限下，我们就有了一个处理关于测度的连续过程的方法。如果为的一个子集，那么维随机向量落在中的-概率就为似然函数在上的积分，连续情况下的导数仍然满足在离散过程中的结论和性质对于测度变换，就是先由离散过程下简单的二叉树开始对导数进行定义和推导，最后才能够一步步得到连续情况下的结论和性质。这个测度的变换只是将一个通常的漂移的布朗运动变为了一个带漂移的布朗运动。而其他的没变。当然，漂移项是构成过程的随机微分形式的一部分，实际上对布朗运动所做的测度变换能做的就是改变漂移项。我们感兴趣的所有模型都可以表示成瞬时微分的形式由一定数量的布朗运动和一定数量的漂移运动组成。因此，从测度下的随机微分到测度下的随机微分的映射也就是合情合理的了，而这一切就是定理所要揭示的。定理：假定是一个-布朗运动，其自然-域流是且是一个适应过程，使得，定义并且令是由下式定义的概率测度，在此测度下，由下式定义的过程，是一个标准的布朗运动。在这个过程中记（是关于的导数）。定理与金融相关的方面就是把股票转换为鞅。股票价格可以用随机微分方程表述为，布朗运动有概率分布，定义为，很明显，如果飘移项不等于0，在下就不是一个鞅，可以把前式改为下面的积分形式：。因为。显然这不是一个鞅，但是可以把它转换为新测度下的鞅。从的密度函数开始，令，定义导数为，用它乘以密度函数，就得到了新的测度：。因为，所以，容易知道这个概率分布具有0漂移和扩散，而根据定理有代入原始的随机微分方程中，得，因为，就有，这样就变成了一个鞅。定理适应于布朗运动，但是我们所研究的过程实际上都是伪布朗运动，现在能看到布朗微积分的好处了，要想控制任何过程的漂移，那么定理就是一个强有力的工具在前面提到的鞅都是这样定义的:令是一个过滤概率空间，是一个-布朗运动，我们看到如果是一个可料的随机变量，且对每个，则是一个鞅，现在我们可以知道，除了上面这种鞅的表示方法外，还有其它的情况。就像在离散情形中一样，二项式表示定理允许我们将鞅表示为“离散的随机积分”，因此这里的布朗鞅表示定理告诉我们，所有（好的）鞅都能被表示为伊藤积分，这个结果有时也被称为可料表示性质。它是连续情形下对冲的关键。我们现在可以用伊藤公式来解一些随机微分方程，并且可以看到当测度变换时，随机微分方程是怎样变化的。回答第二章中定价问题的核心内容是离散树上的鞅测度这个概念。在此测度下，过程保持不变，并且在此测度下，衍生证券的价格为一期望，并且期望的构造甚至还可以告诉我们证实这个价格的交易策略，但并没有告诉我们如何构造具体的交易策略。在第二章中，我们有了二项式表示定理，若和都是-鞅，那么他们不仅仅名称相同，并且在局部他们都是尺度不同，每一个特定分支张开的幅度不同。我们可以用其他非平凡的-鞅适当地变换尺度后来表示的变化，因此自身可以表示成这些改变量的适当比例和的形式。最后接触的布朗鞅表示定理，它断言如果一个伊藤过程是鞅，则它的漂移一定为0。鞅是一种用数学期望刻画的随机运动形式，鉴于它隐含的某种“公平”特征，它被用来描绘价格运动，但其实不是这样的，金融资产价格有一定的趋势性，它们更可能是上鞅或下鞅，本章的分析在直观的背景下，着重分析了在现代社会金融分析中最重要的鞅标准布朗运动，考察它的轨道性质和由它衍生的类似过程，还随带介绍了鞅的三个子类，它们将帮助用来