实数综合与提高.docx

实数综合与提高一、实数的概念及分类 1、实数的分类一是分类是：正数、负数、0； 另一种分类是：有理数、无理数 将两种分类进行组合：负有理数，负无理数，0，正有理数，正无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如等；（2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有的数，如+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001等；（4）某些三角函数值，如sin60o等二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=b，反之亦成立。2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a0；若|a|=-a，则a0。3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。5、估算三、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。表示方法：记作“”，读作根号a。性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。表示方法：正数a的平方根记做“”，读作“正、负根号a”。性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。 注意的双重非负性： 03、立方根一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根（或三次方根）。表示方法：记作性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。四、实数大小的比较 1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。2、实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较：设a、b是实数，（3）求商比较法：设a、b是两正实数，（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。（5）平方法：设a、b是两负实数，则。五、算术平方根有关计算（二次根式）1、含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。2、性质：（1） （2） （3） （）（4） （）3、运算结果若含有“”形式，必须满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式六、实数的运算 （1）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方（2）实数的运算顺序先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。（3）运算律加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法对加法的分配律 例题例1 已知一个立方体盒子的容积为216cm3,问做这样的一个正方体盒子（无盖）需要多少平方厘米的纸板？例2 若某数的立方根等于这个数的算术平方根，求这个数。例3 下列说法中：无限小数是无理数；无理数是无限小数；无理数的平方一定是无理数；实数与数轴上的点是一一对应的。正确的个数是（ ）A、1 B、2 C、3 D、4例4 （1） 已知(2)设(3)若（4） 设a、b是两个不相等的有理数，试判断实数是有理数还是无理数，并说明理由。例5 （1）已知2m-3和m-12是数p的平方根，试求p的值。（2） 已知m，n是有理数，且，求m，n的值。（3）ABC的三边长为a、b、c，a和b满足，求c的取值范围。（4）已知，求x的个位数字。分类讲解一、二次根式的非负性1若，则=_2已知：，求的值3已知、为实数，且，求的值二、二次根式的化简技巧（一）构造完全平方1化简，所得的结果为_（拓展）计算2化简： 3化简4化简： 5化简：6化简： （二）分母有理化1计算：的值2分母有理化： 3计算：三、二次根式的应用（一）无理数的分割1设为的小数部分，为的小数部分，则的值为（）（A）（B） （C） （D）2设的整数部分为，小数部分为，试求的值3设的整数部分为，小数部分为，试求的值（二）最值问题1设、均为不小于3的实数，则的最小值是_2实数满足，则的最大值为_（三）性质的应用1设、均为正整数，且，则 =_2已知，则的值为 3已知，求的值4已知，求的值（四）有二次根式的代数式化简1已知：，求：的值2已知，求的值3已知：，为实数，且求的值（五）比较数的大小1设abcd0且，则x、y、z的大小关系2比较与的大小 3比较与的大小4比较与的大小 5比较与的大小 6比较与的大小 实数拓展提高训练题1 有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示。 其中正确的说法的个数是（ ）A1 B2 C3 D42如果a有算术平方根，那么a一定是（）A正数B0C非负数D非正数3“121的平方根是11”的数学表达式是()A11B11C11D114设a是9的平方根，B=（）2，则a与B的关系是（）Aa=BBa=BCa=BD以上结论都不对5下列说法：3是的平方根；7是(7)2的算术平方根；125的立方根是5；16的平方根是4；0没有算术平方根其中，正确的有( )A1个B2个C3个D4个6如果一个实数的算术平方根等于它的立方根，那么满足条件的实数有( )A0个B1个C2个D3个7在0到20的自然数中，立方根是有理数的共有()A1个B2个C3个D4个8下列一定没有平方根的是( ) Ax B2x1 Cx2 D2x29下列二次根式中，属于最简二次根式的是( ) A. B. C. D.10若，且，则、的大小关系是（ ）A B C D不能确定11.下列说法中：9的平方根是3; 是2的平方根;2是的平方根.是9的平方根；0的平方根是0其中正确的是：A. B. C. D. 12当a取_时,有意义.13.若，则x的取值范围是 14若，则的值为 的平方根是_15.已知a是的整数部分，b是的小数部分，则(b)a的立方根是_16.在实数范围内，等式30成立，则_17已知：若1910，6042，则_，_18(12分)把下列各数填入相应的集合内：，0，0.16，3，0.15，3.141 592 6，0.101 001 000 1.整数集合；分数集合；正数集合；负数集合；有理数集合；无理数集合19(12分)计算： (1)()2； (2)20已知，互为相反数，求代数式的值21.（1）当时，化简：的结果是（2）化简的结果是22已知是M的立方根，是的相反数，且，请你求出的平方根23.阅读理解，即23的整数部分为2，小数部分为2，1121的整数部分为11的小数部分为2解决问题：已知：a是3的整数部分，b是3的小数部分，求：（1）a，b的值；（2）（a）3+（b+4）2的平方根24(14分)(黔西南州中考)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现在一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如32(1)2.善于思考的小明进行了以下探索：设ab(mn)2(其中a、b、m、n均为