高数经管类大纲(修订).doc

兰州交通大学博文学院“高等数学”课程教学大纲课程编号：0802311 课程类型：公共基础课 学 时：142 适用专业：经管类本科 使用教材及参考书：指定教材经济数学微积分（第二版） 高等教育出版社参考教材微积分 中国人民大学高等数学（经管类）东北大学出版社高等数学（第五版）同济大学应用数学系编 一、课程性质、目的和任务课程性质：数学是一门研究客观世界数量关系和空间形式的科学，也是一种思维模式和文化素养。数学教育在培养高素质经济管理人才中具有其独特的、不可替代的重要作用。微积分已经被广泛应用于各种经济活动之中，并且与其他经济学分支互相渗透或结合，高等数学即是掌握现代化科学知识必不可少的基础知识和基本工具。微积分学是高等学校经管类专业本科生必修的重要基础理论课程，也是后继课程概率论与数理统计计量经济学等的基础课程。 教学目的与任务：通过本门课的学习，使学生系统地获得一元函数微积分、多元函数微积分及常微分方程及其经济应用方面的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能，为学习各类后继课程和今后从事科研活动、阅读或撰写科技论文奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，还要通过各个教学环节对学生进行数学思想和方法的教育训练，逐步培养学生具有抽象思维能力和自学能力，进一步培养学生具有熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。二、教学基本要求和方法【教学要求】1、通过一元微积分的学习，使学生初步掌握微积分的基本理论和技能，同时对极限的思想和方法有初步认识，对静止与变化、量变与质变、有限与无限等辨证关系有初步的了解。受到运用变量数学方法解决一些较简单的实际问题的初步训练，为后续课和今后工作的需要打下必要的基础。2、通过学习空间解析几何与向量代数的知识，提高学生空间想象能力和运用代数方法解决几何问题的能力。3、对微分方程、差分方程有初步了解，掌握它的一些实际应用及某些常规解法。4、通过学习多元函数微积分，使学生进一步建立变量的思想，提高处理多个变量问题的能力。【教学方法】1、注重启发式教学。采用讲解，讨论，答疑等方式，在着重强调数学思想的同时，更注意内容的实际背景与几何意义的阐述，力求准确而不苛求证明的理论性和严密性。通过解题思路分析，基本方法训练，培养学生基本运算能力和分析问题解决问题能力。2、在解题方面着重介绍基本方法，而淡化各项繁琐的技巧，并增加数学方面应用实例。 3、加强学生独立完成作业这一重要环节。使学生通过一定量地做题练习，来加深对概念的理解，熟悉各种公式的运用，从而达到帮助消化理解所学内容的目的。4、尽量作到理论联系实际。尽可能把高等数学在经济管理方面的应用介绍给学生，使学生不仅认识到本课程的重要性，而且增强学习的自觉性。5在教学手段上，更多的广泛采用多媒体教学，丰富同学们空间想象能力，活跃同学们的思维。三、教学内容及要求第一章 函 数一、内容提要1预备知识：实数及其几何表示；实数的绝对值，绝对值的基本性质，绝对值不等式； 集合的概念与运算，区间与邻域的概念。2映射与函数概念：常量与变量；函数的定义域与表示法。3函数的几种简单性质：单调性，有界性，奇偶性，周期性。4反函数：反函数的定义及其图形，反三角函数及其主值。5复合函数的概念6初等函数：基本初等函数的定义、定义域及其图形。初等函数的定义。7分段函数：分段函数的概念及其图形特征。8建立函数关系举例：总成本函数、总收入函数、总利润函数、需求函数、供给函数等。二、要求与说明1理解实数与实数绝对值的概念，掌握简单绝对值不等式的解法。2理解映射、函数、函数的定义域和值域等概念，知道函数的表示法。3知道函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性并掌握其图形的特征。4了解反函数的概念；知道函数与反函数的几何关系；给定函数会求其反函数。5理解复合函数的概念，掌握将一个复合函数分解为较简单函数的方法。6掌握其本初等函数的性质及图形。7理解初等函数的概念，了解分段函数的概念。8理解和掌握经济学中的常用函数。9会建立简单应用问题的函数关系。的关系。6、会求函数的间断点及确定其类型。7、掌握在闭区间上连续函数的性质。8、理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用连续性求极限。三、教学重点难点函数概念；反函数和复合函数概念；函数关系的建立。第二章 极 限 与 连 续一、内容提要 1数列极限的定义与几何意义，数列极限的唯一性及收敛数列的有界性。 2函数极限的定义；函数极限的几何解释；左、右极限。 3无穷小量的定义与基本性质，无穷小量的比较；无穷大量的定义；无穷小量与无穷大量的关系。 4极限的四则运算。 5极限的基本性质：唯一性、有界性、保号性、极限不等式等。 6极限的存在性定理：夹逼定理，单调有界数列的极限存在性定理。 7两个重要极限： ， 。 8函数的连续性，左连续与右连续；函数连续的和、差、积、商的连续性；反函数与复合函数的连续性；初等函数的连续性；分段函数的连续性。9闭区间上连续函数的基本定理：有界性定理，最值定理，介值定理。二、要求与说明1理解数列与函数极限的概念。关于数列与函数极限的分析定义不作过高的要求。2了解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量比较的方法；了解无穷大量的概念； 知道无穷小量与无穷大量之间的关系。3了解两个极限存在性定理，并能用于求一些简单极限的值。4熟练掌握两个重要极限（证明不作要求）。5理解函数连续性与间断的概念；掌握函数间断点的分类；掌握讨论简单分段函数连续性的方法。6了解连续函数的性质，理解初等函数在其定义区间内必连续的结论。7了解闭区间上连续函数的基本定理（定理不证明，只作几何说明）。8熟练掌握求极限的基本方法：利用极限运算法则、等价无穷小量代换、两个重要极限以及函数的连续性等求极限的值。三、教学重点难点极限概念；极限四则运算法则；两个重要极限；函数连续概念。第三章 导数、微分、边际与弹性一、内容提要 1变速直线运动的速度，平面曲线的切线的斜率。导数的定义与几何意义，可导与连续的关系。 2基本初等函数的导数公式。 3导数的四则运算。 4反函数与复合函数的导数，隐函数的导数，对数求导法。 5高阶导数的概念与求法。 6微分的定义与几何意义；可导与可微的关系；微分法则与微分基本公式；微分形式的不变性。 7边际与弹性概念，经济学中常见的边际函数与弹性函数。8导数与微分的简单应用，*近似计算与误差估计。二、要求与说明 1理解导数的概念，知道导数的几何意义与经济意义；了解可导与连续的关系。 2熟练掌握基本初等函数的导数公式。 3训练掌握导数的四则运算公式。 4掌握反函数的导数公式（公式证明不作要求）。 5熟练掌握复合函数的求导公式。 6掌握对数求导法和隐函数求导法。 7了解高阶导数的概念，掌握求二阶、三阶导数及某些简单函数的n阶导数的方法。 8理解微分的概念；掌握可导与可微的关系，以及微分形式的不变性；熟练掌握求可微函数微分的方法。 9了解边际与弹性的概念，会求简单的经济应用问题。三、教学重点难点导数和微分概念；导数的四则运算法则和复合函数的求导法；基本求导公式；隐函数和参数式所确定的函数的导数。边际与弹性概念及常见函数。第四章 中值定理与导数应用一、内容提要 1罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理。 2罗必达法则与各种未定式的求值法。 3函数单调性的判别法。 4函数极值的定义，函数取极值的必要条件与充分条件。 5曲线凹凸性与拐点的意义、判别法与求法。曲线的渐近线（斜渐近线不作要求）的定 义与求法。 6函数作图的基本步骤与方法。7函数最值的概念，求函数最值的概念，求函数最值的基本步骤。函数最值在经济中的应用。最大利润、最小成本等。变化率及相对变化率在经济分析中的应用边际分析及弹性分析 8泰勒公式。二、要求与说明1能叙述罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理，知道这些定理之间的关系，会利用这些 定理证明一些简单的证明题（如证明不等式）。2熟练掌握罗必达法则与各种未定式的定值方法。只证 型未定式的罗必达法则，注意罗必达法则适用的条件。3熟练掌握函数单调性的判别方法及单调性的简单应用4熟练掌握求函数极值与最值的方法，知道函数的极值与最值的关系与区别。会求解某些简单的经济应用问题。5熟练掌握曲线凹凸性判别方；熟练掌握求曲线拐点与渐近线的方法。6掌握函数作图的方法与步骤，会作某些简单函数的图形。 7理解泰勒公式及其应用，会求简单函数的麦克劳林公式。8理解边际、弹性的概念及其经济意义，会用需求弹性分析总收益的变化三、教学重点难点重点：罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理；函数的极值概念，用导数判断函数的单调性和求极值；罗必塔（Lhospita）法则求不定式的极限。难点：罗尔定理和拉格朗日定理；柯西定理和泰勒定理；用罗必塔法则法则求不定式的极限。第五章 不定积分一、内容提要 1原函数概念。不定积分的几何意义。不定积分的性质。 2基本积分表。 3换元积分法（包括简单无理函数的积分）。 4分部积分法。 5有理函数积分举例。二、要求与说明 1理解原函数与不定积分的概念。掌握不定积分的基本性质。 2熟悉基本积分表。 3熟练掌握计算不定积分的两种换元积分法和分部积分法。 4会计算简单的有理函数和简单无理函数的不定积分。三、教学重点难点不定积分的概念；不定积分的基本公式，不定积分的换元法与分部积分法。 第六章 定积分一、内容提要 1曲边梯形的面积。定积分的定义与意义。定积分的基本性质。积分中值定理。 2，变上限积分及其求导方法。原函数存在定理。牛顿-莱布尼兹公式。 3定积分的换元法与分部积分法。 4反常积分与函数：无穷限反常积分的概念、收敛与发散的定义及其计算。瑕积分的 概念、收敛与发散的定义，瑕积分的计算。函数的概念、基本性质与递推公式。 5定积分的几何应用与经济应用：平面图形的面积，立体的体积，简单的经济应用。二、要求与说明 1理解定积分的概念与基本性质，掌握积分中值定理。 2，熟练掌握牛顿-莱布尼兹公式。熟练掌握变限积分的导数的求法。 3熟练掌握计算定积分的换元法与分部积分法。 4掌握用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积的方法，会用定积分求解一些简单的经济应用题。 5了解反常积分收敛与发散的概念。掌握计算收敛反常积分的方法。知道函数的概念、 基本性质与递推公式。三、教学重点难点重点：定积分的概念，牛顿莱布尼兹公式，定积分的应用。难点：定积分的概念，上限函数，定积分的换元法，定积分的应用(元素法)，广义积分。第七章、向量代数与空间解析几何一、内容提要1、空间直角坐标系：点的坐标表示，两点距离公式，曲面方程和曲线方程的概念。2、柱面和旋转面。3、空间曲线及其在坐标面上的投影。4、二次曲面。5、向量及其线性运算，数量积、向量积，空间曲线与曲面方程（选学，不做要求）。二、要求与说明1、理解空间直角坐标系的基本概念，向量及和向量有关的概念，掌握向量的坐标表示。2、掌握空间曲线及其在坐标面上的投影。2、掌握几种常见的空间曲面的标准方程和它们的图形（柱面、旋转面、二次曲面等）。三、教学重点难点空间曲线及其在坐标面上的投影几种常见的空间曲面的标准方程和它们的图形（柱面、旋转面、二次曲面等）第八章 多元函数的微分学一、内容提要1多元函数的基本概念定义：区域，二元函数的定义域与几何意义，二元函数的极限与连续性2偏导数及其在经济分析中的应用：偏导数的定义及其计算，偏导数的几何意义，函数偏导数存在与函数连续的关系，高阶偏导数，偏导数及其在经济分析中的应用偏边际与偏弹性。3全微分及其应用：全微分概念，全微分在近似计算中的应用。4多元复合函数的求导法则。5隐函数的求导公式。6多元函数的极值及其应用：二元函数的极值，二元函数的最大值与最小值，条件极值的概念与拉格朗日乘数法。 二、要求与说明1了解平面区域，区域的边界，点的邻域，开区域、闭区域、有界区域与无界区域等概念2理解多元函数的概念、几何意义；会求二元函数的定义域。3理解二元函数极限的定义及二元函数连续性的概念、性质。4理解多元函数偏导数的概念，了解偏导数的几何意义，熟练掌握求偏导数的方法，熟练掌握求多元复合函数偏导数的方法5熟练掌握由一个方程确定的隐函数求偏导数的方法 6了解全微分的概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件7了解二元函数的极值与条件极值的概念，掌握用二元函数极值存在的必要条件和充分条件求二元函数极值的方法，掌握用拉格朗日乘数法求简单二元函数条件极值问题的方法8理解偏导数及其在经济分析中的应用。三、教学重点难点多元函数偏导数和全微分的概念；复合函数的求导法；隐函数（包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数）求导法；曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线；极值问题。第九章 二重积分一、内容提要1、二重积分的概念与性质； 2、二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。二、要求与说明1、理解二重积分的概念与性质； 2、会利用直角坐标和极坐标计算二重积分；3、了解无界区域上的反常二重积分。三、教学重点难点二重积分的概念；二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。第十章 微分方程与差分方程一、内容提要1微分方程的定义，微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基本概念2一阶线性微分方程：可分离变量的方程与分离变量法，齐次方程，一阶线性微分方程，一阶微分方程的平衡解及其稳定性简介。3一阶微分方程在经济学中的应用：价量分析，产销量预测，成本分析，净资产分析。4几种可降阶的二阶微分方程。5二阶常系数线性齐次微分方程的概念及解法6差分与差分方程的概念，常系数线性差分方程解的结构。7一阶常系数线性差分方程求解（齐次与非齐次）。8二阶常系数线性差分方程求解（齐次与非齐次）。9差分方程的简单经济应用。二、要求与说明1了解微分方程的阶、通解与特解等概念2掌握可分离变量的方程、齐次方程、一阶线性微分方程的解法3会解二阶常系数线性齐次微分方程，*会解几类特殊的高阶微分方程4会求解一些简单的经济应用问题5了解差分、差分方程，差分方程的阶与解（通解与特解）等概念6会求一阶与二阶常系数线性齐次差分方程的解7会求某些特殊的一阶与二阶常系数线性非齐次差分方程的特解与通解8会求二阶齐次差分方程的通解、二阶非齐次差分方程的特解与通解9会求解一些简单经济应用问题三、教学重点难点重点：微分方程及其解的概念，可分离变量的方程、一阶线性方程、二阶常系数线性微分方程的概念及其解法。第八章 无穷级数一、内容提要1无穷级数及其一般项与部分和的概念，无穷级数收敛与发散的定义，收敛级数和的概念，几何级数与调和级数的敛散性，无穷级数收敛的必要条件，收敛级数的基本性质2正项级数的概念，正项级数收敛的必要条件，正项级数敛散性的比较判别法、比值判别法，P级数的敛散性3交错级数的概念，交错级数