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平 面 向 量 复 习 向量的三种表示表示 运算 向量加 法与减法 向量的相关概念 实数与 向量 的积 三 角 形 法 则 平行四边形法则 向量平行、 垂直的条件 平面向量 的基本定理 平 面 向 量 向量的数量积 向量的应用 几何表示 : 有向线段 向量的表示 字母表示 坐标表示 : (x，y) 若 A(x1,y1), B(x2,y2) 则 AB = (x2 x1 , y2 y1) 1.向量的概念: 2.向量的表示: 3.零向量: 4.单位向量: 5.平行向量: 6.相等向量: 7.共线向量: 既有大小又有方向的量 1.有向线段 2.字母 3.有向线段起点和终点字母 长度为零的向量(零向量与任意向量 都平行 长度为1个单位的向量 1.方向相同或相反的非零向量 2.零向量与任一向量平行 长度相等且方向相同的向量 平行向量就是共线向量 向量的模（长度） 1. 设 a a = ( x , y ), 则 2. 若表示向量 a a 的起点和终点的坐标分别的起点和终点的坐标分别 为为A A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则 例1：思考下列问题： 1、下列命题正确的是 （1）共线向量都相等 （2）单位向量都相等 （3）平行向量不一定是共线向量 （4）零向量与任一向量平行 四、例题 一、第一层次知识回顾： 1.向量的加法运算 O A B 三角形法则 OA BC 平行四边形法则 坐标运算 设： 则 “首尾相接首尾连” 2.向量的减法运算 1）减法法则： O A B 2）坐标运算 设： 则 设 则 思考：若 非零向量 ，则它们的模相等且方向相同。 同样 若： “同始点尾尾相接,指向被减向量” 一、第一层次知识回顾： 1.向量的加法运算 A B C AB+BC= 三角形法则 O A B C OA+OB= 平行四边形法则 坐标运算: 则a + b = 重要结论：AB+BC+CA= 0 设 a = (x1, y1), b = (x2, y2) ( x1 + x2 , y1 + y2 ) AC OC 实数 与向量 a a 的积 定义： 坐标运算： 其实质就是向量的伸长或缩短！ a a是一个是一个向量向量. . 它的它的长度长度 | | a a| =| =| | | | | |a a| |； 它的它的方向方向 (1) (1) 当当00时时, , a a 的方向的方向与与a a方向方向相同相同； (2) (2) 当当 0 0时时, , a a 的方向的方向与与a a方向方向相反相反. . 若a a = (x , y), 则 a a = = (x , y) = ( x , y) 平面向量的数量积 （1）a与b的夹角： （2）向量夹角的范围： （3）向量垂直： 00 ，1800 a b 共同的起点 a OA B b O A B O A B O AB O AB （4）两个非零向量的数量积： 规定：零向量与任一向量的数量积为0 a b = |a| |b| cos 几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b| cos的乘积。 A a b B B1 O B A b B1 a O B b (B1)A a O 若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 ) 则a b= x1 x2 + y1 y2 5、数量积的运算律： 交换律： 对数乘的结合律： 分配律： 注意： 数量积不满足结合律 3.平面向量的数量积的性质 (1)ab ab0 (2)ab|a|b|(a与b同向取正，反向取负) (3)aa|a|2 或 |a|aa (4) (5)|ab|a|b| 4.平面向量的数量积的坐标表示 (1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2+y1y2， |a|2x21+y21，|a|x21+y21，ab x1x2+y1y20 (2) (3)设a起点(x1，y1),终点(x2，y2) 则 5、重要定理和公式： 设则 设两点 则 设则 设非零向量 则 二、平面向量之间关系 向量平行(共线)条件的两种形式: 向量垂直条件的两种形式: （3）两个向量相等的条件是两个向量的 坐标相等. 即: 那么 3、平面向量的坐标运算知识回忆 （1）e1、e2不共线，a=1e1+2e2 (存在一对 实数1，2) (1，2唯一的)。 （2）a=xi+yj (x,y)为a的直角坐标，a=(x,y) （3）若a=(x1,y1) b=(x2,y2)， 则ab=(x1x2,y1y2) A(x1,y1) B(x2,y2) AB=(x2-x1,y2-y1) 若a=(x,y)则a=(x,y) a=(x1,y1) b=(x2,y2)(b0) ab x1y2-x2y1=0 知 识 回 忆 典 例 分 析 例5 例6 例题 解这个方程组得k=-(1/3), =-(1/3),即当k=-(1/3)时， ka+b与a-3b平行，这时 ka+b=-a/3+b. 因为=-(1/3)0,所以-a/3+b与a-3b反向。 在本例中，也可以根据向量平行充分条件的坐标 形式，从(k-3)(-4)-10(2k+2)=0,先解出 k=-(1/3)，然后再求。 注注 例2 设a，b是两个不共线向量。 AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_(kR) 解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=(2a-b)=2a-b 2=2 =-1 k=- k=-1 k=-1 知 识 回 忆 典 例 分 析 例2 例3 例4 2、实数与向量的积典例分析-例2 1与平面几何的结合： AB D C AB D C 四边形ABCD是菱形 四边形ABCD是矩形 A B C O A B C D M A B C O M 外心 重心 重心 第一层次例题分 析 类型四：三角形中的向量 问题 重要结论：重要结论： AB C O 第一层次例题分 析 类型四：三角形中的向量 问题 练习练习1 1：判断正误，并简述理由 。 ( ） ( ） ( ） ( ） ( ） ( ） 平 面 向 量 复 习 2. 设AB=2(a+5b)，BC= 2