概率论与数理统计经管类第四章课后习题答案.pdf

习题习题 4.1 1. 设随机变量 X 的概率密度为 (1)f?x? ? ?2x, 0 ? x ? 1, 0, 其他; (2) f?x? ? ? ? e?|?|, ? ? ? ? ? 求 E(X) 解: (1)E?X? ? ?xf?x?dx ? ? ? ? x 2xdx ? 2 ? ? ? ? ?1 0 ? ? ? (2) E?X? ? ?xf?x?dx ? ?x ? ? e?|?|? ? ? ? ? 0 2. 设连续型随机变量 X 的分布函数为 F?x? ? ? 0, x ? ?1, a ? b arcsinx, ?1 ? x ? 1, 1, x ? 1. 试确定常数 a,b,并求 E(X). 解: (1) f?x? ? F?x? ? ? ? ? ,?1 ? x ? 1 0, 其他 ?f?x?dx ? ? b 1 ? x? dx ? ? ? ? ? b arcsinx? 1 ?1 ? ? ? 1, 即 b ? 1 又因当?1 ? x ? 1时 F?X? ? ? f?x?dx ? ? 1 1 1 ? x? dx ? 1 arcsinx? x ?1 ? ? X ? ? 1 arcsinx ? 1 2 , 即 a ? 1 2 (2) E?X? ? ?xf?x?dx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 3. 设轮船横向摇摆的随机振幅 X 的概率密度为 f?x? ? ? 1 ? e? ? ?, x ? 0, 0,x ? 0. 求 E(X). 解: E?X? ? ?xf?x?dx ? ? ? ? ? ?x e? ? ?dx ? ? ? 1 4. 设 X1, X2, Xn独立同分布,均值为,且设Y ? ? ? X? ? ? ,求 E(Y). 解: E?Y? ? E? ? X? ? ? ? ? ? ? E?X? ? ? ? ? ? ? n ? 5. 设(X,Y)的概率密度为 f?x,y? ? ?e ?, 0 ? x ? 1,y ? 0, 0,其他. 求 E(X+Y). 解:E?X ? Y? ? ? ?x ? y?f?x,y?dxdy ? ? ? ? ? ? ?x ? y?e?dxdy ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? e? y e?dy ? ? ? arcsinx 的导数为 1 1 ? x? arctanx 的导数为 1 1 ? x? SHEET 1 OF 10 6. 设随机变量 X1, X2相互独立,且 X1, X2的概率密度分别为 f?x? ? ?2e ?, x ? 0, 0, x ? 0, f?x? ? ?3e ?, x ? 0, 0,x ? 0, 求: ?1?E?2X? 3X?; ?2?E?2X? 3X?; ?3?E?X?X? ? . 解: ?1? E?2X? 3X? ? 2E?X? ? 3E?X? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 2 ?2? E?2X? 3X? ? ? 2E?X? ? 3E?X? ? 1 ? 3 ? ?x? ? ? 3e?dx ? 1 ? 3 ? ?x? ? ? d?e? ? 1 ? 3 ? ?x? e? 0 ? ?e? ? ? dx? ? 1 ? 3 ? ?0 ? ?e? 2x ? ? dx? ? 1 ? 3 ? ?2 3 ?e? 3x ? ? dx? ? 1 ? 3 ? 2 3 ? 1 3 ? 1 3 ?3? E?X?X? ? E?X?E?X? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7. 已知二维随机变量(X,Y)的分布律为 0 1 2 1 0.1 0.2 0.1 2 0.3 0.1 0.2 求 E(X). 解:E?X? ? x?p? 0 ? 0.1 ? 0 ? 0.3 ? 1 ? 0.2 ? 1 ? 0.1 ? 2 ? 0.1 ? 2 ? 0.2 ? 0.9 ? 8. 设随机变量 X 的概率密度为 f?x? ? ?cx , 0 ? x ? 1, 0,其他. 且 E(X)=0.75,求常数 c 和. 解: E?X? ? ?xf?x?dx ? ? x cxdx ? 0.75 ? ? ? ? Y X 该题服从指数分布, 故E(X)= ? ? SHEET 2 OF 10 习题习题 4.2 1. 设离散型随机变量 X 的分布律为 X 1 0 0.5 1 2 P 0.1 0.5 0.1 0.1 0.2 求E?X?,E?X?,D?X?. 解: E?X? ? ?1? ? 0.1 ? 0 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.1 ? 1 ? 0.1 ? 2 ? 0.2 ? 0.45 E?X? ? ?1? 0.1 ? 0 ? 0.5 ? ?0.5? 0.1 ? 1? 0.1 ? 2? 0.2 ? 1.025 D?X? ? ?1 ? 0.45? 0.1 ? ?0 ? 0.45? 0.5 ? ?0.5 ? 0.45? 0.1 ? ?1 ? 0.45? 0.1 ? ?2 ? 0.45? 0.2 ? 0.8225 2. 盒中有 5 个球,其中有 3 个白球,2 个黑球,从中任取两个球,求白球数 X 的期望和方差. 解: X 的可能取值为 0,1,2 P?X ? 0? ? C? ? C? ? 0.1 P?X ? 1? ? C? ? C? ? C? ? ? 0.6 P?X ? 2? ? C? ? C? ? ? 0.3 E?X? ? 0 ? 0.1 ? 1 ? 0.6 ? 2 ? 0.3 ? 1.2 D?X? ? ?0 ? 1.2? 0.1 ? ?1 ? 1.2? 0.6 ? ?2 ? 1.2? 0.3 ? 0.144 ? 0.024 ? 0.192 ? 0.36 3. 设随机变量 X,Y 相互独立,他们的概率密度分别为 fX?x? ? ?2e ?, x ? 0, 0, x ? 0, fY?y? ? ?4, 0 ? ? ? ? ? , 0, 其他, 求 D(X+Y). 解: D?X ? Y? ? D?X? ? D?Y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4. 设随机变量 X 的概率密度为 fX?x? ? ? ? e?|?|,? ? ? ? ?, 求 D(X) 解: E?X? ? ? ? ? e?|?|dx ? ? ? 0 E?X? ? ? x? 2 e?|?| ? ? dx ? 2? x? 2 e? ? ? ? ?x?e? 2 ? ? D?X?= E?X? ? ?E?X? 2 5. 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 D(X)=1,D(Y)=2,求 D(XY). 解: D?X ? Y? ? D?X? ? D?Y? ? 1 ? 2 ? 3 6. 若连续型随机变量 X 的概率密度为 f?x? ? ?ax ? ? bx ? c,0 ? ? ? 1, 0,其他, 且 E(X)=0.5,D(X)=0.15.求常数 a,b,c. 解: P?X ? k? ? C? ?p?q? 注意此处不可以用二项分布式: ? x 2 e?|?|dx ? ? 此为奇函数,故=0 ? ? ? e?|?| ? ? 正负无 穷带入结果都一样,故 = 2? ? ? e? ? ? SHEET 3 OF 10 E?X? ? ? x?ax? bx ? c? ? ? dx ? a 4 ? b 3 ? c 2 ? 0.5 E?X? ? ? x?ax? bx ? c? ? ? dx ? a 5 ? b 4 ? c 3 ? 0.15 ? ?0.5? 0.4 ?f?x?dx ? ? ? ?ax2?bx?c 1 0 ?dx ? a 3 ? b 2 ?c ? 1 解得 a=12,b=12,c=3. 习题习题 4.3 1. 设两个随机变量 X,Y 相互独立,方差分别为 4 和 2,则随机变量 3X2Y 的方差是 D . A. 8 B. 16 C. 28 D. 44 2. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f?x,y? ? ? 1 8 ?x ? y?, 0 ? x ? 2,0 ? y ? 2, 0, 其他 求 Cov(X,Y). 解: E?X? ? ? ? x 8 ?x ? y?dy ? ? ? ? ?dx ? ? ?x ? 8 y ? x 8 y? 2 ?2 0 ? ? dx ? 7 6 E?Y? ? ? ? y 8 ?x ? y?dx ? ? ? ? ?dy ? 7 6 E?XY? ? ? ? xy 8 ?x ? y?dy ? ? ? ? ?dx ? 4 3 Cov?X,Y? ? E?XY? ? E?X?E?Y? ? 4 3 ? 7 6 ? 7 6 ? ? 1 36 3. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f?x,y? ? ?ye ?, x ? 0,? ? 0, 0, 其他 求 X 与 Y 的相关系数 xy. 解: E?X? ? ?xye?dy ? ? ? ? ?dx ? 1 E?Y? ? ?y?e?dx ? ? ? ? ?dy ?a ? b ? cx?dx ? ? ? ?a x ? b x ? c x? 2 ? ? SHEET 4 OF 10 ? ?y?e?e?dx ? ? ? ? ?dy ? ?y?e? ? ? dy ? ?y? ? ? d?e? ? ? ?y?e? 0 ?e? ? ? d?y? ? ? 0 ? ?e? 2y ? ? dy ? 2?e? y ? ? dy ? 2 E?XY? ? ?xy?e?dy ? ? ? ? ?dx ? 2 Cov?X,Y? ? E?XY? ? E?X?E?Y? ? 2 ? 2 ? 1 ? 0 所以 xy ? Cov?X,Y? ?D?X?D?Y? ? 0 4. 设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且 E(X)=0, E(Y)=0, D(X)=16, D(Y)=25, Cov(X,Y)=12,求(X,Y)的联合概 率密度函数 f(x,y). 解: f?x,y? ? ? ? e? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? E?X? ? 0,E?Y? ? 0 ?1? 0,2? 0, ? D?X? ? 16,D?Y? ? 25 ?1? 4,2? 5 ? Cov?X,Y? ? 12 ? ? Cov?X,Y? ?D?X?D?Y? ? 12 4 ? 5 ? 3 5 ?f?x,y? 1 32 e? 25 32? x2 16? 3xy 50 ?y 2 25? 运用分部积分法. ?e? y ? ? dy服从=1 的指数分布 SHEET 5 OF 10 5. 证明 D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y). 证: D?X ? Y? ? E?X ? Y ? E?X ? Y? ? E?X ? E?X? ? ?Y ? E?Y? ? ? E?X ? E?X? ? ? 2E?X ? E?X? E?Y ? E?Y? ? E?Y ? E?Y? ? D?X? ? D?Y? ? 2Cov?X,Y? 6. 设(X,Y)的协方差矩阵为C ? ? 4?3 ?39 ?,求 X 与 Y 的相关系数 xy. 解: ? C ? ? 4?3 ?39 ? ? Cov?X,Y? ? ?3,D?X? ? 4,D?Y? ? 9 ? xy ? Cov?X,Y? ?D?X?D?Y? ? ?3 2 ? 3 ? ? 1 2 自测题自测题 4 一、 一、 选择题 1. 设随机变量 X 服从参数为 0.5 的指数分布,则下列各项中正确的是 B . A. E(X)=0.5, D(X)=0.25 B. E(X)=2, D(X)=4 C. E(X)=0.5, D(X)=4 D. E(X)=2, D(X)=0.25 解: 指数分布的E?X? ? ? ,D?X? ? ? ? 2. 设随机变量 X,Y 相互独立,且 XB(16,0.5),Y 服从参数为 9 的泊松分布,则 D(X2Y+1)= C . A.14 B. 13 C. 40 D. 41 解: D?X? ? npq ? 16 ? 0.5 ? 0.5 ? 4, D?Y? ? ? 9 D?X ? 2Y ? 1? ? D?X? ? 4D?Y? ? D?1? ? 4 ? 4 ? 9 ? 0 ? 40 3. 已知 D(X)=25,D(Y)=1, xy=0.4, 则 D(XY)= B . A.6 B. 22 C. 30 D. 46 4. 设(X,Y)为二维连续随机变量,则 X 与 Y 不相关的充分必要条件是 C . A. X 与 Y 相互独立 B. E(X+Y)=E(X)+E(Y) C. E(XY)= E(X)E(Y) D. (X,Y)N(?,?,?,?,0) 解: ? X 与 Y 不相关 ? xy ? 0,? Cov?X,Y? ? 0 ? E?XY? ? E?X?E?Y? 5. 设二维随机变量(X,Y)N(1,1,4,9, ? ?),则 Cov(X,Y)= B . A. ? ? B. 3 C. 18 D. 36 解: ?xy ? 1 2 ? Cov?X,Y? ?D?X?D?Y? ? Cov?X,Y? 2?3 , ?Cov?X,Y? 3 SHEET 6 OF 10 6. 已知随机变量 X 与 Y 相互独立,且它们分别在区间1,3和2,4上服从均匀分布,则 E(XY)= A . A. 3 B. 6 C. 10 D. 12 解: ? XU?1,3?,YU?2,4? ? E?X? ? a ? b 2 ? ?1 ? 3 2 ? 1,E?Y? ? 2 ? 4 2 ? 3 E?XY? ? E?X?E?Y? ? 1 ? 3 ? 3 7. 设二维随机变量(X,Y)N(0,0,1,1,0),(x)为标准正态分布函数,则下列结论中错误的是 C . A. X 与 Y 都服从 N(0,1)正态分布 B. X 与 Y 相互独立 C. Cov(X,Y)=1 D. (X,Y)的分布函数是?x? ?y? 二、 二、 填空题 1. 若二维随机变量(X,Y)N(?,?,?,?,0),且 X 与 Y 相互独立,则 = 0 . 解: ?Cov(X,Y)=0 2. 设随机变量 X 的分布律为 3 . X 1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.3 0.4 令 Y=2X+1,则 E(Y)= 3 . 解: E(2X+1)=(2*1+1)*0.1+(2*0+1)*0.2+(2*1+1)*0.3+(2*2+1)*0.4=3 3. 已知随机变量 X 服从泊松分布,且 D(X)=1,则 PX=1= e? . 解: ? D?X? ? ? 1 ? P?X ? 1? ? ?e? 1! ? e? 4. 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 D(X)= D(Y)=1,则 D(XY) = 2 . 5. 已知随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布, E?X?= 6 . 解: ? E?X? ? ? 2,D?X? ? ? 2, ? E?X? ? E?X? ? D?X? ? 4 ? 2 ? 6 6. 设 X 为随机变量,且 E(X)=2, D(X)=4,则E?X?= 8 . 7. 已知随机变量 X 的分布函数为 F?x? ? ? 0, x ? 0 x 4 , 0 ? x ? 4 1, x ? 4 则 E(X) = 2 . 解: f?x? ? F “?x? ? ? ? ? , 0 ? x ? 4 0, 其他 E?X? x 4 4 0 dx ? 0 8. 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 D(X)=2, D(Y)=1,则 D(X2Y+3)= 6 . 三、 三、 设随机变量 X 的概率密度函数为 f?x? ? ? 3 2 x?,?1 ? x ? 1, 0, 其他 SHEET 7 OF 10 试求: (1)E(X), D(X); (2)P?|X ? E?X?| ? 2?. 解: (1) E?X? ? ? ? ? x? ? ? dx ? 0 D?X? ? E?X? ? E?X? ? ? 3 2 x? 3 2 x? 5 ? 1 ?1 ? 3 5 ? ? (2) P?|X ? E?X?|? 2? P ?| X|? ? ? ? ? f?x?dx ? ? ? ? x? ? ? dx ? ? ? ? ? 1 四、 四、 设随机变量 X 的概率密度为 f?x? ? ? x 0 ? x ? 1 2 ? x, 1 ? x ? 2 0, 其他 试求: (1)E(X), D(X); (2)E?X?,其中 n 为正整数. 解: (1) E?X? ? ? x? ? ? dx ? ?x?2 ? x? ? ? dx ? ? ? ? ? ? ? 1 D?X? ? E?X? ? E?X? ? ? x? ? ? dx ? ?x2?2 ? x? 1 ? ? ? 1 4 ? ?14 3 ? 15 4 ? ? 1 ? 1 6 (2) E?Xn? ? x? ? ? dx ? ?xn?2 ? x? ? ? ? ? 五、 五、 设随机变量 X1与 X2相互独立,且 X1N(,?), X2N(,?).令 X= X1+X2, Y= X1X2. 求: (1)D(X), D(Y); (2)X 与 Y 的相关系数 xy. 解: (1) D?X? ? D?X1? X2? ? D?X1? ? D?X2? ? ? ? 2? D?Y? ? D?X1? X2? ? D?X1? ? D?X2? ? 2? (2) Cov?X,Y? ? E?XY? ? E?X?E?Y? ? 0 xy ? Cov?X,Y? ?D?X?D?Y? ? 0 六、 六、 设随机变量 X 的概率密度为 f?x? ? ?2e ?, x ? 0, 0, x ? 0 . (1) 求 E(X),D(X); (2) 令Y ? X?E?X? ?D?X? ,求 Y 的概率密度 fY(y). 解: (1) E?X? ? ?2xe?2xdx ? ? ? 1 2 D?X? ? E?X? ? E?X? ? ?2x2e?2xdx ? ? ? 1 4 ? 1 2 ? 1 4 ? 1 4 SHEET 8 OF 10 (2) Y ? X?E?X? ?D?X? ? X?1 2 1 2 ? 2X ? 1 由 Y=2X1 得X? Y?1 2 , X=? ? ? fY?y? ? ?2e ?Y?1 2 ? ? ? , Y?1 2 ? 0 0, Y?1 2 ? 0