山东省沂水县高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率学案新人教A版.docx

31.1倾斜角与斜率学习目标1.理解直线的斜率和倾斜角的概念；2.理解直线倾斜角的惟一性及直线斜率的存在性；3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率知识点一直线的倾斜角思考1在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？答案不能思考2在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？答案不同1倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.2倾斜角的范围直线的倾斜角的取值范围为0180.3确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角知识点二直线的斜率与倾斜角的关系思考1在日常生活中，我们常用“”表示“坡度”，图(1)(2)中的坡度相同吗？答案不同，因为.思考2思考1中图的“坡度”与角，存在等量关系吗？答案存在，图(1)中，坡度tan ，图(2)中，坡度tan .1直线的斜率把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即ktan_.2斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)009090900不存在k0知识点三过两点的直线的斜率公式直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k(x 1x2)类型一直线的倾斜角例1设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40，得直线l1，则直线l1的倾斜角为()A40B140C140D当0140时为40，当140180时为140答案D解析根据题意，画出图形，如图所示：因为0180，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意通过画图(如图所示)可知：当0140时，l1的倾斜角为40；当1400知，直线l1的倾斜角为锐角；由k20知，直线l2的倾斜角为钝角；由k30知，直线l3的倾斜角为0.反思与感悟应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x轴，斜率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解跟踪训练2(1)若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45，则m_.(2)经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角的取值范围是_(其中m1)答案(1)2(2)01时，直线的斜率为k，因为m1，所以k0，故直线的倾斜角的取值范围为090.综上可知：直线的倾斜角的取值范围是090.类型三斜率与倾斜角的综合应用例3(1)已知某直线l的倾斜角45，又P1(2，y1)，P2(x2,5)，P3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值；(2)已知A(3,3)，B(4,2)，C(0，2)若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围解(1)45，直线l的斜率ktan 451，P1，P2，P3都在直线l上，1，解得x27，y10.(2)如图所示：当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.反思与感悟(1)用斜率公式可解决三点共线问题(2)斜率与倾斜角的关系如图：跟踪训练3(1)已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值(2)已知直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，其中M(2，3)，N(3，2)，求直线l的斜率k的取值范围解(1)由题意可知kAB2，kAC，kAD.因为A，B，C，D四点在同一条直线上，所以k2，解得a4，b3，所以直线的斜率k2，a4，b3.(2)如图所示，直线l绕着点P在直线PM与PN间旋转，l是过P点且与x轴垂直的直线当l在PN位置转到l位置时，倾斜角增大到90，kkPN.当l在l位置转到PM位置时，倾斜角大于90，kkPM4.综上所述：k(，4.1对于下列命题：若是直线l的倾斜角，则00，所以倾斜角是锐角；(2)k10，所以倾斜角是钝角；(3)由x1x22得：k不存在，倾斜角是90；(4)k0，所以倾斜角为0.直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：直线情况平行于x轴垂直于x轴的大小009090900不存在k0k的增减情况k随的增大而增大k随的增大而增大一、选择题1下列说法中：任何一条直线都有惟一的倾斜角；任何一条直线都有惟一的斜率；倾斜角为90的直线不存在；倾斜角为0的直线只有一条其中正确的个数是()A0 B1 C2 D3答案B解析只有正确由于垂直x轴的直线斜率不存在，故错；显然错；平行x轴的直线有无数条，其倾斜角为0，故错2已知直线l的倾斜角为15，则下列结论中正确的是()A0180 B15180C15180 D15195答案D解析因为直线l的倾斜角为15，所以015180，即15195.3在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为()A2 B0C. D2答案B解析由题意知，AB，AC所在直线的倾斜角分别为60，120，所以tan 60tan 120()0.4经过两点A(2,1)，B(1，m)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是()Am1Cm1 Dm1答案A解析k0，m10，得m1.5下列各组中，三点能构成三角形的三个顶点的为()A(1,3)、(5,7)、(10,12) B(1,4)、(2,1)、(2,5)C(0,2)、(2,5)、(3,7) D(1，1)、(3,3)、(5,7)答案C解析A、B、D三个选项中三点均共线6.若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则()Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2答案D解析由图可知，k10，k30，且l2比l3的倾斜角大k1k3k2.7直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是()A0 B1 C. D2答案D解析如图，kOA2，kl0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k0,2故直线l的斜率k的最大值为2.二、填空题8若过P(1a,1a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为0，则a_.答案1解析由题意得1a2a，a1.9若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共线，则的值等于_答案解析由于A，B，C三点共线，所以此直线的斜率既可用A，B两点的坐标表示，也可用A，C两点的坐标表示，于是有，由此可得abab，两边同时除以ab，得.10直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(mR)两点，则直线l的倾斜角的取值范围为_答案0，45(90，180)解析直线l的斜率k1m21.若l的倾斜角为，则tan 1.又0，180)，当0tan 1时，045；当tan 0时，90180.0，45(90，180)11已知直线l的斜率k2，A(5，3)，B(4，x)，C(1，y)是这条直线上的三点，则x_，y_.答案19解析kABkAC2，2，得x1，2，得y9.三、解答题12已知交于点M(8,6)的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1234，又知l2过点N(5,3)，求这四条直线的倾斜角解因为k2kMN1，所以l2的倾斜角为45，又l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1234，故这四条直线的倾斜角分别为22.5，45，67.5，90.13已知两点A(3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点(