江苏高考数学复习平面解析几何第47课椭圆的方程及几何性质教师用书.docx

第47课 椭圆的方程及几何性质最新考纲内容要求ABC中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质1椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距(2)集合PM|MF1MF22a，F1F22c，其中a，c为常数且a0，c0.当2aF1F2时，M点的轨迹为椭圆；当2aF1F2时，M点的轨迹为线段F1F2；当2ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)离心率e，且e(0,1)a，b，c的关系c2a2b21(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是_1椭圆的焦点在x轴上，c1.又离心率为，故a2，b2a2c2413，故椭圆的方程为1.3(2015广东高考改编)已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4,0)，则m_.3由左焦点为F1(4,0)知c4.又a5，25m216，解得m3或3.又m0，故m3.4(2016全国卷改编)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为_如图，OB为椭圆中心到l的距离，则OAOFAFOB，即bca，所以e.5椭圆1的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A，B，当FAB的周长最大时，FAB的面积是_3直线xm过右焦点(1,0)时，FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a8，即a2，此时，AB23，SFAB233.椭圆的定义及应用(1)如图471所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是_(2)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若PF1F2的面积为9，则b_.图471(1)椭圆(2)3(1)由条件知PMPF.POPFPOPMOMROF.P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆(2)由定义，PF1PF22a，且，PFPFF1F4c2，(PF1PF2)22PF1PF24c2，2PF1PF24a24c24b2，PF1PF22b2.SPF1F2PF1PF22b29，因此b3.规律方法(1)利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2aF1F2这一条件(2)当涉及到焦点三角形有关的计算或证明时，常利用勾股定理、正(余)弦定理、椭圆定义，但一定要注意PF1PF2与PF1PF2的整体代换变式训练1与圆C1：(x3)2y21外切，且与圆C2：(x3)2y281内切的动圆圆心P的轨迹方程为_. 【导学号：62172260】1设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有PC1r1，PC29r.所以PC1PC210C1C2，即P在以C1(3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为1.求椭圆的标准方程(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为_(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(，)，则椭圆的方程为_(1)y21或1(2)1(1)若焦点在x轴上，设方程为1(ab0)，椭圆过P(3,0)，1，即a3，又2a32b，b1，方程为y21.若焦点在y轴上，设方程为1(ab0)椭圆过点P(3,0)1，即b3.又2a32b，a9.方程为1.所求椭圆的方程为y21或1.(2)设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0且mn)椭圆经过点P1，P2，点P1，P2的坐标适合椭圆方程则两式联立，解得所求椭圆方程为1.规律方法求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为Ax2By21(A0，B0，AB)的形式变式训练2(1)过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆标准方程为_(2)设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点若AF13F1B，AF2x轴，则椭圆E的方程为_(1)1(2)x21(1)法一：椭圆1的焦点为(0，4)，(0,4)，即c4.由椭圆的定义知，2a，解得a2.由c2a2b2可得b24.所以所求椭圆的标准方程为1.法二：设所求椭圆方程为1(kb0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是 _.图472(2)椭圆1上有两个动点P，Q，E(3,0)，EPEQ，则的最小值为_. 【导学号：62172261】(1)(2)6(1)将y代入椭圆的标准方程，得1，所以xa，故B，C.又因为F(c,0)，所以，.因为BFC90，所以0，所以20，即c2a2b20，将b2a2c2代入并化简，得a2c2，所以e2，所以e(负值舍去)(2)设P点坐标为(m，n)，则1，所以PE，因为6m6，所以PE的最小值为，所以()，所以的最小值为6.规律方法1.求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解2利用椭圆几何性质求值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系变式训练3(1)已知直线xt与椭圆1交于P，Q两点若点F为该椭圆的左焦点，则使取得最小值时，t的值为_(2)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点，若AFBF4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是_(1)(2)易知椭圆的左焦点F(4,0)根据对称性可设P(t，y0)，Q(t，y0)，则(t4，y0)，(t4，y0)，所以(t4，y0)(t4，y0)(t4)2y.又因为y99t2，所以(t4)2yt28t169t2t28t7，所以当t时，取得最小值(2)左焦点F0，连结F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形AFBF4，AFAF04，a2.设M(0，b)，则，1b0，n0，且mn)可以避免讨论和烦琐的计算，也可以设为Ax2By21(A0，B0，且AB)，这种形式在解题中更简便3讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，常用方法：(1)求得a，c的值，直接代入公式e求得；(2)列出关于a，b，c的齐次方程(或不等式)，然后根据b2a2c2，消去b，转化成关于e的方程(或不等式)求解易错与防范1判断两种标准方程的方法是比较标准形式中x2与y2的分母大小2注意椭圆的范围，在设椭圆1(ab0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|a，这往往在求与点P有关的最值问题中用到，也是容易被忽视而导致求最值错误的原因3椭圆上任意一点M到焦点F的最大距离为ac，最小距离为ac.课时分层训练(四十七)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1(2017徐州模拟)若方程1表示一个椭圆，则实数m的取值范围为_(2,4)(4,6)由题意可知解得2mb0)，由e，即，得a2c，则b2a2c23c2.所以椭圆方程可化为1.将A(2,3)代入上式，得1，解得c24，所以椭圆的标准方程为1.3已知ABC的顶点B，C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是_. 【导学号：62172262】4由椭圆的方程得a.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得BABFCACF2a，所以ABC的周长为BABCCABABFCFCA(BABF)(CFCA)2a2a4a4.4(2017泰州模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF.若AB10，BF8，cosABF，则C的离心率为_如图，设AFx，则cosABF.解得x6，AFB90，由椭圆及直线关于原点对称可知AF18，FAF1FABFBA90，FAF1是直角三角形，F1F10，故2a8614,2c10，.5已知圆(x2)2y236的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是_椭圆点P在线段AN的垂直平分线上，故PAPN，又AM是圆的半径，所以PMPNPMPAAM6MN，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆6椭圆1的左焦点为F1，点P在椭圆上，若线段PF1的中点M在y轴上，则PF1_.因线段PF1的中点M在y轴上，故可知P，即P，所以PF110.7已知椭圆1(ab0)的一个焦点是圆x2y26x80的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为_. 【导学号：62172263】(5,0)因为圆的标准方程为(x3)2y21，所以圆心坐标为(3,0)，所以c3.又b4，所以a5.因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的左顶点为(5,0)8已知圆M：x2y22mx30(m0)的半径为2，椭圆C：1的左焦点为F(c,0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为_2圆M的方程可化为(xm)2y23m2，则由题意得m234，即m21(m0，m212mm(m0)，所以a2m21，b2m，c2a2b2m2m1，e2111，所以eb0)与1(m0，n0)有相同的焦点(c,0)和(c,0)，若c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率为_因为椭圆1(ab0)与1(m0，n0)有相同的焦点(c,0)和(c,0)，所以c2a2b2m2n2，因为c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，所以c2am,2n22m2c2，所以m2，n2，所以c2，化为，所以e.2设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则PMPF1的最大值为_15PF1PF210，PF110PF2，PMPF110PMPF2，易知M点在椭圆外，连结MF2并延长交椭圆于P点(图略)，此时PMPF2取最大值MF2，故PMPF1的最大值为10MF21015.3已知点M(，)在椭圆C：1(ab0)上，且椭圆的离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2)，求PAB的面积解(1)由已知得解得故椭圆C的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0)由消去y，整理得4x26mx3m2120，则x0m，y0x0mm，即D.因为AB是等腰三角形PAB的底边，所以PDAB，即PD的斜率k1，解得m2.此时x1x23，x1x20，则|AB|x1x2|3.又点P到直线l：xy20的距离为d，所以PAB的面积为S|AB|d.4(2017苏州模拟)已知椭圆C1：1(ab0)的右焦点为F，上顶点为A，P为C1上任一点，MN是圆C2：x2(y3)21的一条直径，在y轴上截距