河海大学工程力学第7章平面弯曲3.ppt

,工 程 力 学 系 多 媒 体 教 学 课 件 系 列 之 一,工 程 力 学,第7章 平 面 弯 曲,山 东 农 业 大 学 水 利 土 木 工 程 学 院,2,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,第7章,平 面 弯 曲,7.1 梁的剪力和弯矩,7.2 剪力图和弯矩图,7.3 梁横截面上的应力,7.4 梁的强度,7.5 梁的变形与刚度,3,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,第7章 平面弯曲,在平面弯曲的情形下，梁的轴线将弯曲成平面曲线。如果变形太大，也会影响构件正常工作。因此，对机器中的零件或部件以及土木工程中的结构构件设计时，除了满足强度要求外，还必须满足一定的刚度要求，即将其变形限制在一定的范围内。为此，必须分析和计算梁的变形。,另一方面，求解超静定梁，也必须考虑梁的变形以建立补充方程。,此外，本章变形的有关概念也是学习许多后继课程如结构力学、结构动力学、土力学等的基础。,7.5 梁的变形与刚度,4,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,平面弯曲时，梁上任意两个横截面绕中性轴转过一定角度，其轴线变成平面曲线，称为梁的挠曲线。挠曲线是梁变形后各截面形心的连线。,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,5,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改变称为位移，包括三部分：, 铅垂位移，称为挠度，用表示，规定向下为正；,变形前后横截面转过的角度，称为转角，用表示，规定顺时针转为正；, 轴向位移或水平位移通常忽略不计。,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,6,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,其中=(x) 称为挠度方程， =(x) 称为转角方程。,从左图中可以看出，在oxy坐标系中，挠度与转角存在下列几何关系,在小变形条件下，很小，有tan。于是,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,7,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,弹性范围内曲率与弯矩、弯曲刚度之间的关系为,数学中的曲率计算公式为,小挠度情形下,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,8,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,弹性范围内，梁的挠曲线近似微分方程满足,式中的正负号与坐标正向规定有关。,所以梁的挠曲线近似微分方程应取,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,9,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,对于等截面梁，写出弯矩方程m(x)，代入上式后，分别对x作不定积分，得到包含积分常数的挠度与转角方程：,其中c、d为待定的积分常数。,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,10,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,积分法中常数c、d由梁的约束条件与连续条件确定。,约束条件是指约束对于挠度和转角的限制。在固定铰支座和辊轴支座处，挠度等于零，即=0；在固定端处，挠度和转角都等于零，即=0，0。,连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：1= 2，1=2。,a=0, b=0,c1= c2,c1=c2,b=0,b=0,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,11,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,左端固定右端自由的悬臂梁承受均布载荷。均布载荷集度为q，梁的弯曲刚度为ei、长度为l。q、ei、l均已知。求：梁的挠度与转角方程，以及最大挠度和最大转角。,1建立oxy坐标系,2建立梁的弯矩方程, 【例7-25】,【解】,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,12,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,3建立微分方程并积分,将上述弯矩方程代入挠曲线近似微分方程，得,4. 利用约束条件确定积分常数,积分后，得到,固定端处的约束条件为：,解得：,【解】,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,13,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,6确定最大挠度与最大转角,从挠度曲线可以看出，悬臂梁在自由端处，挠度和转角均最大值。于是，将 x = l，分别代入挠度方程与转角方程，得到：,5确定挠度与转角方程,【解】,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,14,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,图示简支梁已知fp、ei、l。求：点b的挠度和a、c处转角。,1建立弯矩方程, 【例7-26】,【解】,2将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,15,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,其中，常数c1、d1、c2、d2由约束条件和连续条件确定。,积分后，得,2将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分,【解】,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,16,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,3利用约束条件和连续条件确定积分常数,约束条件为,x=0，w1=0；x=l，w2=0,连续条件为,x=l/4，w1=w2；x=l/4，1=2,d1d2 =0，,【解】,代入求解得,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,17,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,【解】,4. 确定挠度和转角方程以及点b的挠度与转角,bc段,ab段,于是,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,18,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组, 确定约束力，判断是否需要分段以及分几段；, 分段建立挠度微分方程, 微分方程的积分, 利用约束条件和连续条件确定积分常数, 确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角, 分段写出弯矩方程,积 分 法 小 结,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,19,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的某一参数等于每个载荷单独作用于结构而引起的该参数的代数和。,在很多的工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简称为挠度表。,基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移是杆件变形累加的结果这两个重要结论，以及在小变形条件下的力的独立作用原理，采用叠加法由现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,20,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,图示简支梁中，q、l、ei均为已知。求c截面的挠度c，b截面的转角b 。,1. 将梁上载荷变为右侧所示3种简单荷载作用的情形, 【例7-27】,【解】,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,21,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,【解】,2. 由挠度表查得3种情形下c截面的挠度和b截面的转角,3. 应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,22,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,悬臂梁受力如图所示，q、l、ei均为已知。求c截面的挠度和c 和c 。,1. 首先，将梁上载荷变成有表可查的情形,2将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起挠度和转角, 【例7-28】,【解】,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,23,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,3计算各个简单载荷引起挠度和转角并叠加,【解】,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,24,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,试用叠加法求图示抗弯刚度为ei的简支梁跨中点的挠度c和两端截面的转角a, b 。, 可视为正对称荷载与反对称荷载的叠加, 【例7-29】,【解】, 正对称荷载作用下，有,方法一,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,25,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,反对称荷载作用下有,【解】, 将相应的位移进行叠加,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,26,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,在距a端x处取微段dx，可认为在dx上荷载是均布的，其合力的大小df=qdx。这相当于在简支梁上有一个集中力df作用。在力df作用下通过查表可得它在c处引起的挠度为,【解】,方法二 求挠度c,对上式积分即可得梁截面c处的挠度,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,27,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,试用叠加法求图示梁c截面的挠度。, 【例7-30】,【解】,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,28,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,第7章 平面弯曲,例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。,工程中某些受变构件除了满足强度要求外，还应满足一定的刚度要求，通常是要求变形不能过大，否则会影响其正常工作。,7.5 梁的变形与刚度,29,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,在另一些情况下，人们利用弯曲变形来达到工程中的许多目的。例如在车辆设计中，为了缓冲振动，就要求弹簧系统在工作中能发生设计所要求的弯曲变形。,第7章 平面弯曲,30,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角(或者指定截面处的挠度和转角)限制在一定范围内，即满足弯曲刚度条件：,上述二式中和分别称为容许挠度和容许转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。,例如在土建工程和机械工程中，梁的容许挠度一般分别为,和,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,31,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,钢制圆轴受力fp, fp=20kn, a=lm, l=2m, e=206gpa,其他尺寸如图所示。若轴承b处的容许转角 =0.5。试确定该轴的直径d。,1查表确定b处的转角,b, 【例7-31】,【解】,2根据刚度设计准则 确定轴的直径,考虑到单位的一致性，进行单位换算后，得,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,32,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,图示悬臂梁，已知q=15kn/m，l=2a=2m， e=210gpa， =160mpa， 梁的许可挠度/l=1/500。 试选择工字钢的型号。,1. 按强度选择,查表：选16号工字钢, 【例7-32】,【解】,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,33,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,【解】,2. 按刚度选择,先求最大挠度值,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,34,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,【解】,2. 按刚度选择,查表：选22a号工字钢,最终选择22a号工字钢,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,35,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,提高梁的刚度主要是减小梁的弹性位移。弹性位移不仅与载荷有关，而且与称之为梁长和弯曲刚度(ei)有关，如,主要应从以下四个方面考虑,其中，减小弹性位移除了采用合理的截面形状以增加惯性矩 iz 外，主要是减小梁的长度 l ，当梁的长度无法减小时，则可增加中间支座。, 提高梁的刚度的途径,减小q；,减小l；,增大e；,增大iz 。,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,36,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,采用合理的截面形状与提高梁的强度的措施基本一致，即工程中多采用惯性矩值较大的工字形或箱形截面。, 提高梁的刚度的途径,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,37,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组, 提高梁的刚度的途径,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,38,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组, 提高梁的刚度的途径,减小梁的长度 l 的措施，主要是合理安排约束和适当增加支座。,例如图示承受均布荷载作用的简支梁可以改变约束的位置成为外伸梁，也可以在跨中增加一个辊轴支座成为超静定梁以减小梁的最大挠度值。,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,39,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组, 提高梁的刚度的途径,减小梁的长度 l 的措施，主要是合理安排约束和适当增加支座。,例如车床加工较长的工件时，为了减小切削力引起的挠度，以提高加工精度，可在卡盘与尾架之间再增加一个中间支架。,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,40,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组, 提高梁的刚度的途径,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,41,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组, 提高梁的刚度的途径,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,42,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组, 提高梁的刚度的途径,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,43,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组, 提高梁的刚度的途径,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,44,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组, 提高梁的刚度的途径,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,45,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,求b处反力。, 【例7-33】,【解】,变形协调条件为,补充方程为,解得,查表得,第7章 平面弯曲,7.5 梁的变形与刚度,46,水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组,求杆bc的轴力。, 【例7-34】,【解】, 几何方程 变形协调方程, 取基本结构, 物理方程变形与力的关系,第7章 平面弯曲,7.