近世代数课件--正规子群.ppt

7.5 正规子群、商群与群的同态基本定理 定义7.5.1 设H为群( G, )的一个子群，若对任意的 a G，都有 aH=Ha ，则称 H为 G 的正规子群（ 或不变子群）。 若G 为交换群，则G 的每个子群都是G 的正规子 群；反之，由aH=Ha，不能说明元素a与H中的每 个元素都可交换。 一般的群G ，至少有两个正规子群，一个是G的 最小子群 e ，另一个是G的最大子群G自身。这 两个子群称为平凡的正规子群。 Date数学与计算科学学院 例7.5.1 设( G, )是一个群，令 Cg= c |c G, c g = g c, g G ， 则Cg是G的正规子群。 证 由 e Cg知， Cg是G的非空子集。 对a, b Cg, g G, 因(ab)g=a(bg)=a(gb)=(ag)b=(ga)b=g(ab)， 又 a-1g = (g-1a)-1= (ag-1)-1= ga-1，所以 ab, a-1 Cg， 故Cg是G的子群。 对a G，由于 aCg= ac |c Cg = ca |c Cg = Cga , 因此Cg是G的正规子群。 Date数学与计算科学学院 例7.5.2 H= (1), (12) 是三次对称群 S3 的子群， 但不是正规子群。 因为 (13)H H(13)， (23)H H(23)， 若取 A= (1), (123), (132) ，容易验证: A是S3的 子群，并且是由(123)生成的循环子群。又因为 (1)A= (123)A=(132)A=A(1)=A(123)=A(132)= (1), (123), (132) (12)A= (13)A=(23)A=A(12)=A(13)=A(23)=(12), (13), (23) 因此A是S3 的正规子群。 Date数学与计算科学学院 定理7.5.1 群( G, )的一个子群H是正规子群的充要 条件是：对于 g G ，都有gHg-1 =H。 “” gHg-1=( gH) g-1=(Hg) g-1=Hgga-1=He=H “” gH=( gH )e=gH(g-1g)=( gHg-1) g=Hg 定理7.5.2 群( G, )的一个子群H是正规子群的充要 条件是：对于g G，h H，都有 ghg-1 H 。 “” 由定理7.5.1 即可得。 “” ghg-1 H gHg-1 H H =a(a-1Ha)a-1 a-1Ha = gHg-1 Date数学与计算科学学院 若H是群( G, )正规子群，则H的右(或左)陪集称 为H的陪集。 若H是群( G, )正规子群，则G关于 的商集记作 G/H，即由H的陪集构成的集合，并且 是(G, ) 上的同余关系。定义G/H上的运算如下： HaHb= H(ab), a, b G 于是(G/H, )是一个群，称为为( G, )关于正规子群 H的商群。当G为有限群时，有|G|/|H|=|G/H| Date数学与计算科学学院 定理7.5.3 任意一个群 ( G, )的商群 (G/H, )都是 ( G, )的满同态像。 自然同态 f : G G/H, g Hg 是一个满同态。 研究子群H的一个作用就是可以通过H来推测整个 群G的性质。如果现在是一个正规子群H 的话， 那么就有两个群，正规子群H以及商群G/H可以 利用了。 Date数学与计算科学学院 定义7.5.2 设 f 是从群( G, )到群( G, *)的一个满同 态，则称G 的单位元 i 在 f 下的原像构成的G 的 子集 g | f (g) = i , g G 为满同态 f 的核，记为 Ker f。 例如，f (x, y)=x是从群 (R2, +)到群 (R, +)的满同态, 群(R, +)的单位元是 0 Ker f= (x, y) | f (x, y)=0 = (0, y) | y R Date数学与计算科学学院 定理7.5.4 若 f 是从群( G, )到群( G, *)的一个满同 态，则Ker f是( G, )的正规子群，并且 (G/Ker f ,) ( G, *) 。 例. 如前例 f (x, y)=x，Ker f= (0, y) | y R 。 R2/Ker f = x| x R , x= (x, y) | y R ab = a + b (R2/Ker f ,) (R, +) Date数学与计算科学学院 定理7.5.5 若 f 是从群 ( G, )到群 ( G, *)的一个同 态，并且 H是( G, )的子群，则 H的像 f (H)是群( G, *)的子群；若 f 是满同态，则( G, )的正规子 群N的像 f (N)是群( G, *)的正规子群。 定理7.5.6 若 f 是从群 ( G, )