[高一数学]初高中衔接教材2013最新编辑.doc

第一章 数与式的运算1.1 实数的分类及其基本性质【知识梳理】 有理数都可以写成有限小数(包括整数)或无限循环小数的形式；都可以表示成分数(p、q是互质的整数，q0)反之，能表示成(p、q是互质的整数，q0)形式的数都是有理数无理数是无限不循环小数，不能写成(p、q是互质的整数，q0)的形式有理数与无理数统称为实数，具体分类如下：实数的基本性质：1无界性：没有最大的实数，也没有最小的实数2稠密性：任何两个实数之间有无数多个实数3连续性：全体实数和数轴上的所有点是一一对应的4有序性：任何两个实数都可以比较大小给定两个实数a、b，则ab、a=b、ab三者之中有且仅有一个成立在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大5运算的封闭性：任何两个实数的和、差、积、商(除数不为零)一定是实数；任何一个实数都可以开奇次方，其结果是实数；只有当被开方数是非负实数时，才能开偶次方，其结果是实数任何两个有理数的和、差、积、商(除数不为零)一定是有理数；但无理数不具有上述性质设m为有理数，n为无理数，则m+n、mn是无理数；若m0，则mn、都是无理数；若m=0，则mn、是有理数6实数的运算满足交换律、结合律、分配律【例题讲解】【例1】 下列各数：1、3、+1、0.12113111411115、2+、中，哪些是整数？哪些是有理数？哪些是无理数？【解】以上各数中为整数的是：1、3、；为有理数的是：1、3、；为无理数的是：、+1、0.12113111411115、2+【例2】 若x是实数，下列说法对吗？若不对，请给出成立的条件(1) x0； (2)2x是偶数； (3)|x|x； (5)(x)2= x2 ； (6)3x2x【解】(1) 不对，当x0时成立； (2) 不对，当x是整数时成立；(3) 不对，当x0时成立； (4) 对；(5) 不对，当x=0时成立； (6) 不对，当x0时成立 【例3】 比较下列各组数的大小(1)2与3；(2)+与+2【解】 (1) 因为2=，3=， 因为，所以23 (2) 因为(+)2=7+2，(+2)2=7+4=7+2， 因为7+27+2，所以+b，a=b，ab三种关系中的一种比较两个实数的大小方法有很多，可以通过变形(如本题(1)、(2)后进行判断；也可以利用数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大来进行判断；还可以把实数化成小数后进行判断另外还有“比差法”与“比商法”等【例4】 若3+a=2b，求有理数a和b的值【解】 因为3=2b，a = ，所以a = ，b = 【说明】 设p为无理数，a、b、c、d为有理数，且b0，d0，若a+bp=c+dp，则必有a=c，b=d【例5】 求无理数的纯小数部分【解】 因为34，所以是整数3与一个小于1的正小数(即纯小数)的和，所以的纯小数部分为3【说明】 无理数是无限不循环小数，每一个无理数都能写成一个整数与一个小于1的正的纯小数之和的形式【练习1.1】1下列各数：2、0.35、0.12112111211112、2中，哪些是整数？哪些是有理数？哪些是无理数？2若a是实数，下列说法对吗？若不对，请给出成立的条件(1) a20；(4) a2a；(5)(a)3 = a3；(6) a2a3比较下列各组数的大小(1) 5与7；(2) +与+ 4(1)若ab0，比较|a|与|b|的大小；(2)若ab0，比较a、|b|、ab的大小5求无理数的纯小数部分6已知(2a1)2=9，求a的值7写出绝对值小于的所有整数8设a、b是正有理数且(a+)a+(b)b=25+，求a、b的值1.2 绝对值及其几何意义【知识梳理】数轴上表示一个数的点到原点的距离，叫做这个数的绝对值其代数意义就是：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是0即：|a|的几何意义是数轴上表示数a的点与原点间的距离|ab|的几何意义是数轴上表示数a的点与表示数b的点间的距离绝对值有如下运算性质：(1) |ab|=|a|b|；(2) (b0)；(3) |a|b|a+b|a|+|b|；左边的等号当且仅当ab0时取到，右边的等号当且仅当ab0时取到；(4) |a|b|ab|a|+|b|；左边的等号当且仅当ab0时取到，右边的等号当且仅当ab0时取到【例题讲解】【例1】 化简：(1) |2x1|；(2) |x1|+|x3|【解】 (1)本题分2x10、2x10两种情况讨论：1o 当x时，2x10，原式=2x1，2o 当x时，2x10，原式=12x，即：|2x1|=(2)本题分x1、1x3、x3三种情况讨论：1o 当x1时，x10，x30，原式= 42x；2o 当1x3时，x10，x30，x30，原式= 2x4，即：|x1|+|x3|=【例2】若a、b、c是非零实数，求M=的值【分析】 在a0时为1，在a0时为1，所以M的值与a、b、c的正负及正负的个数有关【解】 当a、b、c中三个全是正数，M=4；当a、b、c中两个为正数、一个为负数，M=0；当a、b、c中两个为负数、一个为正数，M=0；当a、b、c中三个全是负数，M= 4【例3】 解方程：(1) |x1|=1； (2) x|x|2|x|3=0【解】 (1)根据绝对值的意义，x1=1或x1= 1，即x=2或x=0；(2)当x0时，原方程可化为：x22x3=0，解得：x=3或x= 1，但x0，故x= 1舍去；当x21x图1.2102【解】 (1)根据绝对值的几何意义知不等式|x1|1的解为到点1距离小于或等于1的所有点所对应的实数，由图可知为：0x2；311x图1.22(2)根据绝对值的几何意义知不等式|x+1|2的解为到点1距离大于2的所有点对应的实数，由图可知为：x1【说明】 本题也可以从整体换元的角度直接做，如第(1)题，我们把x1看成a，则有|a|1，有1a1，即1x11【例5】(1)解方程：|x+1|+|x1|=2；(2)若关于x的方程|x+1|+|x1|=a有解，求实数a的取值范围【分析】 本题可以像例1一样采取零点分段法去绝对值符号，现在我们从绝对值的几何意义角度来思考这个问题【解】 (1)此方程的几何意义为：数轴上表示数x的点到表示数1的点与表示数1的点的距离之和为2考察数轴上的点可知：方程|x+1|+|x1|=2的解为：1x1的一切实数(2)代数式|x+1|+|x1|的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示数1的点与表示数1的点的距离之和，易知此距离的最小值为2，所以当a2时方程有解故实数a的取值范围是：a2【练习1.2】1下列命题中哪些是真命题？(1)|ab|=|a|b|；(2)|ab|=|ba|；(3)若|a|=b，则a=b；(4)若|a|b|，则ab；(5)|a+b|=|a|+|b|2若|a2|=2a，求实数a的取值范围3化简：(1)； (2)|；(3)|1+| (a0)； (4)|1m| (1m2；(2)|x3|0得：a 2，故当a 2，此方程的解为正数【例2】解关于的方程：(1)；(2)解：(1) 由原方程得， 当时，方程的解是；当时，方程的解是任意实数；(2) 由原方程得，当ab0且a+b0时，方程的解是；当ab0且a+b=0时，方程无解；当ab=0时，方程的解是任意实数【例3】解含有绝对值的方程：(1) 解方程：|2x 1| = |3x+1|； (2)求关于x的方程的解【解】解法一：2x1=3x+1或2x1 = (3x+1) ， x = 2 或 x = 0；解法二：两边平方得：(2x1)2 = (3x+1)2 ，整理得： x2+2x=0， 解得：x= 0或x = 2【说明】 一般我们在处理去绝对值时可以考虑用平方法替代分类讨论简化计算(2)原方程化为需根据a的取值范围进行分类讨论：当 a 3时，原方程化为 或 ，解得：或【例4】当k、m分别为何值时，关于x、y的方程组至少有一组解【解】当时，方程组有无穷解，当k2k1时，方程组有唯一解，所以当k1或k=1且m=4时，方程组至少有一组解【说明】一般地，当且仅当时，方程组有无穷解，当且仅当k1 k2时，方程组有唯一解，当且仅当时，方程组无解【例5】 解关于x、y的方程组： (ab0，|a|b|)【解】 两式相减整理得：(ab)x = (ab)y，因为 ab0，|a|b|，得：x=y， 回代任一方程可得x=1，同理y=1，所以，原方程组的解是【例6】 已知方程组在什么情况下方程组有唯一解？无解？ 有无数多组解？ 【解】 由(1)得：x=32y (3)将(3)代入(2)得：2(32y)+my=n，即：(m4)y = n6，当m 4时，代入(3)得：,当m = 4，n = 6时，y可取一切实数，得：满足x+2y = 3的一切实数对 当m = 4，n 6时，代入(1)，方程无解，所以(1) 当m 4时， ，(2) 当m = 4且n 6时，无解，(3) 当m = 4且n = 6时，有无数多组解【说明】 由图像法解二元一次方程组 (a1、b1、c1、a2、b2、c2都是已知非零实数，若有零，则单独检验)，可有三种情况：(1) 当时，两直线相交于一点，原方程组有一个解；(2) 当时，两直线重合，原方程组有无数个解；(3) 当时，两直线平行，原方程组无解【例7】 不论l取什么实数，方程(2l1)x+(l+3)y(l11)=0是否总有定解，如存在请求出这组解，如不存在请说明理由【解】解法一 令l=0，得：x+3y+11=0 ，令l=1，得：x+4y+10=0 ，解、所组成的方程组，解之得：，现将代入已知方程的左边，得：(2l1)2+(l+3)(3)(l11)=4l23l9l+11=0，这表明不论取什么实数，所给方程均有定解解法2：化简原方程为：(x+3y+11)+l(2x+y1) = 0，由，再将点代入已知方程的左边，(2l1)2+(l+3)(3)(l11)=4l23l9l+11=0，这表明不论取什么实数，所给方程均有定解【说明】 一般我们对于含有参数的题目，会通过参数分离法进而得出恒定方程此题的另一个结论就是：这条直线恒经过点(2, 3)【练习2.1】1解关于x的方程：(1) ；(2) (a1)(a4)x=a2(x+1)2解关于x的方程：(1)；(2)3解关于的方程组4当和取何值时，直线和直线互相平行？5已知：直线，不论为何实数，直线恒过一定点，求点M的坐标6已知直线l：5ax5ya+3=0，求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限7已知两直线和都经过点，则经过两点，的直线方程是，为什么？2.2 一元一次不等式(组)【知识梳理】一元一次不等式经过变形均可化为axb或axb或axbax0a0无解一切实数b=0无解无解b0一切实数无解由几个含有同一个未知数的一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组不等式组的解应使不等式组中所有不等式都成立，因此不等式组的解是不等式组中所有不等式的解的公共部分【例题讲解】【例1】解不等式【解】 不等式两边同乘以2得：4x(x+3)2+x，整理得：2x5，所以x1，解不等式(2)，得x ，所以不等式组的解是1 1，不等式的解集为一切实数；(3) 当时，原不等式的解集为【例4】求关于的不等式组的解解：由(1)得x1应分以下两种情形讨论： 当a1时，原不等式组无解； 当a1时，原不等式组的解集为1x0，y随着x的增大而增大，由此可得： 4y22。【说明】 在直角坐标内作出方程y3x=7的图像，通过观察图像得出y的取值范围，也很直观【例6】若关于x的不等式：的任何一个解x都小于(1)求a的取值范围；(2)求a的最小整数值【解】(1)不等式两边同乘以5，得：32x+55a，整理得：2x85a，所以x ”、“ ”若，则_；若，则_；若，则_；若，则_；2若不等式的解是，则得取值范围_ 3解关于x的不等式：(1)；(2)4设关于x的不等式的解集为x0时，方程(*)有两个不相等的实根 ；(2) 当=0时，方程(*)有两个相等的实根 ；(3) 当0；(2) 当方程(*)有两个相等的实根时，=0 ；(3) 当方程(*)没有实根时，2 (B)k2且k1 (C)k2且k1(2)若x1、x2是方程2x26x+3=0的两个根，则的值为 ( )(A) 2(B) 2 (C) (D) (3)已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程的根，则等于 ( )(A) 3(B) 5 (C) 5或3 (D) 5或3(4)若实数ab，且a、b满足，则的值为 ( )(A) 20(B) 2 (C) 2或20(D) 2或202填空题(1) 若方程的两根之差为1，则的值是 _ (2) 设x1、x2是方程x2+px+q=0的两实根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两实根，则p= ，q= 3解方程：(1)；(2)4a为何值时，关于x的分式方程无解？5已知关于x、y的方程组有两个相等的实数解，求m的值及这个方程组的解6已知：关于的方程恰有三个实数根，求的值2.4 一元二次方程根与系数的关系的应用【知识梳理】韦达定理：方程ax2+bx+c=0 (a0)的二实根为x1、x2，则，若y=f(x)与x轴有交点(x0, 0)f(x0)=0，若y=f(x)与y=g(x)有交点(x0，y0) f(x)=g(x)有解x0设一元二次方程为ax2+bx+c=0 (不妨设a0)，对应的二次函数为y=ax2+bx+c (a0)借助于函数图像，可以从判别式、对称轴、区间端点对应函数值符号三个方向进行分析，可以得到如下规律：一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)无实根二次函数y=ax2+bx+c(a0)图像恒在x轴上方0)1若ax2+bx+c=0有两个实数根x1、x2，若x1、x2均大于实数m，则必有：，反之亦然，(或)；2若ax2+bx+c=0