2019届高考数学二轮复习专题六函数与导数不等式第4讲导数与函数的单调性极值最值问题课件理.pptx

第4讲讲 导导数与函数的单调单调 性、极值值、最值问题值问题 高考定位 利用导数研究函数的性质，能进行简单的定积分计算，以含指数函 数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解 决简单的问题. 1.(2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0， 0)处的切线方程为( ) A.y2x B.yx C.y2x D.yx 解析 因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以f(x)f(x)，可得a1， 所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，0)处的 切线方程为yx. 答案 D 真 题 感 悟 2.(2017全国卷)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为( ) A.1 B.2e3 C.5e3 D.1 解析 f(x)x2(a2)xa1ex1， 则f(2)42(a2)a1e30 a1， 则f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1， 令f(x)0，得x2或x1， 当x1时，f(x)0；当2x1，设tf(x1)f(x2)(a2)(x1x2)，试证 明t0. (2)证明 由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当a2. 由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2ax10， 所以x1x21. 又x2x10，所以x21. 又tf(x1)f(x2)(a2)(x1x2) 1.导数的几何意义 函数f(x) 在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，曲线f(x)在点P 处的切线的斜率kf(x0)，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0). 易错提醒 求曲线的切线方程时，要注意是在点P处的切线还是过点P的切线，前 者点P为切点，后者点P不一定为切点. 考 点 整 合 2.四个易误导数公式 3.利用导数研究函数的单调性 (1)导数与函数单调性的关系. f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递 增，但f(x)0. f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f(x)0时 ，则f(x)为常数函数. (2)利用导数研究函数单调性的方法. 若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或 f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值. (2)设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和 最小值且在极值点或端点处取得. 易错提醒 若函数的导数存在，某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要而 不充分条件. 热点一 导数与定积分的几何意义 【例1】 (1)(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ln(x)3x，则曲线y f(x)在点(1，3)处的切线方程是_. 解析 (1)令x0，则x0或 f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值. 所以f(x)0.所以2不是f(x)的极小值点. 探究提高 1.本题利用导数的几何意义曲线在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，求a 值，切记，需检验切线是否与x轴重合. 2.(1)可导函数在极值点处的导数一定为零，但导数为零的点不一定是极值点，是极 值点时也要注意是极大值点还是极小值点. (2)求函数f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函 数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值. 【训练3】 已知函数f(x)excos xx. 解 (1)f(x)excos xx，f(0)1， f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0， yf(x)在(0，f(0)处的切线方程为y10(x0)，即y1. (2)f(x)ex(cos xsin x)1，令g(x)f(x)， g(x)g(0)0，f(x)0且仅在x0处等号成立， 令f(x)0，即x2ax10，其中a24. 当a240时，即2a2时，x2ax10恒成立. f(x)0，则f(x)在(0，)上递增，函数无极值点. 若a2，则x10， 当x(x1，x2)时，f(x)0， 即h(x)0，h(x)单调递 增. 因此x1为h(x)的极小值点，即h(x)h(1)e1，故ae1. 探究提高 1.求函数f(x)的极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的 左右附近函数值的符号. 2.若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来 求解. 【训练4】 已知函数f(x)ax1ln x(aR). (1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数； (2)若函数f(x)在x1处取得极值， x(0，)，f(x)bx2恒成立，求实数b的最 大值. 当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，函数f(x)在(0，)上单调递 减. f(x)在(0，)上没有极值点. 综上，当a0时，f(x)在(0，)上没有极值点； 当a0时，f(x)在(0，)上有一个极值点. (2)函数f(x)在x1处取得极值， f(1)a10，则a1，从而f(x)x1ln x. 则g(x)在(0，e2)上单调递 减，在(e2，)上单调递 增， 1.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，这些单调区间不能用“”连接 ，而只能用逗号或“和”字隔开. 2.可导函数在闭区间a，b上的最值，就是函数在该区间上的极值及端点值中的 最大值与最小值. 3.可导函数极值的理解 (1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于 极大值； (2)对于可导函数f(x)，“f(x)在xx0处的导数f(x0)0”是“f(x)在xx0处取得极值” 的必要不充分条件； (3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的 极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点. 4.求函数的单调区间时，若函数的导函数中含有带参数的有理因式，因式根的个 数、大小、根是否在定义域内可