2018_2019高中数学第三章不等式3.4.1基本不等式的证明学案苏教版.docx

3.4.1基本不等式的证明学习目标1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式知识点一算术平均数与几何平均数思考如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQa，BQb，过点Q作PQ垂直于AB且交圆O于点P，连结AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？答案PO.易证RtAPQRtPBQ，那么PQ2AQQB，即PQ.梳理一般地，对于正数a，b，为a，b的算术平均数，为a，b的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即.知识点二基本不等式及其常见推论(a0，b0)当对正数a，b赋予不同的值时，可得以下推论：(1)ab2(a，bR)；(2)2(a，b同号)；(3)a2b2c2abbcca(a，b，cR)1对于任意a，bR，a2b22ab，ab2均成立()2.()3若a0，b0，则ab恒成立()类型一常见推论的证明例1证明不等式a2b22ab(a，bR)考点基本不等式的理解题点基本不等式的理解证明a2b22ab(ab)20，a2b22ab.引申探究证明不等式2(a，bR)证明由例1，得a2b22ab，2(a2b2)a2b22ab，两边同除以4，即得2，当且仅当ab时，取等号反思与感悟作差法与不等式性质是证明中常用的方法跟踪训练1已知a，b，c为任意的实数，求证：a2b2c2abbcca.考点基本不等式的理解题点基本不等式的理解证明a2b22ab；b2c22bc；c2a22ca，2(a2b2c2)2(abbcca)，即a2b2c2abbcca，当且仅当abc时，等号成立类型二用基本不等式证明不等式例2已知x，y都是正数求证：(1)2；(2)(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3.考点基本不等式证明不等式题点运用基本不等式证明不等式证明(1)x，y都是正数，0，0，22，即2，当且仅当xy时，等号成立(2)x，y都是正数，xy20，x2y220，x3y320.(xy)(x2y2)(x3y3)2228x3y3，即(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3，当且仅当xy时，等号成立反思与感悟利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项：(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”(2)注意事项：多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用跟踪训练2已知a，b，c都是正实数，求证：(ab)(bc)(ca)8abc.考点基本不等式证明不等式题点运用基本不等式证明不等式证明a，b，c都是正实数，ab20，bc20，ca20.(ab)(bc)(ca)2228abc.即(ab)(bc)(ca)8abc，当且仅当abc时，等号成立类型三用基本不等式比较大小例3某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则x与的大小关系为_考点基本不等式比较大小题点利用基本不等式比较大小答案x解析第二年产量为AAaA(1a)，第三年产量为A(1a)A(1a)bA(1a)(1b)若平均增长率为x，则第三年产量为A(1x)2.依题意有A(1x)2A(1a)(1b)，a0，b0，x0，(1x)2(1a)(1b)2，1x1，x(当且仅当ab时，等号成立)反思与感悟基本不等式一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和跟踪训练3设ab1，P，Q，Rlg，则P，Q，R的大小关系是_考点基本不等式比较大小题点利用基本不等式比较大小答案PQ0，lglg(lgalgb)，即RQ.综合，有PQR.1若0ab，则a，b的大小关系由小到大是_考点基本不等式比较大小题点利用基本不等式比较大小答案ab解析0aab，b.ba0，aba2，a.ba0，.故ba.2下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是_lg(x21)lg(2x); x212x；1; x2.考点基本不等式的理解题点基本不等式的理解答案解析对于，当x0时，无意义，故不恒成立；对于，当x1时，x212x，故不成立；对于，当x2，故.4lg9lg11与1的大小关系是_考点基本不等式比较大小题点利用基本不等式比较大小答案lg9lg110，lg110，lg9lg1122221，即lg9lg110，b0，给出下列不等式：a21a；4；(ab)4；a296a.其中恒成立的是_(填序号)考点基本不等式的理解题点基本不等式的理解答案解析由于a21a20，故恒成立；由于a2，b2，4，当且仅当ab1时，等号成立，故恒成立；由于ab2，2，故(ab)4，当且仅当ab时，等号成立，故恒成立；当a3时，a296a，故不恒成立综上，恒成立的是.1两个不等式a2b22ab与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当时，取等号”这句话的含义要有正确的理解一方面：当ab时，；另一方面：当时，也有ab.2.在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式一、填空题1a，bR，则a2b2与2|ab|的大小关系是_考点基本不等式的理解题点基本不等式的理解答案a2b22|ab|解析a2b22|ab|(|a|b|)20，a2b22|ab|(当且仅当|a|b|时，等号成立)2若a，bR且ab0，则下列不等式中恒成立的是_a2b22ab; ab2；2.考点基本不等式的理解题点基本不等式的理解答案解析a2b22ab(ab)20，错误；对于，当a0，b0，22，当且仅当ab时，等号成立3若x0，y0且xy4，则的最小值为_考点基本不等式比较大小题点利用基本不等式比较大小答案1解析若x0，y0，由xy4，得1，(xy)(22)1，当且仅当xy2时，等号成立4如果正数a，b，c，d满足abcd4，那么ab_cd.(填，)考点基本不等式的理解题点基本不等式的理解答案解析因为abcd4，所以由基本不等式得ab2，故ab4.又因为cd，所以cd4，所以abcd，当且仅当abcd2时，等号成立5设f(x)lnx,0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，则p，q，r的大小关系是_考点基本不等式比较大小题点利用基本不等式比较大小答案prq解析因为0a.又因为f(x)ln x在(0，)上单调递增，所以ff()，即pq.而r(f(a)f(b)(ln aln b)ln(ab)ln，所以rp，故pr1,0b1,0b1，logab0.logablogbalogab22.logablogba2.当且仅当logablogba，即ab1时，取等号logablogba(，27设正数a，使a2a20成立，若t0，则logat_loga.(填“”“”“”或“”)考点基本不等式比较大小题点利用基本不等式比较大小答案解析a2a20，a1或a2(舍)，ylogax是增函数，又，logalogalogat.8设a，b为非零实数，给出不等式：ab；2；2.其中恒成立的不等式是_考点基本不等式的理解题点基本不等式的理解答案解析由重要不等式a2b22ab，可知正确；2，可知正确；当ab1时，不等式的左边为1，右边为，可知不正确；当a1，b1时，可知不正确9已知abc，则与的大小关系是_考点基本不等式比较大小题点利用基本不等式比较大小答案解析因为abc，所以ab0，bc0，所以，当且仅当abbc时，等号成立10设a1，mloga(a21)，nloga(a1)，ploga(2a)，则m，n，p的大小关系是_(用“”连接)考点基本不等式比较大小题点利用基本不等式比较大小答案mpn解析a1，a212aa1，loga(a21)loga(2a)loga(a1)，故mpn.二、解答题11设a，b，c都是正数，求证：abc.考点基本不等式证明不等式题点运用基本不等式证明不等式证明a，b，c都是正数，也都是正数，2c，2a，2b，三式相加得22(abc)，即abc，当且仅当abc时，等号成立12已知a0，b0，ab1，求证：(1)8；(2)9.考点基本不等式证明不等式题点运用基本不等式证明不等式证明(1)2，ab1，a0，b0，2224，8(当且仅当ab时，等号成立)(2)方法一a0，b0，ab1，112，同理，12，52549，9(当且仅当ab时，等号成立)方法二1.由(1)知，8，故19，当且仅当ab时，等号成立13已知a，b，c为正实数，且abc1.求证：8.考点基本不等式证明不等式题点运用基本不等式证明不等式证明a，b，c均为正实数，且abc1，1，同理1，1.由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘得8.当且仅当abc时，等号成立三、探究与