蒙伟-拟Toeplitz带状矩阵线性方程组的并行算法(最终版).doc

咸阳师范学院 2010 届本科毕业论文（设计） I 拟拟 Toeplitz 带状矩阵线性方程组的并行算法带状矩阵线性方程组的并行算法 蒙 伟 （咸阳师范学院 数学与信息科学学院 陕西 咸阳 712000 ） 摘摘 要要 本文主要研究了 Toeplitz 矩阵线性方程组的并行算法。首先介绍了 Toeplitz 矩阵的 定义、分类及半正定性等，然后分别给出了三对角 Toeplitz 线性方程组、拟对称七对 角 Toeplitz 线性方程组的并行算法的误差分析。最后，用 Matlab 语言编写了算法程序， 通过实例计算，结果表明本文算法是可行的，并且验证了理论分析与实际计算的结果 是一致的。 关键词：关键词：Toeplitz 矩阵；Toeplitz 线性方程组；误差分析；并行算法；并行性分析； 拟对称七对角 Toeplitz 线性方程组 拟 Toeplitz 带状矩阵线性方程组的并行算法 II Parallel Algorithm for Solving Banded quasi-Toeplitz Matrix Linear Equations Meng wei (School of Mathematics and Information Science of Xianyang Normal University Xianyang 712000) Abstract This paper studies parallel algorithm of the Toeplitz matrix linear equations. Firstly, I introduce the definition, classification, and semi-positive definite of Toeplitz matrix and so on, and then give the error analysis of parallel algorithm for solving the three-diagonal Toeplitz matrix linear equations and quasi-symmetry seven diagonal Toeplitz matrix linear equations. Finally, I program the algorithm procedure using Matlab software. The results show that the algorithm is feasible, and the theoretical analysis is consistent with the result of practical calculation. KEY WORDS：Toeplitz matrix; Toeplitz matrix linear equations; Error analysis; Parellel algorithm; Quasi-symmetry seven diagonal Toeplitz matrix linear equations III 目目 录录 摘 要I Abstract.II 前 言.1 1 Toeplitz 矩阵及其性质.3 1.1 Toeplitz 的定义 3 1.2 Toeplitz 的半正定性 4 2 三对角 Toeplitz 矩阵线性方程组的并行算法5 2.1 并行算法.5 2.2 误差分析.8 2.3 并行性分析.9 2.4 算例.10 3 拟对称七对角 Toeplitz 矩阵线性方程组的并行算法11 3.1 并行算法11 3.2 误差分析.16 4 结论.17 参 考 文 献.18 附 录.19 谢 辞.24 咸阳师范学院 2010 届本科毕业论文（设计） 1 前前 言言 Toeplitz 矩阵是数学和工程中应用广泛的特殊矩阵之一。由于工程中许多典型问题 都涉及 Toeplitz 线性方程组的求解，所以有必要就 Toeplitz 线性方程组的求解进行详细 介绍。利用 Toeplitz 矩阵具有的非正常特殊的结构，我们可以由三对角 Toeplitz 矩阵线 性方程组的并行算法得出对称七对角 Toeplitz 矩阵线性方程组的并行算法。 随着高性能并行机的出现，为了更好的利用并行机，研究并行算法已知变的越来 越重要了。在许多的工程问题中出现 Toeplitz 矩阵的线性方程组的求解问题，研究该 问题的并行算法具有重要的现实意义。目前，对于对称三对角 Toeplitz 线性方程组的 并行算法的研究，已获得了良好的结果，并利用此推广到了对称五对角 Toeplitz 线性 方程组的求解，在此我先对 L.EGarey 的研究过程作简要的介绍。 首先，我们先看看 L.EGarey 对五对角的处理过程 1112131415 1514131211 0 0 aaaaa aaaaa A B 由 ，可得 拟 Toeplitz 带状矩阵线性方程组的并行算法 2 1 1 1 1 1 1 1 1 D ， 21D DD 11 11 ， dD 11 12 ， dD 计算 2 )2(4 2 21 ， d FDD 22 00 0 b F 2 2 2 2 1 11 11 1 d d d a D 进行 LU 分解得： 1 1 1 1 b b L a a a a U 1 1 1 1 ，且 2 dba1ab1a1b )( )( 2 2 kDZ ZmD S T )( )( 2 2 kFO OmF T 在中，是一个阶的形式的矩阵，是阶零矩阵。S)( 2 i D kmi，ii 2 D Zkm 在中，是一个阶的形式的矩阵，是只有其它位置为T)( 2 iFkmi，iiFO1 1 , m e 0 的矩阵。只有 4 个非零元素：T ，1 1, 1 mmmm ttbtt mm 1, 11 , 1 即 咸阳师范学院 2010 届本科毕业论文（设计） 3 （a） m bxmD )( 2 （b） k bxkD )( 2 )()( 1 1 11 2 1 brqxbqrxxb b pxbxx mmm 误差分析： X b b bXD t 2 2 1 2 QZpZXX n 1 这就是 L.EGarey 对五对角线的主要处理过程。 在本文中，我们利用此思想，在文章的第一章中给出 Toeplitz 的定义和其性质， 其次在第二章介绍三对角 Toeplitz 矩阵的线性方程组的算法，在第三章给出特殊对称 七对角线性方程组的算法，并给出了误差分析。通过上机计算表明，理论与实际是一 致的。 1 Toeplitz 矩阵及其性质矩阵及其性质 1.1 Toeplitz 的定义的定义 在数学和工程（例如信号处理与系统理论等）问题中，常常需要求解具有特殊结 构的线性方程组，其中bAX （1.1） n ji ji n n n a aaa a aaa aaaa aaaa A 0 01 1 012 1101 210 ， 这种形式取的矩阵称为 Toeplitz 矩阵。因此，任何一条对角线取相同 n ji ji aA 0 ， 元素的矩阵是 Toeplitz 矩阵，之所以称为 Toeplitz 矩阵，乃是这种特殊矩阵是 Toeplitz 于 1900 年代初在研究与 Laurent 级数有关的双线性函数的一篇论文中提出来的。 最常见的 Toeplitz 矩阵为对称 Toeplitz 矩阵，即其元素还满足对称关 n ji ji aA 0 ， 拟 Toeplitz 带状矩阵线性方程组的并行算法 4 系，可见，对称 Toeplitz 矩阵仅由其第 1 行元素就可完全描述， ii aa ni，21 因此，常将对称 Toeplitz 矩阵简记作。A n aaaA， 10 Toep 若一个复 Toeplitz 矩阵的元素满足复共轭对称关系，即 ii aa （1.2） 011 1 012 1101 210 aaaa a aaa aaaa aaaa A nn n n 则称之为 Hermitian Toeplitz 矩阵 特别地，具有特殊结构 （1.3） 0 0 11 1 012 1101 21 aaa a aaa aaaa aaa A nn n n 的维 Toeplitz 矩阵称为 Hermitian Toeplitz 矩阵；而) 1() 1(nn （1.4） 011 1 012 1101 210 aaaa a aaa aaaa aaaa A nn n n 称为 Hermitian Toeplitz 矩阵。式中，为实数，显然，一个斜 Hermitian 型 0 a Toeplitz 矩阵可以写作，其中，为斜 Hermitian Toeplitz 矩阵，斜A s AIaA 0s A Hermitian Toeplitz 矩阵和斜 Hermitian 型 Toeplitz 矩阵在求解离散化的双曲差分方程 时经常会遇到。 1.2 Toeplitz 的半正定性的半正定性 Toeplitz 矩阵在数学和工程中有着广泛的应用。例如，在信号处理中，有赖于通过 求解 Toeplitz 矩阵方程组获得的参数包括：递推数字滤波器的系数，一维和二维平稳 回归（AR）模型的 AR 参数等，又如，信号和图像的恢复也可归结为 Toeplitz 矩阵方 程组的求解，其他的应用例子有：偏微分方程和卷积型方程的求解，Pade 逼近和控制 咸阳师范学院 2010 届本科毕业论文（设计） 5 理论中的最小实现问题等。 考查式（1.1）的对称 Toeplitz 矩阵，令其主子式为 ， （1.5） kk AD nk，10 则是正定的，当且仅当，然而，值得指出的是，类似的结论对 k A0 k Dnk 0 于对称 Toeplitz 矩阵的半正定性却不一定成立。更具体地说，这 k A0 k Dnk 0 一事实对于的半正定性并不是充分条件，请看一个反例： k A （1.6） 00 000 00 2 a a A 在这个例子中，但是，删去矩阵的第 2 行和第 2 列组成的主子0 210 DDD 式都不大于或等于零时，对称 Toeplitz 矩阵才是半正定的，显然，这一条件的判断比 较麻烦，下面给出了对称 Toeplitz 矩阵半正定性的一种简单检验方法，它不需要计算 任何主子式。 令，是一个对称 Toeplitz 矩阵，若是满足正定和 jip rR pji， 0,m 1m R 条件的最小正整数，则矩阵，是半正定的，当且仅当系数服0 m D p Rmp miri， 从递归方程 ， （1.7） m k kimi rkar 1 )(pmmi，21 式中，为模型的系数。)(kammk 1)(AR m Toeplitz 矩阵具有以下性质： （1）Toeplitz 矩阵的线性组合仍然为 Toeplitz 矩阵； （2）若 Toeplitz 矩阵的元素，则为对称 Toeplitz 矩阵；A jiij aa A （3）Toeplitz 矩阵的转置仍然为 Toeplitz 矩阵； T A （4）Toeplitz 矩阵的元素相对于交叉对角线对称。 2 三对角三对角 Toeplitz 矩阵线性方程组的并行算法矩阵线性方程组的并行算法 2.1 并行算法并行算法 设方程组 拟 Toeplitz 带状矩阵线性方程组的并行算法 6 （2.1）fAX 其他 ac bac ac bac ba A cba 当时， （1）转化成cb （2.2） b f X b A 设，将进行如下分裂：A b A 1 f b f 1 A （2.3）FAA 其中 ， 00 0 F ac ac ac A 1 1 1 ac ac a A 1 其中，且，。 b a a b c c 1 cca1 可分解为：A 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 其中 咸阳师范学院 2010 届本科毕业论文（设计） 7 （2.4） c a 由（2.4）知取的解 2 4 caa 1 设TSA 其中 ， )( )( kAO OmA S )( )( 2 1 kFT TmF T 即： ac ac a ac ac a S 1 1 1 1 0 1 0 0 c T 首先求解方程组： ，fXS 显然可以化为两个方程组：fXS m fXmA)( k fXkA)( 这就把一个大方程组分解成两个小的方程组求解。如此类推我们可以把一个大方 程组分解成 3 个，4 个甚至更多，从而方便了方程组的并行求解。 由，fXTSXA)( 拟 Toeplitz 带状矩阵线性方程组的并行算法 8 我们可以推得 )( 11111 11 mmmmm exxcexexAXXTAXX 所以只需求解以下三个方程： ， 1 eAp m eqA 1 m erA 按照文献1中的方法取 00 2 ， t p ,0000 1 ， tt tm q 0000 2 ， t m r 其中为中的根，即。由于01 2 ac1 c 1 1 1 t t t t eceecpA tm t tm t mm eceeceqA 1 11 tm t tm t mm eeceecrA 1 11 所以 )( 1 )( 1 )( 1 1 11tmtmtmtm t m eeceeerqA )( )1 ( 1 qrA c )( )1 ( )( )1 ( 111tmtm t tmtm t m eec c ece c e 因而解的近似解XX （2.5）)()( 1 1 1 111 rqxqr c xcx p c x XX m mm 通过如上的推理我们得到了近似解的表达式（2.5） 。 2.2 误差分析误差分析 在此，我们进行如下的误差分析： 因为 咸阳师范学院 2010 届本科毕业论文（设计） 9 )()()1( 1 111tmtmmtt t eecxeexfXA )( 1 11tmtmmmm t eexxx 取向量的无穷范数，那么有 t mmm m t c xxx xcxfXA 11 )1 (max 1 ， cX t ，2max 1 我们可以得到如下结论。 定理定理：由（2.4）式得到的近似解，那么满足XX cXfXA t ，2max 1 由此可见，得好坏直接取决于 的大小，若要求，Xt k fXA 10 只需 ， k t X c 10 1 由此可得到： （2.6） lg lg2maxlg)1lg(Xck t ， 由于，所以若要达到精度要求，矩阵的阶数应大一些。当矩阵中时tm Abc 就是一个对称的。只要把 用 进行替代就可以处理三对角对称情形。Acb 2.3 并行性分析并行性分析 为了方便起见，我们不妨设，是处理机台数，每台处理机求 st mpn p 解需要的时间为： iiii fXUL ) 1(2) 1(2 1 mmT 在修正过程需要时间运算量为： 3) 1(3 2 tT 并行通讯二次需要时间为： 拟 Toeplitz 带状矩阵线性方程组的并行算法 10 22 3 T 并行计算时间为： 321 TTTT 串行元素按时间为： ) 1(3) 1(4tnT 所以 并行加速比为： 22334 ) 1(3) 1(4 tm tn T T s 并行效率 按照并行算法的意义在时， P S E n1E 可见该并行算法具有良好的并行性。 2.4 算例算例 方程中，为一 120 阶非对称 Toeplitz 矩阵fAX A 6 . 194 2 6 . 194 6 . 194 2 6 . 194 2 6 . 19 A 1 1 1 f 我们求得方程组的近似解X 要求，由（2.6）式可得取 6 10 2 1 fAX8t10t 实际计算结果得： 0065027 . 1 efXA 我们举第二个例子如下： 94 394 94 394 39 A 1 1 1 f 咸阳师范学院 2010 届本科毕业论文（设计） 11 要求，由（2.6）式可得取 6 10 2 1 fXA24t24t 实际计算解果得： 0066937 . 0 efXA 近似解和精确解的误差在分裂后生成的误差都小于这就意味着XXX 6 103 . 0 解的各个分量误差均小于，解的符合性较好。 6 1013 . 0 其中为把矩阵进行 LU 分解时的下三角矩阵中的元素，为非对称矩阵修正时 c 的 ，是修正方程的近似解。由程序的运行结果和理论计算非常的接近，满足误差cX 分析的精度要求。 由于实际的计算结果和理论结果结合的比较合适，没有出现较大的误差。由于矩 阵的元素取值非常的苛刻，对于随机输入元素的计算结果离理论结果非常的远，如主 对角元素为，其出现的误差达到了，离我们的理19a7b8c3582 . 2 fXA 论结果相去甚远。005-1.7259e 3 拟对称七对角拟对称七对角 Toeplitz 矩阵线性方程组的并行算法矩阵线性方程组的并行算法 3.1 并行算法并行算法 在许多的工程问题中都会出现特征值的求解问题。在对特征值求解的研究中，向 后差分法和有限分法都存在比较狭窄的使用前提。对于满足有边界条件和辅助条件的 系统是完全的且系数矩阵是对称的，而以自然辅助条件取代边界条件和辅助条件的系 统，带状系数矩阵变成了非对称的。对于带状拟对称系统引出了新的研究工作。为了 寻找一个有效的并行解法求解工程中更为一般的问题，在文献1中引入了一个五角对 角线拟 Toeplitz 带状对称矩阵的有效并行算法。为推广该方法的应用，我认为可以对 其作进一步的推广，以适应更为复杂的问题的求解。本文以七对角线为例，对于更高 阶的推广可以依次进行类型的拓展。 首先，我们引入一个阶的系统nn （3.1）gAX 其中 拟 Toeplitz 带状矩阵线性方程组的并行算法 12 1112131415 11111 11111 11111 11111 1514131211 aaacd babcd babcd cbabc dcbab aaaaa A （3.2） 1111 11111 11111 11111 11111 1111 abcd babcd babcd cbabc dcbab dcba B 11111211311415 15114113112111 00000 00000 00000 00000 aabacadaa adacabaaa F FBA 矩阵就是一个对称七对角拟 Toeplitz 矩阵。B 令 BDd 1 有 gg d XD 1 1 令，则可写成如下形式a d a c d c b d b a d a 1 1 1 1 1 1 1 1 ，D 咸阳师范学院 2010 届本科毕业论文（设计） 13 abc babc cbabc cbab cba D 1 1 1 1 1 参照文献1中五对角线矩阵的处理方法，将分解为其中为三对角线D 21D DD 1 D 对称矩阵，为无对角线对称矩阵，分别为： 2 D 1 D 2 D d d d d d D 1 1 11 11 1 1 ef fd fef fef fe D 1 1 11 1 1 2 由知道，我们可以得到如下等式 21D DD afed bedf1 cfd bfde afde 2 有方程组 bdfe adef cdf 1 2 我们求得的值。由的值我们可以求得的值。fed，fe，ad ， 在该处理过程中，需要满足为主对角占优矩阵，则必须成立。为一无 1 D2d 2 D 对角线带状对称矩阵，则对可进行如同的分解，则，和 2 D 21D DD 1432 FDDD 3 D 均为一个三对角线带状对称矩阵。 4 D 此时令 拟 Toeplitz 带状矩阵线性方程组的并行算法 14 3 3 3 3 1 1 1 1 d d d D 4 4 4 4 1 1 1 1 d d d D 100 000 00 0001 1 F 此时 或者 2 )2(4 2 4, 3 ef fd2 3 d2 4 d 其中必须有一个成立。不失一般性，不妨令，2 2 )2(4 2 4 ef fd 综合对的处理条件，我们要进行操作的充分条件是D 或者或者 42 2 2 2 ce cf e d 4 44 20 2 2 2 cc e cf e d 2max 4 02 22 2 cfm m e fcf ed ， ， 由于为对角占优（也是一样处理）可以写成如下形式 4 D 3 D 4 D 444 FDD 其中 00 0 F 4 4 4 4 1 11 11 1 d d d D 其中 ， 4 d1 按照在文献2中的方法对进行分解得 4 D LU 咸阳师范学院 2010 届本科毕业论文（设计） 15 ， 1 1 1 1 L 1 1 1 1 U 我们注意对和都是对角占优的。由和的两个关系LU ， 4 d1 令且 由这些值，分解到和只需要少量的计算量。11 4 DL 我们也可以把写出如下形式 4 D （3.3）TSD 4 ， )( )( 4 4 kDZ ZmD S T )( )( 4 4 kFO OmF T 若，则，kn2 2 n km 若，则12 kn1 km 在中，是一个阶的形式的矩阵，是阶零矩阵。S)( 4 i D mi kii 4 D Zkm 在中，是一个阶的形式的矩阵，是只有其它位置为T)( 4 iFmi kiiFO1 1 ，m e 0 的矩阵。只有 4 个非零元素：T ，1 1, 1 mmmm tt 1, 11 , 1mm tt 即 右边的数字表示对应的行数 1 1 1 10 m mT 由 ，gXD)( 143121 FDDDDDD 得 gXFDDD)( 1431 即： gDXFDD 1 1143 )( 用文献2中的并行方法进行求解 gYD 1 拟 Toeplitz 带状矩阵线性方程组的并行算法 16 的近似解Y （3.4）YXDD 43 再求解，得（7）式的近似值，以此类推，这种方法可以广泛的推广到把系统 X 分成 4 个或更多的子系统而用并行算法求解。除了一些明显的限制外，修正部分要求 每个方程组的阶数足够的大，以适应最终近似的准确度要求。利用1中的方法，得到 方程组 YXFDD)( 143 的近似解，即就是（3.2）的近似解。 X X 要求（3.1）的解，必须对解进行修正。 X 因为 XFdAXXFdgXFDDd 11211 )( 所以 nn eAzeAzXXFAdXX 1 1 1 1 1 1 其中 51541143113211211111 )()()()(xaxdaxcaxbaxaaz nnnnnn xaaxbaxcaxdaxaz)()()()( 111111221133114415 这时我们需要求两个向量，使得pq ， 1 eAp n eAq 设 ， T n pppp)( 11 ， s j i jji rkp 1 其中是方程)1(siri， 01 23456 crbrarbrcrr 个不同的根。显然，的确定只需的前三与后三个方程解得。而sp 1 eBp ，这样我们得到了方程组（3.1）的近似解)( 121 ppppq nn ， qzpzXX n 1 3.2 误差分析误差分析 设， 分别是，的近似解，ZYXgZD 1 ZYD 3 YXD 4 咸阳师范学院 2010 届本科毕业论文（设计） 17 因为 )( 211 gXFDDdgAX)( 22211 gFXXDXDXDDd =)( 4311 gXDDDd =)( 113131314311 gZDZDYDDYDDYDDXDDDd =)()( 1314311 gZDZYDDYXDDDd 所以 )( 1314311 gZDZYDDYXDDDdgAX 可见其误差直接取决于三个三对角线性方程组的解的误差，其近似度等于 max 1341 gZDZYDYXDd， 所以解七对角线性方程组结果的好坏，关键的问题就是其近似分解出的每个三对 角线性方程组的结果的好坏，只要三对角线性方程组的结果好，则七对角线性方程组 的结果也不会差。 我们只给出算法分析，由于方程最终的近似需要修正很多的误差，在程序上进行 实现比较困难，我们用并行算法求解七对角甚至更高的时候，修正的部分比较多，为 了实现更加近似的近似解，我们要对误差的修正做更加精确的修正。 4 结论结论 本文采用并行数值解法解决了具有 Toeplitz 系数矩阵的七对角线性方程组，我们 在论文的开头引入了我们要解决的系统并对其进行了第一步的修正处理，在论文的第 二部分，我们具体的分析了对称系统的性质及其可以修正的修正过程，我们分别对第 一部分中引入的系统作了 LU 分解和并行算法的处理，并比较了他们处理的条件和最 后结算量在不同条件下的比较。在本文的第三部分，我们对扰动系统作了修正，并且 找到第一部分引入系统的近似解，通过引入的定理对系统的最终解做出了近似并分析 了各自在给定精度下的允许误差限。并最终求解出系统的最终近似解。在论文的最后 一部分，我们再一次对处理系统的 LU 方法和本文提供的近似并行解法的运算量作了 最后的比较，并指出了近似并行解法的优越性和前景分析。 拟 Toeplitz 带状矩阵线性方程组的并行算法 18 参参 考考 文文 献献 1 LEGarey A parallel numerical algorithm for near symmetric and banded systems 2 WMYanKLChung，A fast algorithm for soving special tridiagonal 咸阳师范学院 2010 届本科毕业论文（设计） 19 systems，Computing 52(1994)203-211 3 JMMcNally，LEGarey，REShaw，A split-correct parallel algorithm for solving tridiagonal symmetric Toeplitz systems，IntJComputMaths 4M.M.chawla，C.P.Katti，A new fourth-orded method for computing eigenvalue，of two- point boundary value problems，BIT20(1980)511-514 5M.Chen，On the solution of circulant liner systems，SIAMJ.Numer.Anal.24(1987)668- 683 6L.E.Garey，R.E.Shaw，A parallel algorith for solving Toeplitz liner systems，Appl.Math.Comp.100(1999)241-247 7J.H.Bramble，B.E.Hubbard，On afinite difference analogue of an elliptic boundary value problem which is nerthei diagonally dominant nor of non-negative type，J.Math.Phys.43(1964)117-132 8A.Ralston，A First Course in Numerical Analysis，McGraw-Hill，New York，1965 9O.Rojo，A new method for solving symmetrical circulant tridagonal systems of liner equations，Comput.Math.Appl.20(1990)61-67 10 R.E.Shaw，L.E.Garey，A fast method for solving second order boundary value Volterra integro-differential equations，Int.J.Comput.Math 65(1997)121-129 11 成田诚之助著.张贤达译.数学系统控制理论及应用.北京：机械工业出版社，1984 12 陈景良，陈向辉.特殊矩阵.北京：清华大学出版社，2001 13 黄琳.系统与控制理论中的线性代数.北京：科学出版社，1984 14 数学手册编写组，数学手册.北京：高等教育出版社，1979 15 张贤达.现代信号处理.北京：清华大学出版社，1995 16 张贤达.现代信号处理（第二版）.北京：清华大学出版社，2002 17 张贤达.信号处理中的线性代数.北京：科学出版社，1997 18 张贤达.矩阵分析与应用.北京：清华大学出版社，2004 附附 录录 拟 Toeplitz 带状矩阵线性方程组的并行算法 20 求解程序：使用 Matlab 按照并行算法的思想求解 Toeplitz 矩阵线性方程组的近似 解并分析了它们的误差，充分证明该方法的现实意义和广阔的发展前景。我们只附求 三对角非对称的程序如下： n=input（请输入矩阵的维数 ） ； a1=input（请输入主对角线元素） ； b1=input（请输入第一行第二列的元素） ； c1=input（请输入第二行第一列的元素） ； b=zeros(n，1)； b9=1； for i=1:n v=i b(i，1)=b9； end b； A=zeros(n)； for i=1:n for j=1:n if i=j A(i，j)=a1； elseif j=i+1 A(i，j)=b1； else A(i，j)=0； end end end A； A1=zeros(n)； A1=A； if c1=b1 A1=A/b1； 咸阳师范学院 2010 届本科毕业论文（设计） 21 b=b/b1； else A1=A/c1； b=b/c1； end A1； b； a2=A1(2，2)； c2=A1(2，1)； S=solve(f-d=a2， -f*d=c2， f， d) f=S.f； f=double(S.f)； d=S.d； d=double(S.d)；/求，其实由关系我们可以用求解/0 2 ca if abs(d)1 /使用取绝对值大于 1 的/ 2 4 2 c f /由关系，求出/ c d else d1=input(您输入元素不符合条件，请重新输入)； end A2=zeros(n)； A2=A1； A2(1，1)=f； A2； m=ceil(n/2) pl=zeros(m)； for i=1:m for j=1:m if i=j p1(i，j)=a2； elseif i=j+1 拟 Toeplitz 带状矩阵线性方程组的并行算法 22 p1(i，j)=c2； elseif j=i+1 p1(i，j)=1； else p1(i，j)=1； p1(1，1)=A2(1，1)； p1(m，m)=A2(n，n)；