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模糊控制论理论基础 2/102 目录 2.1 引言 2.2 模糊集合论基础 2.4 模糊控制系统的组成 2.5 模糊控制系统的设计 2.6 模糊PID控制器 2.7 模糊控制器的应用 2.3 模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成 3/102 模糊控制的发展历史 v1965年，L.A.Zadeh 提出模糊集理论； v1972年，L.A.Zadeh 提出模糊控制原理； v1974年，E.H.Mamdani应用于蒸汽机和锅炉 控制中； v80年代：污水处理、汽车、交通管理 模糊芯片、模糊控制的硬件系统； v90年代：家电、机器人、地铁； v21世纪：更为广泛的应用。 4/102 模糊控制的特点 v无需知道被控对象的数学模型 v与人类思维的特点一致 n模糊性 n经验性 v构造容易 v鲁棒性好 5/102 主要内容 v模糊控制的理论基础 n模糊集合论基础 n模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成 v模糊控制系统 n模糊控制系统的组成 n模糊控制系统的设计 n模糊PID控制器 n模糊控制器的应用 6/102 目录 2.1 引言 2.2 模糊集合论基础 2.4 模糊控制系统的组成 2.5 模糊控制系统的设计 2.6 模糊PID控制器 2.7 模糊控制器的应用 2.3 模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成 7/102 2.2 模糊集合论基础 2.2.1 模糊集概念 2.2.2 模糊集合运算 2.2.3 模糊集合运算的基本性质 2.2.4 隶属度函数的建立 2.2.5 模糊关系 8/102 经典集合 19世纪末德 国数学家 乔康托 (Georage Contor， 1845-1918)，是 现代数学的 基础。 内涵和外延 都必须是明 确的 经典集合论表示方法特点 列举法 定义法 归纳法 特征函数法 9/102 表示方法 列举法：U=1，2，3，4，5，6，7， 8，9，10 归纳法：U=ui+1=ui+1，i=1,2,9， u1=1 特征函数法 定义法：U=u|u为自然数且u0的所有u组成的，即 14/102 模糊单点(Singleton) v如果模糊集合F的子集在论域U上只包含一个 点u0,且F(u0)=1,则F就称为模糊单点。即 15/102 2.2 模糊集合论基础 2.2.1 模糊集概念 2.2.2 模糊集合运算 2.2.3 模糊集合运算的基本性质 2.2.4 隶属度函数的建立 2.2.5 模糊关系 16/102 2.2.2 模糊集合的运算 v考察具有公共论域U的模糊集合A、B之间的 各种运算关系，包括以下内容： 相等、包含 空集、全集 交、并、补 其他 17/102 相等、包含 空集、全集 对于所有的uU ，均有A(u)B(u)。 记作A=B。 相等 对于所有的uU ，均有A (u) B(u)。 记作AB。 包含 对于所有的uU ，均有A(u) 0 。 记作：A 。 空集 对于所有的uU ，均有A(u) 1。全集 18/102 交、并、补 v如果模糊集合C具有以下性质： 对于所有的uU ，均有 C(u)=AB=minA(u),B(u) 则称C为A与B的交集，记为 C=AB 交集 对于所有的uU ，均有 C(u)=AB=maxA(u),B(u) 。 则称C为A与B的并集，记为 C=AB。 并集 对于所有的uU ，均有 B(u)=1-A(u) 则称B为A的补集，记作 补集 19/102 举例 v已知模糊子集 v求 20/102 求解 21/102 代数积 代数和 有界和 有界差 有界积 其它运算 22/102 2.2 模糊集合论基础 2.2.1 模糊集概念 2.2.2 模糊集合运算 2.2.3 模糊集合运算的基本性质 2.2.4 隶属度函数的建立 2.2.5 模糊关系 23/102 幂等律 结合律 交换律 分配律 模糊集合运算的基本性质1 24/102 同一律 零一律 吸收律 德摩根律 双重否认律 模糊集合运算的基本性质2 25/102 与经典集合性质的比较 v基本性质完全相同 v模糊集运算不满足互补律 26/102 2.2 模糊集合论基础 2.2.1 模糊集概念 2.2.2 模糊集合运算 2.2.3 模糊集合运算的基本性质 2.2.4 隶属度函数的建立 2.2.5 模糊关系 27/102 是一个关键问题 是一个难题 具有“模糊性”、经验性 和主观性 无统一的设计方法 具有客观的原则 隶属度函数的建立 28/102 隶属度函数的设计原则1 v必须是凸模糊集合（呈单峰形） v通常是对称和平衡的 v要遵从语意顺序、避免不恰当的重叠 29/102 隶属度函数的设计原则2 v考虑重叠指数（一般取重叠率为0.20.6、 或鲁棒重叠性0.3-0.7） 30/102 举例 重叠率=0 重叠鲁棒性=0 重叠率=5/35=0.143 重叠鲁棒性5/20=0.25 重叠率=10/30=0.333 重叠鲁棒性=10/20=0.5 31/102 设计方法 v模糊统计法 v例证法 v专家经验法 v二元对比排序法 32/102 隶属度函数的常见形状1 vZ函数 33/102 隶属度函数的常见形状2 vS函数 34/102 隶属度函数的常见形状3 v函数 35/102 2.2 模糊集合论基础 2.2.1 模糊集概念 2.2.2 模糊集合运算 2.2.3 模糊集合运算的基本性质 2.2.4 隶属度函数的建立 2.2.5 模糊关系 36/102 模糊关系 v普通关系：表示元素之间是否关联。 v模糊关系 ：表示两个论模糊集合之间的关联 程度，用其直积空间的隶属度函数表示。 v定义：所谓A，B两集合的直积 中的一个模糊关系R，是指以AB为论域的 一个模糊子集，序偶(a,b)的隶属度为R(a,b) 。 37/102 多元关系 v二元关系 v多元关系：考察n个集合的直积 A1A2. An ， 其隶属度函数为： R(a1,a2,.,an) 38/102 v 模糊集合表示法 v 举例 考查两个整数间的“大得多”的关系。设论域 U=1，5，7，9，20。 模糊关系的表示方法1 39/102 模糊关系的表示方法2 v模糊矩阵表示法 （适用于二元关系） v其中 40/102 笛卡尔积算子（算子） vA1，A2，. ，An的笛卡尔积是在积空间 U1U2.Un中的一个模糊集，其隶属度函 数为： n直积（极小算子）用 min 表示 n代数积 ：用 AP 表示 41/102 例2-9 v考虑如下模糊条件语句 如果 C 是慢的，则 A 是快的。 其中 C ，A分别属于两个不同的论域U，V。 其隶属度函数分别为： A=快= 0/0 + 0/20 + 0.3/40 + 0.7/60 + 1/80 + 1/100； C=慢= 1/0 + 0.7/20 + 0.3/40 + 0/60 + 0/80 + 0/100。 v求 它们的直积和代数积。 42/102 直积 43/102 代数积 44/102 模糊关系的合成 v背景： 已知：IF A THEN B，IF B THEN C 求： IF A THEN C v定义：如果R和S分别为笛卡尔空间UV和 VW上的模糊关系，则R和S的合成是定义在 笛卡尔空间UVW上的模糊关系，并记为 RoS。其隶属度函数的计算方法有两种。 45/102 模糊关系的合成的隶属度函数计算 v上确界（Sup） 算子 v下确界（Inf） 算子： 46/102 例2-10 v已知某家中子女与父母的长像相似关系R： 父母与祖父母的相似关系S： 求：家中孙子、孙女与祖父、祖母的相似程度 。 R父母 子0.20.8 女0.60.1 S祖父祖母 父0.50.7 母0.10 47/102 解 48/102 合成算子Sup-min的特性1 分配率 49/102 结合律 包含 转置运算 不满足交换律 合成算子Sup-min的特性2 50/102 目录 2.1 引言 2.2 模糊集合论基础 2.4 模糊控制系统的组成 2.5 模糊控制系统的设计 2.6 模糊PID控制器 2.7 模糊控制器的应用 2.3 模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成 51/102 模糊逻辑 v模糊逻辑是研究含有模糊概念或带有模糊性 的陈述句的逻辑。 v是不确定性推理的主要方法之一 。 v是经典数理逻辑的推广。 52/102 2.3.1 二值逻辑 2.3.2 模糊逻辑的基本运算 2.3.3 模糊语言逻辑 2.3.4 模糊逻辑推理 2.3.5 模糊关系方程的解 2.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成 53/102 二值逻辑 v命题P中的元素可以赋予一个二元真值T(P)。 在二元逻辑中，T(P)或者为1（真）或者为0 （假）。设U是所有命题构成的论域，则T就 是从这些命题（集合）中的元素u到二元值（ 0，1）的一个映射： vT: uU (0,1) 54/102 名称符号意义 析取“”“或”的意思 合取“”“与”的意思 否定“”是对原命题的否定 蕴涵“”表示“如果.那么.” 等价“”表示两个命题的真假相同，是“当且仅当”的意思 命题联结词 55/102 2.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成 2.3.1 二值逻辑 2.3.2 模糊逻辑的基本运算 2.3.3 模糊语言逻辑 2.3.4 模糊逻辑推理 2.3.5 模糊关系方程的解 56/102 模糊命题 v模糊命题是普通命题的推广。 v模糊命题的真值不是绝对的“真”或“假”，而 是反映其以多大程度隶属于“真”。 v所以真值的运算也就是隶属度函数的运算。 57/102 模糊逻 辑补 用来表示对某个命题的否定.， 模糊逻 辑合取 模糊逻 辑析取 基本运算1 58/102 模糊逻 辑蕴 含 如P是真的，则Q也是真的， 模糊逻 辑等价 模糊逻 辑限界 积 各元素分别相减部分作为限界差 。 基本运算2 59/102 模糊逻 辑限界 和 模糊逻 辑限界 差 各元素分别相加，比1小的部分作 为限界和。 各元素分别相减部分作为限界差 。 基本运算3 60/102 幂等律 交换律 结合律 吸收律 PP=P， PP=P PQ=QP， PQ=QP P(QR)=(PQ)R, P(QR)=(PQ)R P(PQ)=P， P(PQ)=P 分配律 P(QR)=(PQ)(PR), P(QR)=(PQ)(PR) 基本定律1 61/102 双否律 交换律 常数运算法则 注意 互补律在模糊逻辑中不成立 基本定律2 62/102 2.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成 2.3.1 二值逻辑 2.3.2 模糊逻辑的基本运算 2.3.3 模糊语言逻辑 2.3.4 模糊逻辑推理 2.3.5 模糊关系方程的解 63/102 模糊语言逻辑 v模糊语言逻辑是由模糊语言构成的一种模拟 人思维的逻辑。 v针对自然语言的模糊性； v涉及概念： n语言值 n语言变量 n语言算子 64/102 语言值 v语言中与数值有直接联系的词，如长、短、 大、小等，可以再加上语言算子（如很、非 常、较、偏等）而派生出来的词组 。可以用 模糊数来表示。 v所谓模糊数，指至少有一个元素u的隶属度值 为1 的模糊子集。 v举例： 个子高 =0.2/150+0.4/160+0.6/170+0.8/180+1/190 +1/200 65/102 语言变量 v用一个五元素的集合（X，T(X)，U，G，M ）来表征 。 66/102 语言算子 v语气算子 v模糊化算子 v判定化算子 67/102 语气算子 v表示语言中对某一个单词或词组的确定性程 度。 v包括强化算子和淡化算子 n强化算子，如“很”、“非常”等 n淡化算子，如“较”、“稍微”等 vH(A)=A （A为语言值） 68/102 v如“大概”、“近似于”、“大约”等。把原来的 概念模糊化。 v记模糊化算子为F。则模糊化变换可表示为 F(A)，并且它们的隶属度函数关系满足： v其中，R(x,c)是表示模糊程度的一个相似变 换函数，通常可取正态分布曲线，即： 模糊化算子 69/102 判定化算子 v肯定化处理，例如“倾向于”、“大半是”等。 v记判定化算子为P，则判定化变换可表示为 P(A)，并且它们的隶属度函数关系满足： v当取=1/2时，P1/2可用来表示“倾向于”。 70/102 2.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成 2.3.1 二值逻辑 2.3.2 模糊逻辑的基本运算 2.3.3 模糊语言逻辑 2.3.4 模糊逻辑推理 2.3.5 模糊关系方程的解 71/102 模糊逻辑推理 v不确定性推理方法的一种 v方法还在发展之中，比较典型的有扎德（ Zadeh）方法、玛达尼（Mamdani）方法、 鲍德温（Baldwin）方法、耶格（Yager）方 法、楚卡莫托（Tsukamoto）方法。 v最常用的是玛达尼极大极小推理法。 72/102 常见种类 v近似推理（常识性推理） n广义肯定式推理 n广义否定式推理 v模糊条件推理 v多输入推理 v多输入多规则推理 73/102 1. 近似推理：广义肯定式推理 v前提1： 如果 x 是 A，则 y 是 B v前提2： 如果 x 是 A， v结论： y是 v隶属度函数的计算 74/102 模糊关系矩阵R的计算 v采用Mamdani推理法 v模糊蕴含最小运算法 v模糊蕴含积运算法 75/102 广义否定式推理 v前提1： 如果 x 是 A，则 y 是 B v前提2： 如果 y 是 B， v 结论： x 是 v隶属度函数的计算 v其中： （Zadeh推理法） 76/102 例 2-14 v考虑如下逻辑条件语句： 如果 “转角误差 远远大于15”，那么 “快速减少方向角” ；其 隶属度函数定义为： A=转角误差远远大于15 =0/15+0.2/17.5+0.5/20+0.8/22.5+1/25 B=快速减少方向角 =1/-20+0.8/-15+0.4/-10+0.1/-5+0/0。 v求： 当A=转角误差大约在20时，方向角 应该怎样变化？ 77/102 步骤1 v定义 A=转角误差大约在20的隶属度函数 = 0.1/15+0.6/17.5+1/20+0.6/22.5+0.1/25 v则问题化为 已知 A(x)=0,0.2,0.5,0.8,1, B(y)=1,0.8,0.4,0.1,0 当 A(x)=0.1,0.6,1,0.6,0.1时, 求解B。 78/102 步骤2 v由玛达尼（Mamdani）推理法计算出关系矩 阵： 79/102 步骤3 v 计算 v代数积算子 v直积算子 80/102 代数积算子 81/102 直积算子 v问题：如何比较两种算子？ 82/102 2. 模糊条件推理 v如果 x 是 A，则 y 是 B，否则 y 是 C。 v其逻辑表达式为： v模糊关系R： v隶属度函数： v推理结论 83/102 3. 多输入模糊推理 v前提1： 如果 A 且 B ， 那么 C v前提2： 现在是A且B v结论： v基于玛达尼推理，则模糊关系矩阵为： 84/102 例2-16 v已知 、 时， v问 、 时， 85/102 解 86/102 87/102 推理简化（削顶法 ） v推理形式可等价为 可得隶属度关系如下： 是指模糊集合A与A交集的高度。 88/102 削顶法图示 89/102 4. 多输入多规则推理 v如果 A1 且 B1 ， 那么 C1 否则如果 A2 且 B2 ， 那么 C2 ： 否则如果 An 且 Bn ， 那么 Cn 已知 A 且 B ， 那么 C =？ 在这里， An 和 A、 Bn 和 B 、 Cn 和 C 分别是不同论域X、Y、Z上的模糊集合。 90/102 推理方法 v推理结果可表示为 其中 91/102 推理过程图示 92/102 2.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成 2.3.1 二值逻辑 2.3.2 模糊逻辑的基本运算 2.3.3 模糊语言逻辑 2.3.4 模糊逻辑推理 2.3.5 模糊关系方程的解 93/102 模糊关系方程 v已知A和B，有以下关系： 求关系矩阵R； vAF(UV)、BF(UW)、 RF(VW)，分别为笛卡尔空间 UV、 UW、VW 上的模糊关系矩阵 ，有 A=(aij)mn 、B=(Bij)ms 、R=(rij)ns, 94/102 问题分解 v用分块矩阵的形式表示，有 其中， v则原问题可化为s个简单的模糊矩阵方程： 95/102 问题的分解 v考察 v设合成算子 取 ，需要考虑以下问题： 96/102 问题的分解 v具体有以下两类问题： n等式问题： (ai1r1)=