定积分的概念与性质(精).ppt

山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 第二节 微积分基本公式 第三节 定积分的换元法和分部积分法 第四节 反常积分 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 第一节 定积分的概念与性质 三、定积分的性质 一、定积分问题举例 二、定积分的定义 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 一、定积分问题举例 曲边梯形 设函数yf(x)在区间a, b 上非负、连续. 由直线xa、xb、 y0及曲线yf (x)所围成的图形 称为曲边梯形, 其中曲线弧称 为曲边. 如何计算其面积？ a bx y o y=f(x) x=bx=a 在初等函数里面，我们只会计算规则图形的面积， 如长方形，圆形等。如何计算不规则图形的面积，是 我们需要解决的问题。 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 解决步骤 : 1) 分割.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点 用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 近似.在第i 个窄曲边梯形上任取 作以为底 , 为高的小矩形, 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积得 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 3) 求和. 4) 取极限. 令则曲边梯形面积 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 元素法元素法 1 化整为零 2 以直代曲 (以常代变) 3 积零为整 y x o y=f (x) a b . . 分法越细，越接近精确值 1. 曲边梯形的面积 f (i) . 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 元素法元素法 4 取极限 y x o y=f (x) 令分法无限变细 . a b. . . 分法越细，越接近精确值 1 化整为零 2 以直代曲 (以常代变) 3 积零为整 f (i) 1. 曲边梯形的面积 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 元素法元素法 4 取极限 y x o y=f (x) 令分法无限变细 . . . . 分法越细，越接近精确值 1 化整为零 2 以直代曲 (以常代变) 3 积零为整 f (i) S = . S . a b 1. 曲边梯形的面积 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 2.变速直线运动的路程 已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数, 且v(t)0, 计算物体在时间段T1, T2内所经过的路程S. (1)分割: T1t0t1t2 tn1tnT2, Dtititi1; (2)近似: 物体在时间段ti1, ti内所经过的路程近似为 DSiv(i)Dti ( ti1 iti ); 物体在时间段T1, T2内所经过的路程近似为 (3)求和: (4)取极限: 记maxDt1, Dt2, Dtn, 物体所经过的路程为 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 上述两个问题的共性: 解决问题的方法步骤相同 : “分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限 1. 曲边梯形的面积2.变速直线运动的路程 许多问题的解决都可以化为上述特定和式的问题， 将其一般化，就得到定积分的概念. 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 1. 定积分的定义 (i1, 2, n), 作和 maxDx1, Dx2,Dxn; 在小区间xi1, xi上任取一点xi 记Dxi=xi-xi1 (i1, , n), 个分点: ax0x1x2 xn1xnb; 设函数f(x)在区间a, b上有界. 极限存在, 且极限值与区间a, b的分法和xi的取法无关, 则称此极限为函数f(x)在区间a, b上的定积分, 记为 即 二、定积分的定义 在区间a, b内插入n-1 如果当0时, 上述和式的 此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积 . 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 积分上限 积分下限 被积函数 被积表达式 积分变量 积分和 定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 2.函数的可积性 定理1:如果函数f(x)在区间a, b上连续, 则函数f(x) 在区间 a, b上可积. 定理2:如果函数f(x)在区间a, b上有界, 且只有有限 个间断点, 则函数f(x)在区间a, b上可积. 1.定积分的定义 二、定积分的定义 根据定积分的定义 曲边梯形的面积为 b a dxxfA)( 变速直线运动的路程为 dttvS T T )( 2 1 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 3.定积分的几何意义: 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值 各部分面积的代数和 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 解 把区间0, 1分成n等份, 分点为和小区间长度为 例1. 利用定义计算定积分 取 ,作积分和 因为 n 1 当 0 时 n 所以 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 解 函数 y1x在区间0, 1上的定积分是以y=1-x为 曲边, 以区间0, 1为底的曲边梯形的面积. 因为以y=1-x为曲边, 以区间0, 1为底的曲边梯形是 一个直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以 例2 用定积分的几何意义求 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 两点规定 三、定积分的性质 性质1 性质2 性质3 注：值得注意的是不论a b c的相 对位置如何上式总成立 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 性质4 推论1 如果在区间a b上 f (x)g(x) 则 如果在区间a b上 f (x)0 则 性质5 推论2 这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|, 所以 即 b a b a dxxfdxxf| )(|)(| 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间a b上的最大值及 最小值 则 性质7 (定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间a b上连 续则在积分区间a b上至少存在一个点x ,使下式成立 这是因为, 由性质6变形得 积分中值公式 由介值定理, 至少存在一点xa, b, 使 两端乘以ba即得积分中值公式. b a Mdxxf ab m)( 1 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 注: 可把 故它是有限个数的平均值概念的推广. 积分中值定理对 因 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 解 例3 估计积分 的值 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 解 例4 估计积分 的值 )(xf 在 2 , 4 pp 上单调下降 , 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本