高中数学第一章计数原理1.2.2组合第二课时组合习题课学案含解析.docx

第二课时组合(习题课)1排列与组合的不同点是什么？略2在利用组合数的性质应注意什么？略组合问题的简单应用某大学要从16名大学生(男10人，女6人)中选出8名学生组成“假期下乡送科学小组”(1)如果小组中至少有3名女生，可有多少种不同的选法？(2)如果小组中至少有5名男生，可有多少种不同的选法？(3)如果小组中至多有3名女生，可有多少种不同的选法？(1)至少有3名女生的选法可分为如下四类：有3名女生：CC种选法；有4名女生：CC种选法；有5名女生：CC种选法；有6名女生：CC种选法所以至少有3名女生共有CCCCCCCC8 955种选法(2)至少有5名男生的选法可分为如下四类：有5名男生：CC种选法；有6名男生：CC种选法；有7名男生：CC种选法；有8名男生：CC种选法所以至少有5名男生共有CCCCCCCC8 955种选法(3)至多有3名女生的选法可分为如下四类：不含女生：C种选法；有1名女生：CC种选法；有2名女生：CC种选法；有3名女生：CC种选法所以至多有3名女生共有CCCCCCC8 955种选法解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”其中用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取”的原则，优先安排特殊元素的选取，再安排其他元素的选取而选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，试一试看是否简捷些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查(1)恰有一件是次品的抽法有多少种？(2)至少有一件是次品的抽法有多少种？解：(1)从2件次品中任取1件，有C种抽法；从8件正品中取2件，有C种抽法由分步乘法计数原理可知，共有CC56种不同的抽法(2)法一：含1件次品有CC种抽法，含2件次品有CC种抽法由分类加法计数原理知，共有CCCC56864种不同的抽法法二：从10件产品中任取3件有C种抽法，不含次品有C种抽法，所以至少有1件次品有CC64种抽法与几何有关的组合问题平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有CC48个不同的三角形；第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有CC112个不同的三角形；第3类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C56个不同的三角形由分类加法计数原理知，共有4811256216个不同的三角形法二(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C4种故这12个点构成三角形的个数为CC216.1解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理2图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算常用直接法，也可采用排除法四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们与点A在同一平面上，有多少种不同的取法？解：如图所示，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外每个面都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有3C种取法，含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法根据分类加法计数原理，有3C333种与顶点A共面三点的取法排列与组合的综合运用(1)从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为()A432B288C216 D108(2)有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是()A24 B48 C72 D96(1)因为奇数有4个，偶数有3个，所以要想从取出的四个数字中组成四位数且是奇数，个位数字必须是奇数，因而这样的奇数有CCCA216.(2)据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可，此时共有AA种摆放方法；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有AACC种不同的摆放方法，由分类加法计数原理可得共有AAAACC48种摆放方法(1)C(2)B 1解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列2解排列、组合综合问题时要注意以下几点：(1)元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题(2)对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法有6名男医生、4名女医生，从中选3名男医生、2名女医生到5个不同的地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，则共有多少种不同的分派方案？解：分两类：第1类，甲被选中，共有CCCA种分派方案；第2类，甲不被选中，共有CCA种分派方案根据分类加法计数原理，共有CCCACCA5 7607 20012 960种分派方案.(6分)用0到9这10个数字组成没有重复数字的五位数，其中含3个奇数数字与2个偶数数字的五位数有多少个？法一(直接法)：把从5个偶数中任取2个分为两类：(1)不含0的：由3个奇数数字和2个偶数数字组成的五位数，可分两步进行：第1步，选出3奇2偶的数字，方法有CC种；第2步，对选出的5个数字全排列有A种方法(2)含有0的：这时0只能排在除首位(万位)以外的四个位置中的一个，有A种排法；再从2,4,6,8中任取一个，有C种取法；从5个奇数数字中任取3个，有C种取法，再把取出的4个数全排列有A种方法，故有ACCA种排法(4分)根据分类加法计数原理，共有CCAACCA11 040个符合要求的数(6分)法二(间接法)：如果对0不限制，共有CCA种，(2分)其中0居首位的有CCA种(4分)故共有CCACCA11 040个符合条件的数(6 分)由于数字0是一个特殊元素，5个数字含0与不含0的排列解法不一样，自然将问题分为两大类利用间接法，考不考虑限制条件决定解题的繁简程度，此题若从总体A中除去不符合条件的数，定会增加解题的难度.从1,3,5,7,9中任取3个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？解：五位数中不含数字0.第1步，选出5个数字，共有CC种选法第2步，排成偶数先排末位数，有A种排法，再排其他四位数字，有A种排法N1CCAA.五位数中含有数字0.第1步，选出5个数字，共有CC种选法第2步，排顺序又可分为两小类：a末位排0，有AA种排列方法b末位不排0.这时末位数有1种选法，而因为0不能排在首位，所以首位有A种排法，其余3个数字则有A种排法N2CC(AAAA)符合条件的偶数个数为NN1N2CCAACC(AAAA)4 560.1从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有()A140种B120种C35种 D34种解析：选D分三种情况：1男3女共有CC种选法2男2女共有CC种选法3男1女共有CC种选法则共有CCCCCC34种选法2(四川高考)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A144个 B120个C96个 D72个解析：选B当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2A个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有CA个偶数故符合条件的偶数共有2ACA120(个)37名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案有_种(用数字作答)解析：先从7人中选6人参加公益活动有C种选法，再从6人中选3人在周六参加有C种选法，剩余3人在周日参加，因此有CC140种不同的安排方案答案：1404安排3名支教教师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有_种(用数字作答)解析：每人去一所学校有A种；有两人去一所学校有CA种，共有不同分配方案的种数为ACA210.答案：2105课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有1名女生当选；(2)两名队长当选；(3)至少有1名队长当选解：(1)1名女生，4名男生，故共有CC350种选法(2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有CC165种选法(3)法一：至少有1名队长含有两类：只有1名队长，2名队长故共有CCCC825种选法法二：采用间接法共有CC825种选法一、选择题1某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告要求最后必须播放公益广告，且2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式有()A120种B48种C36种 D18种解析：选C最后必须播放公益广告有C种，2个公益广告不能连续播放，倒数第2个广告有C种，故共有CCA36种不同的播放方式2编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的亮灯方案有()A60种 B20种C10种 D8种解析：选C四盏熄灭的灯产生的5个空当中放入3盏亮灯，有C10种方案3(四川高考)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A24 B48C60 D72解析：选D第一步，先排个位，有C种选择；第二步，排前4位，有A种选择由分步乘法计数原理，知有CA72(个)4将5本不同的书分给4人，每人至少1本，不同的分法有()A120种 B5种C240种 D180种解析：选C先从5本中选出2本，有C种选法，再与其他三本一起分给4人，有A种分法，故共有CA240种不同的分法5从0,1,2,3,4,5这六个数中每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有()A40个 B120个C360个 D720个解析：选A先选取3个不同的数，有C种方法；然后把其中最大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有A种排法，故共有CA40个三位数二、填空题6某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门学校规定，每位同学选修4门，共有_种不同选修方案(用数字作答)解析：这里A，B，C三门课程“至多选一门”，即A，B，C三门课程都不选，或A，B，C这三门课程恰好选一门，所以分两类完成：第1类，A，B，C三门课程都不选，有C种不同选修方案；第2类，A，B，C三门课程恰好选修一门，有CC种不同选修方案故共有CCC75种不同的选修方案答案：7575名羽毛球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有_种解析：两老一新时，有CCA12种排法；两新一老时，有CCA36种排法，故共有48种排法答案：488如图，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有_种解析：四个小岛中每两岛建一座桥共建六座桥，其中建三座桥连接四个小岛符合要求的建桥方案是只要三座桥不围成封闭的三角形区域符合要求，如桥AC，BC，BD符合要求，而围成封闭三角形不符合要求，如桥AC，CD，DA，不符合要求，故共有C416种不同的建桥方案答案：16三、解答题9从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲，分别按下列要求，各有多少种不同选法？(用数字作答)(1)男、女同学各2名；(2)男、女同学分别至少有1名解：(1)(CC)A1 440(种)，所以男、女同学各2名共有1 440种选法(2)(CCCCCC)A2 880(种)，所以男、女同学分别至少有1名共有2 880种选法10从1到9的9个数中取3个偶数和4个奇数，则：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？(4)在(1)中任意2个偶数都不相邻的七位数有几个？解：(1)分步完成：第1步，在4个偶数中取3个，可有C种情况；第2步，在5个奇数中取4个，可有C种情况；第3步，3个偶数、4个奇数进行排列，可有A种情况，所以有CCA100 800个符合题意的七位数(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的个数共有CCAA14 400.(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的个数共有CCAAA5 760.(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空的当中，共有CCAA28 800个符合题意的七位数11“渐升数”是指除最高位数字外，其余每一个数字比其左边的数